タグ付けされた質問 「pr.probability」

確率論における質問

3
ランダムに生成されたツリーの予想される深さは？
私はずっと前にこの問題について考えましたが、それについての考えがありません。 生成アルゴリズムは次のとおりです。0からn − 1までの番号が付けられたnnn離散ノードがあると仮定します。そして、それぞれの私で{ 1 、... 、nは- 1 }、我々は作る私ツリー内の番目のノードの親はランダムノードで{ 0 、... 、I - 1 }。結果がルートノード0のランダムツリーになるように、各iを順に繰り返します。（おそらくこれは十分にランダムではありませんが、これは重要ではありません。）000n−1n−1n - 1iii{1,…,n−1}{1,…,n−1}\{1, \dotsc, n - 1\}iii{0,…,i−1}{0,…,i−1}\{0, \dotsc, i - 1\}iii000 このツリーの予想される深さは何ですか？
1
ブール関数の（ほぼ）フーリエ変換のサンプリングの複雑さ
量子コンピューターでできることの1つは（おそらくBPP +対数量子回路でも）、Pのブール値関数のフーリエ変換を近似サンプリングすることです。± 1±1\pm 1 フーリエ変換のサンプリングについて話すときは、以下でに従ってxを選択することを意味します。（必要に応じて、おおよそ正規化されます）。| f^（x ）|2|f^（バツ）|2|\hat f(x)|^2 Pの近似サンプリングブール関数のP-FOURIER SAMPLINGと呼ばれる複雑度クラスを記述できますか？このクラスに完全な問題はありますか？ 計算の複雑さについて言うことができるブール関数のクラスXを考えると、Xの関数のフーリエ変換のサンプリングを近似するSAMPLING-Xと呼ぶことができます（XがBQPの場合、X-SAMPLINGはまだ量子コンピューターの力の範囲内です。） SAMPLING-XがPにあるXの例は何ですか？SAMPLING-XがNPハードである興味深い例はありますか？ この問題には、興味深いものもいくつかあります。フーリエ側では、近似サンプルではなく、近似サンプリングによって（確率的に）有効化された決定問題について話すことができます。第一に、確率分布のクラスXから始めて、Xの分布Dをほぼサンプリングする能力と（正規化）フーリエ変換をほぼサンプリングする能力との関係を尋ねることができます。 要するに、この質問について知られていること。 更新： Martin Schwarzは、すべてのフーリエ係数自体が多項式のエントリ数のみに集中している場合、BPPでこれらの大きな係数を近似することができる（したがって、ほぼサンプリングすることもできる）と指摘しました。これは、Goldreich-Levinクシレビッツマンスール。フーリエ係数が多項式的に多くの係数に分散されるフーリエ側を近似的にサンプリングするための確率的多項式アルゴリズムがある関数の興味深いクラスはありますか？ 後で追加：いくつかの具体的な問題について言及させてください。 1）Pのブール関数のフーリエ変換を近似的にサンプリングするのはどれくらい難しいか a）スコットアーロンソンが以下のコメントで言及した1つの質問は、これがBPPにないことを示すことです。または、このタスクがBPPにある場合、何らかの崩壊が発生しているという線に沿って何か弱いものがあります。（スコットランドはこれが事実であると推測します。） b）別の質問は、このタスクがいくつかの量子ベースの複雑度クラスに関して難しいことを示すことです。たとえば、このタスクを実行できる場合は、BPPでログ深さ量子コンピューターなどの決定問題を解決できることを示します。 2）フーリエ関数の近似サンプリングがPであるようなブール関数のクラスとは何ですか。これは、フーリエ係数が多項式の多くの係数に集中している場合ですが、これは非常に制限されているようです。 3）PHには、Xマシンが計算できるすべての関数のフーリエ変換をほぼサンプリングできる複雑なクラスXがあります。 4）n行n列の六角形グリッドでのパーコレーションの交差イベントのフーリエ変換のサンプリングの問題に特に興味がありました。
1
m >> nレジームでのボールとビンの分析。
n個のボールをn個のビンに投入した場合、最も負荷の高いビンにはO(logn)O(log⁡n)O(\log n)ボールが含まれている可能性が高いことはよく知られています。一般に、n個のビンでm>nm>nm > nボールについて尋ねることができます。RaabとStegerによるRANDOM 1998の論文は、これを詳細に調査しており、mが増加すると、m / nの期待値をわずかに上回る確率が急速に減少することを示しています。大まかに、r = m / nに設定すると、r + √を超える確率で表示されることが示されます。nnnmmmm/nm/nm/nr=m/nr=m/nr = m/nr+rlogn−−−−−√r+rlog⁡nr + \sqrt{r\log n}はo(1)o(1)o(1)です。 