タグ付けされた質問 「pr.probability」

確率論における質問

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独立指数確率変数の合計
独立した指数確率変数の合計で鋭い集中結果を証明できますか、つまりをような独立なランダム変数としましょう。レッツ。我々は、フォームの境界を証明できる。これは、チェルノフ境界の分散形式を使用しているため、真であると信じている場合に直接続きますが、私が読んだ境界は、境界性を必要とするか、変数の境界性にある程度依存しています。誰かが私に上記の証拠を指摘できますか？ P R （X I < X ）= 1 - E - X / λ I Z = Σ X I P R （| Z - μ Z | > T ）< E - T 2 / Σ （λ I ）2X1,…XrX1,…XrX_1, \ldots X_rPr （X私< x ）= 1 − e− x …
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グラフラプラシアン（逆）共分散による多変量ガウスからのサンプリング
たとえば、Koutis-Miller-Peng（Spielman＆Tengの研究に基づく）から、非負のエッジ重みを持つスパースグラフのグラフラプラシアン行列である行列Aの線形システムAx=bAx=bA x = bを非常に迅速に解くことができることがわかります。 。AAA ここで（最初の質問）これらのグラフラプラシアン行列 1つをAAA共分散として使用するか、（2番目の質問）平均ゼロの多変量正規分布の逆共分散行列または。これらの各ケースについて、2つの質問があります。N(0,A)N(0,A)\mathcal{N}(\boldsymbol{0}, A)N(0,A−1)N(0,A−1)\mathcal{N}(\boldsymbol{0}, A^{-1}) A.この分布からどのくらい効率的にサンプルを抽出できますか？（通常、サンプルを描画するには、コレスキー分解を計算し、標準法線描画してから、としてサンプルを計算します）。A=LLTA=LLTA = LL^Ty∼N(0,I)y∼N(0,I)y \sim \mathcal{N}(\boldsymbol{0}, I)x=L−1yx=L−1yx = L^{-1} y B.の行列式をどれだけ効率的に計算できますか？AAA これらは両方ともコレスキー分解があれば簡単に解決できることに注意してください。しかし、上記で参照した手法を使用しない標準スパースコレスキーアルゴリズムを使用するよりも効率的にを抽出する方法はすぐにはわかりません。動作しますが、これはまばらだが高ツリー幅のグラフでは立方体の複雑さを持ちます。LLL
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ボレル-カンテリ補題とランダム化解除
私はRandom Oracles with（out）Programmabilityというタイトルの論文を読んでいました。セクション2.3の最後の段落は次のとおりです。 [私たちの新しいアプローチを使用して] Borel-Cantelli補題に 基づく、よく知られている古典的な漸近（および均一）デランダム化手法を適用する必要はありません。私たちの知る限りでは、このアプローチはこのペーパーでは斬新です。 WikipediaのBorel–Cantelli補題のエントリを見て、その考えをほぼ把握しました。ただし、それがどのようにランダム化解除に関係するのか、まだわかりませんでした。さらに、前述の段落の「漸近的」と「均一」の意味がわかりません。 PS：Borel-Cantelliのグーグルとランダム化解除にはいくつかの興味深い結果が表示されますが、それらを十分に理解するのに十分な背景がありません。
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確率論的なパワードメイン操作の下でクローズされた既知のCCCはありますか？
同様に、確率論的高次関数型プログラミング言語の既知の意味論的意味論はありますか？具体的には、対称ランダムバイナリ選択演算によって拡張された、純粋な型なしの -calculusのドメインモデルがあります。λλ\lambda 動機 デカルト閉じたカテゴリは、高次の -calculiにセマンティクスを提供します。確率論的パワードメインは、確率的プログラムに意味論を提供します。確率論的パワードメイン操作の下で閉じられたCCCは、確率論的高次関数型プログラミング言語に意味論を提供します。λλ\lambda 関連作業 Tix、Keimel、およびPlotkin（2004）[1]は、lower-、upper-、およびconvex-powerdomain演算の最新の構造を示していますが、 確率論的パワードメインの構築の下で閉じられる連続ドメインのデカルト閉じたカテゴリーがあるかどうかは、未解決の問題です。 Mislove（2013）[2,3]は、1次言語の連続確率変数のセマンティクスを示していますが、 確率論的パワードメインは有向完全ポーズ（略してdcpos）およびスコット連続マップのCCCを不変のままにしますが、通常の近似の仮定を満たすdcposのドメインのデカルト閉じたカテゴリーはありません。この構成。知られている最高のものは、コヒーレントドメインのカテゴリが確率的選択モナド[4]の下で不変であるということですが、このカテゴリはデカルト閉じていません。 参考文献 Regina Tix、Klaus Keimel、およびGordon Plotkin（2004）「確率と非決定 性を組み合わせるためのセマンティックドメイン」。 マイケル・ミスラブ（2013） 「連続確率変数のドメインの構造I」 マイケル・ミスラブ（2013）「連続確率変数の領域の分析 II」 Jung、A. and R. Tix（1998） 「厄介な確率論的パワードメイン」
