ランダムウォークに関する技術的な質問

（元の質問にはまだ回答がありません。さらに説明を追加しました。）

ランダムウォークをマルコフチェーンとして表示してランダムウォーク（無向グラフ上）を分析する場合、マルコフチェーンの基本定理が適用されるように、グラフを非二部グラフにする必要があります。

グラフ$G$が代わりに2部グラフである場合はどうなりますか？Iは、特に打撃時に興味の間にエッジが存在し、及びJでG。二部グラフGにm個のエッジがあるとします。グラフの任意の頂点に自己ループを追加して、結果のグラフG 'を非二部にすることができます。マルコフ連鎖の基本的な定理を適用Gは、「私たちは、その取得時間I 、J < 2 メートル+ 1でGを"h i 、j$h_{i,j}$$i$$j$$G$$G$$m$$G'$$G'$$h_{i,j} < 2m+1$$G'$、これは明らかにGのh i 、jの上限でもあります。$h_{i,j}$$G$

質問：Gでより強い主張$h_{i,j} < 2m$が成り立つというのは本当ですか？（2SATのランダムウォークアルゴリズムの分析でこれが主張されていることがわかりました。）または、セルフループを追加するこの追加の手順を実行する必要がありますか？$G$

この回答は、質問者が実際に興味を持っていることとは異なる何かを証明しました。他の人が同じ間違いを繰り返さないように、ここに残してください。

ほとんどの場合、「自己ループはウォークを遅くするだけである」という直観的な概念を、結合の引数によって正式に正当化できます。この場合、たとえば、ウォークをセルフループ（Aとしましょう）とセルフループなし（Bとしましょう）を組み合わせて、AがBと同じステップを実行しますが、時間を遅らせることができます。仮定する：これは、例えば、次のように行われるのB で開始し、U = X 0と通過するX I：I = 1 、2 、... 、$A$$B$$A$$B$$B$$u = x_0$$x_i: i =1,2,\ldots,k$。ここで、Aを次のように実装します。AもBと同じ頂点を通過しますが、 頂点x iは、Geometric（p i）時間待機します。ここで、p iはx iでの自己ループ確率です。これはAの正しい実装（すべての遷移確率は正しい）であり、結合の形式により、AがBの前に頂点に到達しないことが保証されます。つまり、H A tとH B tが結合されます。$A$$A$$B$$x_i$$p_i$$p_i$$x_i$$A$$A$$B$$H_t^A$$H_t^B$ （2つの四球でランダム打撃倍）ので、H A T ≥ H BのT 確率を有する1。したがって、予想打撃時間の不等式が続きます。$H_t^A \geq H_t^B$$1$

私は以前これをコメントとして投稿しましたが、user686の変更された質問に肯定的に答えると思います（iとjがグラフGのエッジで接続されている場合（2部かどうかに関係なく）、h （i 、j ）、iからjまでの予想打撃時間はh （i 、j ）< 2 mを満たします。）$i$$j$$G$$h(i,j)$$i$$j$$h(i,j) < 2m$

また、元の未編集バージョンでは、質問にiとjが隣接しているとは記載されていなかったため、以前の回答は元の質問に関連していますが、新しい編集バージョンには関連していません。$i$$j$

場合Iとjが隣接している、通勤時間C （I 、J ）= H （I 、J ）+ H （J 、I ）= 2 m個R （I 、J ）、R （I 、jは）有効ですGのiとjの間の抵抗で、最大で1です（iと$i$$j$$C(i,j)=h(i,j)+h(j,i)=2mR(i,j)$$R(i,j)$$i$$j$$1$$i$$j$エッジで接続されています）。このことから、H （I 、J ）< 2 m個I及びjは隣接しているGの両方のため、H （I 、J ）とH （J 、Iは）厳密に正です。$h(i,j)<2m$$i$$j$$G$$h(i,j)$$h(j,i)$

アイデンティティC （i 、j ）= 2 m R （i 、j ）は、任意の頂点iおよびjに対して保持されます。証拠は、例えば、Lyons and Peresの本に現れます。$C(i,j) = 2mR(i,j)$$i$$j$

@ user686申し訳ありませんが、私の以前の答えについては、あなたが2 m + 1 vs 2 mについて心配しているとは知りませんでした。ただし、その場合、jでのみ自己ループを追加した場合、その主張は当てはまらないと思います。ランダム始まる歩くIの両方の場合にG 'とし、Gは、それらが取るように結合することができる。■ m個のEそれらが到達するまで同じ時間に手順Jを。これは、H （i 、j ）G = H （i $2m+1$$2m$$j$$i$$G'$$G$$same$$j$j ）G ′、したがって予想される打撃時間は等しくなければなりません。$H(i,j)_G=H(i,j)_{G'}$

また、バインドされたh i 、j < 2 m + 1は一般に正しくありません（mノードのパスでは、h i 、jはΘ （m 2）まで大きくなる可能性があります）、グラフは特別ですか？$h_{i,j} < 2m+1$$m$$h_{i,j}$$\Theta(m^2)$

PS：それはあなたの主な懸念に対処していないようだったので、以前の回答を更新しました。