この論文は1998年に登場しましたが、最近の記事はありません。これらの線に沿って新しい、さらに集中した結果がありますか、またはこれが最善であると疑うヒューリスティック/正式な理由がありますか？私はそれを追加する必要があります複数の選択肢のバリアントに関連する論文、2006年にアンジェリカStegerによる共著はどちらか任意のより多くの最近の研究を引用していません。 更新：ピーターのコメントに応えて、私が知りたいことを明確にさせてください。ここには2つの目標があります。 まず、どの引用を引用するかを知る必要がありますが、これはこれに関する最新の研究のようです。 第二に、r = 1の範囲で結果が非常に厳密であることは事実です。私はm >> nの範囲に興味があり、具体的にはrがpoly log nまたはn ^ cである可能性のある領域に興味があります。私はこの結果を私が証明している補題に当てはめようとしていますが、rの特定の境界はアルゴリズム全体の他の部分を制御します。この論文で提供されているrの範​​囲で十分であるとは思いますが（確信はありません）、私はただ、より厳密な限界がないことを確認したかったです（より良い結果が得られるでしょう）。
2
確率過程のような雪崩
次のプロセスを検討してください。 あるnnnビンは上から下に配置されています。最初は、各ビンに1つのボールが含まれています。すべてのステップで、私たちは ランダムに均一にボール を選び、bbb bbbを含むビンからその下のビンにすべてのボールを移動します。既に最下位のビンであった場合、プロセスからボールを​​削除します。 プロセスが終了するまで、つまり、nnnボールがすべてプロセスから削除されるまで、どのくらいのステップが予想されますか？これは以前に研究されたことがありますか？答えは既知の手法から簡単にわかりますか？ 最良の場合、プロセスはnnnステップ後に終了できます。最悪の場合、Θ(n2)Θ（n2）\Theta(n^2)ステップかかることがあります。ただし、どちらの場合も非常にまれです。私の推測では、Θ(nlogn)Θ（nログ⁡n）\Theta(n\log n)ステップかかり、これを確認するようにいくつかの実験を行いました。 （ランダムにビンを均一に選択することは非常に異なるプロセスであり、明らかにΘ(n2)Θ（n2）\Theta(n^2)ステップを完了することに注意してください。）
1
リストに順番を維持
注文のメンテナンスの問題（または「リスト内の注文の維持」）は、操作をサポートすることです。 singleton：1つのアイテムでリストを作成し、そのポインターを返します insertAfter：アイテムへのポインターを指定すると、そのアイテムの後に新しいアイテムを挿入し、新しいアイテムへのポインターを返します delete：アイテムへのポインタを指定すると、リストから削除します minPointer：同じリスト内のアイテムへの2つのポインターを指定すると、リストの先頭に近い方を返します 私は、償却時間ですべての操作を実行するこの問題に対する3つの解決策を知っています。それらはすべて乗算を使用します。O （1 ）O（1）O(1) Athanasios K. Tsakalidis：一般化リンクリストでの順序の維持 Dietz、P.、D. Sleator、リスト内の順序を維持するための2つのアルゴリズム Michael A. Bender、Richard Cole、Erik D. Demaine、Martin Farach-Colton、およびJack Zito、「リスト内の順序を維持するための2つの簡略化されたアルゴリズム」 A C 0にない算術演算を使用せずに、償却時間のリストで順序を維持できますか？O （1 ）O（1）O(1)A C0AC0AC^0
4
関数のイータ等価性はHaskellのseq操作と互換性がありますか？
補題：我々はそれを持っているETA-同等と仮定すると(\x -> ⊥) = ⊥ :: A -> B。 証明：⊥ = (\x -> ⊥ x)イータ等価、および(\x -> ⊥ x) = (\x -> ⊥)ラムダの下での還元。 Haskell 2010レポートのセクション6.2では、seq2つの式で関数を指定しています。 seq :: a-> b-> b seq⊥b =⊥ seq ab = b、a≠ifの場合 その後、「seqを使用してそれらを区別できるため、notは\ x-> beと同じではありません」と主張します。 私の質問は、それは本当にの定義の結果seqですか？ 暗黙の引数は、seq計算できない場合seq (\x -> ⊥) b = ⊥です。しかし、私はそのようseqなものが計算できないことを証明することができませんでした。私にはそのようなa seqは単調で連続的であるように思われ、それは計算可能という領域にそれを置きます。 seqなどを実装するアルゴリズムは、starting で始まるドメインを列挙することxで、どこを検索しようとすることで機能する場合f x …
4