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ランダムなものよりも優れた構造。
私は、ランダムな構造よりも優れている複雑性理論の構造の例に興味があります。 私が知っているそのような構成の唯一の例は、エラー訂正コードの分野です。代数幾何学コードは、ランダムコードよりもいくつかの範囲のパラメーターで優れています。 そのような人為的な例を簡単に構築することができます。私は代数幾何学コードのような例に興味があります。ランダムな構造を作るのは簡単で、どのように改善するかは明らかではありません。
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均一コインとバイアスコインの間の統計的距離
ましょうUUU一様分布であるnnnビット、およびlet DDD上分布であるnnnビットは独立しており、各ビットはビット111の確率で1/2−ϵ1/2−ϵ1/2-\epsilon。それは間の統計的な距離というのは本当であるDDDとUUUあるΩ(ϵn−−√)Ω(ϵn)\Omega(\epsilon \sqrt{n})、場合n≤1/ϵ2n≤1/ϵ2n \le 1/\epsilon^2？
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複数の試行で低いエントロピー値を推測する
アリスは分布があるとし（しかし、おそらく非常に大きい）ドメイン、有限の上の（シャノン）エントロピーようμは上部任意の小さな定数とによって制限されますε。アリスはμから値xを引き出し、ボブ（μを知っている）にxを推測するように依頼します。μμ\muμμ\muεε\varepsilonxxxμμ\muμμ\muxxx ボブの成功確率はどれくらいですか？彼は唯一の推測を許可されている場合、次のように一つは、この確率を下げることができる結合：エントロピ上限を最小エントロピーは、そう少なくとも確率有する要素がある。ボブは彼の推測として、この要素を選択した場合、彼の成功確率は次のようになります2 - ε。2−ε2−ε2^{-\varepsilon}2−ε2−ε2^{-\varepsilon} ここで、ボブが複数の推測、たとえば推測を行うことが許可されており、推測の1つが正しければボブが勝つと仮定します。ボブの成功確率を向上させる推測スキームはありますか？特に、ボブの失敗確率がtとともに指数関数的に減少することを示すことは可能ですか？tttttt
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低確率座標のない高確率イベント
ましょ内の値を取る確率変数（いくつかの大規模なアルファベットのための非常に高いエントロピーあり、） -たとえば、任意に小さい定数。ましょうをサポートするイベントであるよう、\ varepsilonが任意に小さく一定です。XXXΣnΣn\Sigma^nΣΣ\SigmaH(X)≥(n−δ)⋅log|Σ|H(X)≥(n−δ)⋅log⁡|Σ|H(X) \ge (n- \delta)\cdot\log|\Sigma|δδ\deltaE⊆Supp(X)E⊆Supp(X)E \subseteq \rm{Supp}(X)XXXPr[X∈E]≥1−εPr[X∈E]≥1−ε\Pr[X \in E] \ge 1 - \varepsilonεε\varepsilon 私たちは、ペアがあると言う(i,σ)(i,σ)(i,\sigma)ある低い確率が座標のEEE場合Pr[X∈E|Xi=σ]≤εPr[X∈E|Xi=σ]≤ε\Pr[X \in E | X_i = \sigma] \le \varepsilon。私たちは、文字列があると言うx∈Σnx∈Σnx \in \Sigma^n 低い確率での座標が含まEEE場合(i,xi)(i,xi)(i, x_i)低い確率の座標であるEEEいくつかのためにiii。 一般的には、いくつかの文字列でEEE確率の低い座標含まれていてもよいEEE。質問は、私たちは常に高い確率事象見つけることができるであるE′⊆EE′⊆EE' \subseteq Eには、文字列ようなE′E′E'低い確率での座標が含まれていないE′E′E'（やないのEEE）。 ありがとう！
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可逆ランダムウォークのカバー時間とスペクトルギャップ
