チェルノフ限界の拡張

12

Chernoffの以下の拡張機能への参照（私ができる証拠ではありません）を探しています。

ましょ $X_1,..,X_n$ はブールランダム変数であり、必ずしも独立ではありません。代わりに、各およびすべてに依存するすべてのイベントに対してが保証されます。 $Pr(X_i=1|C)<p$ $i$ $C$ $\{X_j|j\neq i\}$ ます。

当然、上限は $\Pr\left(\sum_{i\in[n]}X_i>(1+\lambda)np\right)$ 。

前もって感謝します！

reference-request pr.probability chernoff-bound

— 奇妙な
ソース

25

必要なのは、変数インデックスのサブセットSに対してのみを想定した一般化されたChernoff範囲です。後者は、場合、 ImpagliazzoとKabanetsは最近、一般化されたものを含むChernoff限界の代替証明を与えました。彼らの論文では、以前の研究への適切な参照をすべて見つけることができます：http : //www.cs.sfu.ca/~kabanets/papers/RANDOM2010.pdf $P(\bigwedge_{i\in S} X_{i}) \leq p^{|S|}$ $S=\{i_1,\ldots,i_{|S|}\}$

P (\underset{i \in S}{⋀} X_{i}) = P (X_{i_{1}} = 1) P (X_{i_{2}} = 1 | X_{i_{1}} = 1) \dots P (X_{i_{| S |}} = 1 | X_{i_{1}}, . . ., X_{i_{| S | - 1}} = 1) \leq p^{| S |}

$P(\bigwedge_{i\in S} X_{i}) = P(X_{i_1} = 1)P(X_{i_2}=1|X_{i_1}=1)\cdots P(X_{i_{|S|}}=1|X_{i_1},...,X_{i_{|S|-1}}=1)\leq p^{|S|}$

— ダナ・モシュコヴィッツ
ソース

説明をありがとう！実際、彼らの状態は私が持っているものと負の相関の両方によって暗示されています。だから、それは確かに質的に強い（バレンタインの話を聞いたとき、どういうわけかその点を見逃した）。今、私が必要とするものの証明が非常に短くなり、私の質問に答えられたと喜んでマークします、ありがとう！

— 好奇心が強い

3

あなたの場合、変数からサブマルチンゲールを作成し、同じ効果に対して古典的な東の不等式を使用するだけです。これが機能するためには、

これはあなたの仮定によって暗示されています。

P r [X_{i} = 1 | X_{1}, \dots, X_{i - 1}] < p

$Pr[X_i=1|X_1, \ldots, X_{i-1}] < p$

— MCH

7

私は文学での承知している最も近いものは負の相関ランダム変数にチャーノフの境界を拡張したもの、例えば参照これをか。 thisを。正式には、負の相関関係なしに条件を満たせますが、考え方は似ています。

あなたの一般化は証明するのが難しくないので、誰もそれを書くことを気にしなかったのかもしれません。

— レフ・レイジン
ソース

あなたは正しいです、それは私が見つけた最も近いものでもありました（「アルゴリズムの分析のための濃度」で）。問題は、原稿が長くなりすぎていることです。可能であれば、別のスピンオフを避けたいと思います。そうでない場合、私は...選択肢がないだろう

— 好奇心

3

これが付録の目的です:)

— レフレイジン

2

ねえ、みんな、それは前に証明されました、そして、私は私の答えで参照をしました（あなたが他のすべての関連する参照も見つけることができるところ）。

— ダナモシュコヴィッツ

おっと-すごい。どういうわけかあなたの答えに気づかなかった！

— レフReyzin

3

別の参照は、B。Doerrの補題1.19、ランダム化検索ヒューリスティックの分析：確率理論からのツール、ランダム化検索ヒューリスティックの理論（A. Auger and B. Doerr、eds。）、World Scientific Publishing、2011、pp.1- 20。

$X_i=1$ $p_i$ $X_1, \dots, X_{i-1}$ $X_1, \ldots, X_n$ $Y_1, \ldots, Y_n$ $p_1, \ldots, p_n$ 、それぞれ。証明は初歩的であり、結果は自然なので、誰もそれを書き上げる必要性を感じなかったと思います。

— ベンジャミン・ドール
ソース