m >> nレジームでのボールとビンの分析。

n個のボールをn個のビンに投入した場合、最も負荷の高いビンには $O(\log n)$ ボールが含まれている可能性が高いことはよく知られています。一般に、ビンで $m > n$ ボールについて尋ねることができます。RaabとStegerによるRANDOM 1998の論文は、これを詳細に調査しており、が増加すると、期待値をわずかに上回る確率が急速に減少することを示しています。大まかに、に設定すると、を超える確率で表示されることが示されます。 $n$ $m$ $m/n$ $r = m/n$ $r + \sqrt{r\log n}$ は $o(1)$ です。

この論文は1998年に登場しましたが、最近の記事はありません。これらの線に沿って新しい、さらに集中した結果がありますか、またはこれが最善であると疑うヒューリスティック/正式な理由がありますか？私はそれを追加する必要があります複数の選択肢のバリアントに関連する論文、2006年にアンジェリカStegerによる共著はどちらか任意のより多くの最近の研究を引用していません。

更新：ピーターのコメントに応えて、私が知りたいことを明確にさせてください。ここには2つの目標があります。

まず、どの引用を引用するかを知る必要がありますが、これはこれに関する最新の研究のようです。
第二に、r = 1の範囲で結果が非常に厳密であることは事実です。私はm >> nの範囲に興味があり、具体的にはrがpoly log nまたはn ^ cである可能性のある領域に興味があります。私はこの結果を私が証明している補題に当てはめようとしていますが、rの特定の境界はアルゴリズム全体の他の部分を制御します。この論文で提供されているrの範囲で十分であるとは思いますが（確信はありません）、私はただ、より厳密な限界がないことを確認したかったです（より良い結果が得られるでしょう）。

reference-request pr.probability

— スレシュ・ベンカット
ソース

タグから「占有問題」という名前を知ったので、教育的な質問を投稿してくれてありがとう。:)

— 伊藤剛

RaabとStegerの論文を見ると、これらの線に沿ってさらにどのような結果が欲しいかを理解するのは難しいです。答えを知る必要がある特定の質問はありますか？その場合は、こちらまたはMathOverflowでお尋ねください。特に、

r = m / n

$r=m/n$ 、RaabとSteger は

厳密な境界を与えます

正しい定数です。

r + \sqrt{2 r \log n}

$r + \sqrt{2r \log n}$

2

$2$

— ピーターショー

@Peter質問を編集します。それは有効なポイントです。

— スレシュヴェンカト

実際には完全な回答ではなく（有用な参考資料でもありません）、むしろ単なる拡張コメントです。任意のビンについて、ビンに正確に個のボールがある確率は、。Sondowによる不等式を使用できます。、、。結合し、これは、タイトかなり以降であることに留意されたい。 $B$ $p_B = \binom{m}{B} \left(\frac{1}{n}\right)^B \left(\frac{n-1}{n}\right)^{m-B}$ $\binom{(b+1)a}{a}<\left(\frac{(b+1)^{b+1}}{b^b}\right)^a$ $p_B < \left(\frac{(r+1)^{r+1}}{r^r}\right)^B \left(\frac{1}{n}\right)^B \left(\frac{n-1}{n}\right)^{m-B}$ $r=\frac{m}{B}-1$ $\binom{(b+1)a}{a}>\frac{1}{4ab}\left(\frac{(b+1)^{b+1}}{b^b}\right)^a$

したがって、ます。さて、ビン内で個以上のボールを見つける確率に興味があるので、。項を並べ替えると、 $p_B < e^{B(r+1)\ln(r+1) - Br\ln r - m\ln n + (m-B)\ln (n-1)}$ $B$ $p_{\geq B} = \sum_{b=B}^{m} p_b < \sum_{b=B}^{m} e^{b(r+1)\ln(r+1) - br\ln r - m\ln n + (m-b)\ln (n-1)}$

p_{\geq B} < e^{- m \ln \frac{n}{n - 1}} \times e^{B (r + 1) \ln (r + 1) - B r \ln r - B \ln (n - 1)} \sum_{b = 0}^{m - B} e^{b (r + 1) \ln (r + 1) - b r \ln r - b \ln (n - 1)} .

$p_{\geq B} < e^{-m\ln \frac{n}{n-1}} \times e^{B(r+1)\ln(r+1) - Br\ln r - B\ln (n-1)} \sum_{b=0}^{m-B} e^{b(r+1)\ln(r+1) - br\ln r - b\ln (n-1)}.$

上記の合計は単なる幾何級数であるため、これを単純化して項を指数関数で書き換えると、次いでなります

p_{\geq B} < e^{- m \ln \frac{n}{n - 1}} \times e^{B (r + 1) \ln (r + 1) - B r \ln r - B \ln (n - 1)} \times \frac{1 - {(\frac{(r + 1)^{r + 1}}{r^{r} (n - 1)})}^{m - B + 1}}{1 - (\frac{(r + 1)^{r + 1}}{r^{r} (n - 1)})} .

