ごとに独立した確率空間

私は、次のことを単純明快に説明できるリファレンスを見つけるのに非常に苦労しています。

我々が持っていると仮定し $n$ の確率変数 $Y_1, \dots, Y_n$ のそれぞれ、 $b$ 長い-bits。（つまり、値を持つ $\{0, \dots, 2^b-1 \}$ ）。各 $Y_i$ にバイアスがなく（正確に確率で各値を取る $2^{-b}$ ）、 $k$ 独立性のある確率空間が必要です。つまり、任意の $i_1 < \dots < i_k$ および任意の我々は $y_1, \dots, y_k$

P （ Y_{私_{1}} = y_{1} \land \dots \land Y_{私_{k}} = y_{k} ） = 2^{- k b}

$P(Y_{i_1} = y_1 \wedge \dots \wedge Y_{i_k} = y_k) = 2^{-k b}$

ときあなたは常にサイズの確率空間得ることができ、時にはあなたが得ることができる -これらが可能な場合についての明確な声明はありますか？ $b = 1$ $n^{k}$ $n^{k/2}$

誰かがときに何が起こるかについての参照を私に指摘できますか？ $b > 1$

ありがとう

pr.probability limited-independence

— デビッドハリス
ソース

私は、参照が何であるかわからないんだけど、私が知っている構造がある：オーバーランダム多項式選択

高々度を

とでそれを評価する

のポイント。これにより、サイズ

サンプル空間が得られます。これはあなたが探している種類の結果ですか？

G F (2^{max {b, ⌈ \log_{2} n ⌉}})

$GF(2^{\max\{b,\lceil \log_2 n \rceil\}})$

k - 1

$k-1$

n

$n$

max {2^{k b}, n^{k}}

$\max\{2^{kb}, n^k\}$

— トーマス

Salil Vadhanによるトピックについての良い調査があります。オンラインで入手できます：people.seas.harvard.edu/~salil/pseudorandomness。第3章では、

単位の独立確率変数

説明します。

k

$k$

— ユーリー、2014

任意のために、アロン、Babaiと板井は低い確率空間の大きさに結合した示した $b$ $m(n,\lfloor k/2 \rfloor)$

メートル （ ん 、 k ） = Σ_{私 = 0}^{k} （ \binom{ん}{私} ）

$m(n,k) = \sum\limits_{i=0}^k \binom{n}{i}$

これは定数です。 $\Omega(n^{k/2})$ $k$

彼らはまた、場合、サイズ構造を与えました。 $O(n^{k/2})$ $b = 1$

以下のためにによって紙があるカーロフとマンスールどの番組下限と任意の確率のための上限、すなわち、のためにと。たとえば、確率空間サイズが少なくともような確率があります。彼らはまた、 $b=1$ $p_1,\ldots,p_n$ $p_i = P(Y_i = 1)$ $p_1,\ldots,p_n$ $m(n,k)$ も任意確率の上限です。 $m(n,k)$

Thomasがコメントとして述べた構造（ここを参照）によって与えられるよりも良い上限を持つ構造を私は知りません。 $O(n^k)$

— マーク・ベリー
ソース