ボールをビンに投げ、その確率の下限を推定する
これは宿題ではありませんが、見た目は似ています。参照は大歓迎です。:-) シナリオ：あり異なるボールと異なるビン（1〜標識さ左から右には、）。各ボールは独立して均一にビンに投入されます。してみましょう内ボールの数も〜番目のビン。してみましょう次のイベントを示します。n n f （i ）i E innn nnn nnnf(i)f(i)f(i)iiiEiEiE_i ごとに、Σ K ≤ j個の F （K ） ≤ J - 1j≤ij≤ij\le i∑k≤jf(k)≤j−1∑k≤jf(k)≤j−1\sum_{k\le j}{f(k)} \le j-1 すなわち、まず、あるビン（最も左のビンは）より少ないが含まそれぞれに、ボール。J J J ≤ Ijjjjjjjjjj≤ij≤ij\le i 質問：推定、の点で？が無限になったとき。下限が優先されます。簡単に計算できる式は存在しないと思います。 n n∑i&lt;nPr(Ei)∑i&lt;nPr(Ei)\sum_{i<n}{Pr(E_i)}nnnnnn 例： 。Pr（E_n）= 0に注意してください。limn→∞Pr(E1)=limn→∞(n−1n)n=1elimn→∞Pr(E1)=limn→∞(n−1n)n=1e\lim\limits_{n\to\infty}{Pr(E_1)}=\lim\limits_{n\to\infty}{(\frac{n-1}{n})^n}=\frac{1}{e}Pr(En)=0Pr(En)=0Pr(E_n)=0 私の推測：nが無限になったとき、\ sum_ {i &lt;n} {Pr（E_i）} = \ ln nを推測します。合計の最初の\ ln n項目を検討しました。∑i&lt;nPr(Ei)=lnn∑i&lt;nPr(Ei)=ln⁡n\sum_{i<n}{Pr(E_i)}=\ln nnnnlnnln⁡n\ln n
1
有界ツリー幅回路は何に適していますか？
一つは、話すことができるツリー幅は以下のようにして得られた線（頂点）の「moralized」グラフのツリー幅として定義する、ブール回路の：接続する配線とBたびbが有するゲートの出力である（入力として、または逆に）; 同じゲートへの入力として使用する場合は、ワイヤaとbを接続します。編集：回路のツリー幅を、それを表すグラフのツリー幅と同等に定義できます。結合性を使用してすべてのANDゲートとORゲートを書き直してファンインを最大2つにする場合、どちらの定義によるツリー幅も係数3まで同じです。aaabbbbbbaaaaaabbb333 一般的には扱いにくいが、制限されたツリー幅のブール回路では扱いやすいことがわかっている問題が少なくとも1つあります。各入力ワイヤが0または1に設定される確率（他とは独立）を与え、特定の出力ゲートは0または1です。これは通常＃2SATからの削減により＃P-hardですが、ジャンクションツリーアルゴリズムを使用して、ツリー幅が定数よりも小さいと想定される回路でPTIMEで解決できます。 私の質問は、確率論的計算以外に、一般的には扱いにくいが境界付きツリー幅回路では扱いやすいことが知られている他の問題があるかどうか、またはその複雑さは回路サイズとツリー幅の関数として説明できるかどうかを知ることです。私の質問はブールの場合に限定されません。他の半環上の算術回路にも興味があります。そのような問題はありますか？
1
ランダムブール関数の予想される最小の影響
f:{−1,1}n→{−1,1}f:{−1,1}n→{−1,1}f\colon\{-1,1\}^n \to \{-1,1\}iiiInfi[f]=defPrx∼{−1,1}n[f(x)≠f(x⊕i)]Infi⁡[f]=defPrx∼{−1,1}n[f(x)≠f(x⊕i)] \operatorname{Inf}_i[f] \stackrel{\rm def}{=} \Pr_{x\sim\{-1,1\}^n}[ f(x) \neq f(x^{\oplus i})] I X F MinInf [ F ] のD 、EのF =分I ∈ [ N ] InfをI [ F ] 。x⊕ix⊕ix^{\oplus i}iiixxxfffMinInf[f]=defmini∈[n]Infi[f].MinInf⁡[f]=defmini∈[n]Infi⁡[f].\operatorname{MinInf}[f] \stackrel{\rm def}{=} \min_{i\in[n]}\operatorname{Inf}_i[f]. パラメータが与えられ、我々は選択し -random関数、それぞれにその値を選択することで、であることを独立してランダムに入力確率で、および確率で。そして、すべての およびfortioriPのFp∈[0,1]p∈[0,1]p\in[0,1]pppfff2n2n2^n111ppp−1−1-11−p1−p1-pi∈[n]i∈[n]i\in[n] I N（P ）のD 、EのF = E F [ MinInf [ F ] ] …
2
GF（2）上の低次のランダム多項式のバイアスは何ですか？