$p_{\geq B} < e^{-m\ln \frac{n}{n-1}} \times e^{B(r+1)\ln(r+1) - Br\ln r - B\ln (n-1)} \times \frac{1-\left(\frac{(r+1)^{r+1}}{r^r (n-1)}\right)^{m-B+1}}{1-\left(\frac{(r+1)^{r+1}}{r^r (n-1)}\right)}.$

\frac{(r + 1)^{r + 1}}{r^{r} (n - 1)}

$\frac{(r+1)^{r+1}}{r^r (n-1)}$

p_{\geq B} < e^{- m \ln \frac{n}{n - 1}} \times e^{B (r + 1) \ln (r + 1) - B r \ln r - B \ln (n - 1)} \times \frac{1 - {(e^{(r + 1) \ln (r + 1) - r \ln r - \ln (n - 1)})}^{m - B + 1}}{1 - e^{(r + 1) \ln (r + 1) - r \ln r - \ln (n - 1)}},

$p_{\geq B} < e^{-m\ln \frac{n}{n-1}} \times e^{B(r+1)\ln(r+1) - Br\ln r - B\ln (n-1)} \times \frac{1-\left(e^{(r+1)\ln (r+1) - r \ln r - \ln(n-1)}\right)^{m-B+1}}{1-e^{(r+1)\ln (r+1) - r \ln r - \ln(n-1)}},$

p_{\geq B} < \frac{e^{- m \ln \frac{n}{n - 1}} \times (e^{B ((r + 1) \ln (r + 1) - r \ln r - \ln (n - 1))} - e^{(m + 1) ((r + 1) \ln (r + 1) - r \ln r - \ln (n - 1))})}{1 - e^{(r + 1) \ln (r + 1) - r \ln r - \ln (n - 1)}} .

$p_{\geq B} < \frac{e^{-m\ln \frac{n}{n-1}} \times \left(e^{B((r+1)\ln(r+1) - r\ln r - \ln (n-1))} -e^{(m+1)((r+1)\ln (r+1) - r \ln r - \ln(n-1))}\right)}{1-e^{(r+1)\ln (r+1) - r \ln r - \ln(n-1)}}.$

今、私はあなたには、いくつか見つけることを気にそれを取るように、いくつかの定数のための、これは任意のビン持つの合計確率が与えられることから、以上のボールをから有界としてによる上記。この基準は、 CAN以下のように書き換えられる $B$ $p_{\geq B} < \frac{C}{n}$ $C$ $B$ $C$

\frac{e^{- m \ln \frac{n}{n - 1}} \times (e^{B ((r + 1) \ln (r + 1) - r \ln r - \ln (n - 1))} - e^{(m + 1) ((r + 1) \ln (r + 1) - r \ln r - \ln (n - 1))})}{1 - e^{(r + 1) \ln (r + 1) - r \ln r - \ln (n - 1)}} = \frac{C}{n},

$\frac{e^{-m\ln \frac{n}{n-1}} \times \left(e^{B((r+1)\ln(r+1) - r\ln r - \ln (n-1))} -e^{(m+1)((r+1)\ln (r+1) - r \ln r - \ln(n-1))}\right)}{1-e^{(r+1)\ln (r+1) - r \ln r - \ln(n-1)}} = \frac{C}{n},$

B = \frac{\ln (\frac{C}{n} e^{m \ln \frac{n}{n - 1}} (1 - e^{(r + 1) \ln (r + 1) - r \ln r - \ln (n - 1)}) + e^{(m + 1) ((r + 1) \ln (r + 1) - r \ln r - \ln (n - 1))})}{(r + 1) \ln (r + 1) - r \ln r - \ln (n - 1)} .

$B = \frac{\ln\left(\frac{C}{n} e^{m\ln \frac{n}{n-1}} \left(1-e^{(r+1)\ln (r+1) - r \ln r - \ln(n-1)}\right) + e^{(m+1)((r+1)\ln (r+1) - r \ln r - \ln(n-1))}\right)}{(r+1)\ln(r+1) - r\ln r - \ln (n-1)}.$

このコメントがあなたにとってどれほど役立つかはよくわかりませんが（どこかで間違いを犯した可能性は完全にあります）、うまくいけば役に立つかもしれません。

— ジョー・フィッツシモンズ
ソース

これはすごいです。アウトラインをありがとう。

— スレシュヴェンカト

@Suresh：嬉しいです。

— ジョーフィッツシモンズ