次のような定理を探しています。可逆マルコフ連鎖のカバータイムが小さい場合、スペクトルギャップは大きくなります。ここで、スペクトルギャップは意味します。λ 2 | 1 − | λ2|1−|λ2|1-|\lambda_2|つまり、チェーンの最小固有値を無視します。 O （n ログn ）O（んログ⁡ん）O(n \log n)1 − 最大（| λ2| 、 | λん| ）1−最高（|λ2|、|λん|）1-\max(|\lambda_2|, |\lambda_n|)ん− 1ん−1n^{-1} 直感的には、グラフのすべての頂点をすばやくカバーできれば、混合時間が短くなるはずです。特に、ん2ん2n^2時間でグラフのすべての頂点をカバーできる場合、確かに、たとえばn ^ {-1000}のスペクトルギャップを除外できるはずん− 1000ん−1000n^{-1000}です。 短いカバータイムと大きなスペクトルギャップの間の影響を壊す可能性のある障害の1つは、2部構成性です。2部構成グラフでは、固有値が-1の小さなカバータイムを持つことができます− 1−1-1。私の質問では、最小の固有値を無視することでこの問題を回避しています。
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ランダムウォークに関する技術的な質問
（元の質問にはまだ回答がありません。さらに説明を追加しました。） ランダムウォークをマルコフチェーンとして表示してランダムウォーク（無向グラフ上）を分析する場合、マルコフチェーンの基本定理が適用されるように、グラフを非二部グラフにする必要があります。 グラフGGGが代わりに2部グラフである場合はどうなりますか？Iは、特に打撃時に興味の間にエッジが存在し、及びJでG。二部グラフGにm個のエッジがあるとします。グラフの任意の頂点に自己ループを追加して、結果のグラフG 'を非二部にすることができます。マルコフ連鎖の基本的な定理を適用Gは、「私たちは、その取得時間I 、J &lt; 2 メートル+ 1でGを"h i 、j ihi,jh_{i,j}iijjGGGGmmG′G'G′G'hi,j&lt;2m+1h_{i,j} < 2m+1G′G'、これは明らかにGのh i 、jの上限でもあります。hi,jh_{i,j}GG 質問：Gでより強い主張h i 、j &lt; 2 mhi,j&lt;2mh_{i,j} < 2mが成り立つというのは本当ですか？（2SATのランダムウォークアルゴリズムの分析でこれが主張されていることがわかりました。）または、セルフループを追加するこの追加の手順を実行する必要がありますか？GG
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3つの結果を持つ確率変数のチャーノフ型不等式
非数値a、b、cを取るランダム変数があり、この変数のサンプルの経験的分布が真の分布からどのように逸脱しているかを定量化したいとします。この場合、次の不等式（Cover＆Thomasによる）が適用されます。んnn 定理12.4.1（Sanovの定理）：レッツ IIDこと〜Q （X ）。 してみましょうE ⊆ Pは確率分布の集合とします。次いで、 Q N（E ）= Q N（E ∩ P N）≤ （N + 1 ）| X | 2 − n D （P ∗ |バツ1、X2、… 、XんX1,X2,…,XnX_1, X_2, \ldots, X_n〜Q （X ）∼Q(x)\sim Q(x)E⊆ PE⊆PE \subseteq \mathscr{P}Qん（E）= Qん（E∩ Pん）≤ （n + 1 ）| バツ|2− n D （P∗| | …
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ベリーエッセンの定理の有界独立変形
不変性の原則に関するRyan O'Donnellのプレゼンテーションに出会いました。ベリーエッセンの定理を証明した後、定理の拡張について説明するスライドがあり、そこにはいわゆる「非ランダム化バージョン」があると述べられています。 もし -nice、3通りの独立した（第三モーメントを境界有していること）、次いで、ある -いい。バツ1、… 、Xメートルバツ1、…、バツメートルX_{1},\ldots,X_{m} CCCバツ1+ … + Xメートルバツ1+…+バツメートルX_{1}+\ldots+X_{m}O （C）O（C）O(C) 上記が3方向の独立確率変数の合計の3番目のモーメントに関する記述であるのか、それとも有限独立の場合にベリーエッセンの定理の変形が実際に存在するのかはわかりません。 証明を調べると、3ワイズがどのように機能するかがわかりますが、この定理の有界独立変形について説明しているソースは見つかりませんでした。いずれかがあります？
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ごとに独立した確率空間
私は、次のことを単純明快に説明できるリファレンスを見つけるのに非常に苦労しています。 我々が持っていると仮定しんんnの確率変数Y1、… 、YんY1、…、YんY_1, \dots, Y_nのそれぞれ、bbb長い-bits。（つまり、値を持つ{ 0 、 … 、2b− 1 }{0、…、2b−1}\{0, \dots, 2^b-1 \}）。各Y私Y私Y_iにバイアスがなく（正確に確率で各値を取る2− b2−b2^{-b}）、kkk独立性のある確率空間が必要です。つまり、任意の私1&lt; ⋯ &lt; ik私1&lt;⋯&lt;私ki_1 < \dots < i_kおよび任意の我々は P （Y I 1 = Y 1 ∧ ⋯ ∧ Y I kは = Y 、K）= 2 - k個のBをy1、… 、yky1、…、yky_1, \dots, y_kP（Y私1= y1∧ ⋯ ∧ Y私k= yk）= 2− …
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