ppp≤d≤d\le dbias(p)≜|Prx∈{0,1}n(p(x)=0)−Prx∈{0,1}n(p(x)=1)|&gt;ϵbias(p)≜|Prx∈{0,1}n(p(x)=0)−Prx∈{0,1}n(p(x)=1)|&gt;ϵbias(p) \triangleq |\Pr_{x\in\{0,1\}^n}(p(x)=0)-\Pr_{x\in\{0,1\}^n}(p(x)=1)| \gt \epsilon *次数およびn変数でランダム多項式を書くとき、確率1/2で選択された合計次数の各単項式を考えることができます。≤ D≤d≤d\le d≤d≤d\le d 私が知っている唯一の関連するものは、多項式が非定数である場合、そのバイアスは最大でと述べるSchwartz-Zippelのバリアントです。したがって、ため probaiblityである正確に1 / {2 ^ {{N \ 1を選択} + \ ldots + {N \ Dを選択}}}ここで、これは確率であるP1−21−d1−21−d1-2^{1-d}ϵ=1−21−dϵ=1−21−d\epsilon=1-2^{1-d}1/2(n1)+…+(nd)1/2(n1)+…+(nd)1/{2^{{n \choose 1}+\ldots+{n \choose d}}}pppは定数。残念ながら、このは非常に大きいです。ϵϵ\epsilon
3
ペアワイズ独立確率変数のチャーノフ型不等式
チャーノフ型不等式は、独立したランダム変数の合計が期待値から大きく逸脱する確率が、期待値と偏差で指数関数的に小さいことを示すために使用されます。ペアワイズ独立確率変数の合計にチェルノフ型の不等式はありますか？言い換えれば、次のことを示す結果があります。ペアごとに独立したランダム変数の合計がその期待値から逸脱する確率は、期待値と逸脱において指数関数的に小さいですか？
1
この非標準バージョンの東の不平等の証拠は何ですか？
DworkらによるBoosting and Differential Privacyの付録B では、著者は以下の結果を証拠なしに述べており、それをAzumaの不等式と呼んでいます。 レッツ、このようなすべてのためにその実数値確率変数も、C1,…,CkC1,…,CkC_1, \dots, C_ki∈[k]i∈[k]i \in [k] Pr[|Ci|≤α]=1Pr[|Ci|≤α]=1\Pr[|C_i| \leq \alpha] = 1 すべてのに対して、\ text {E} [C_i \ mid C_1 = c_1 、\ドット、C_ {I - 1} = C_ {I - 1}] \当量\ベータ。E [ C I | C 1 = C 1、... 、C I - 1 = C I …
6
ブルームフィルターのおおよその母集団の計算
サイズNビットのブルームフィルターとK個のハッシュ関数があり、そのうちMビット（M &lt;= N）のフィルターが設定されているとします。 ブルームフィルターに挿入された要素の数を概算することはできますか？ 簡単な例 100ビットのBFと、10ビットが設定されている5つのハッシュ関数を想定して、次の例を熟考しています... ベストケースのシナリオ：ハッシュ関数が本当に完璧で、X個の値にビットを一意にマッピングし、10ビットが設定されていると仮定すると、BFに挿入された要素は2つだけであると言えます。 最悪の場合のシナリオ：ハッシュ関数が不良であり、常に同じビットにマップされていると仮定すると（相互に一意である場合）、BFに10個の要素が挿入されたと言えます 範囲は[2,10]のようです。この範囲の約は、おそらくフィルターの偽陽性確率によって決定されます-私はこの時点で立ち往生しています。
3
チェルノフ限界の拡張
Chernoffの以下の拡張機能への参照（私ができる証拠ではありません）を探しています。 ましょX1,..,XnX1,..,XnX_1,..,X_nはブールランダム変数であり、必ずしも独立ではありません。代わりに、各およびすべてに依存するすべてのイベントに対してが保証されます。i C { X j | j ≠ i }Pr(Xi=1|C)&lt;pPr(Xi=1|C)&lt;pPr(X_i=1|C)(1+\lambda)np\right)。 前もって感謝します！
2
ペアワイズ独立ガウス分布
（平均0および分散1の iidガウス分布）が与えられた場合、Y iがペアワイズであるように （m = k 2）Y 1、… 、Y mをサンプリングすることができますか（方法？）平均0、分散1の独立ガウス分布。X1,…,XkX1,…,XkX_1,\ldots,X_k000111m=k2m=k2m=k^2Y1,…,YmY1,…,YmY_1, \ldots, Y_mYiYiY_i000111
弊社のサイトを使用することにより、あなたは弊社のクッキーポリシーおよびプライバシーポリシーを読み、理解したものとみなされます。
Licensed under cc by-sa 3.0 with attribution required.