ガウス確率変数の高次モーメントの指数濃度不等式

ましょうあることのガウス確率変数のIIDコピーX \ simのN（0、\シグマ^ 2） 。それすることが知られている （| \ FRAC {1} {N} \ sum_ {J = 1} ^ nはX - jが\ BIGL | \ BIGL> T \ BIGR）{ALIGN} \ mathbb {P} \ BIGLを開始\＆\当量を2 \ exp（cnt ^ 2）~~ \ text {and} \\ \ mathbb {P} \ Bigl（\ Bigl | \ frac {1} {n} \ sum_ {j = 1} ^ n（X_j ^ 2-\ mathbb {E} X_j ^ 2）\ Bigl |> t \ Bigr）＆\ leq 2 \ exp（cn \ min \ {t ^ 2、t \}）。\ end {align} これらの2つの結果は、サブガウスおよびサブ指数確率変数の濃度不等式から続き、2番目の結果は、バーンスタインタイプの不等式です。ガウス確率変数のより高いモーメントについても同様の結果があるのでしょうか。持つことができます $X_1,\ldots, X_n$$n$$X \sim N(0, \sigma^2)$

$$\begin{align} \mathbb{P}\Bigl( \Bigl|\frac{1}{n}\sum_{j=1}^n X_j \Bigl| >t\Bigr) &\leq 2 \exp( cnt^2)~~\text{and}\\ \mathbb{P}\Bigl( \Bigl|\frac{1}{n}\sum_{j=1}^n (X_j^2 - \mathbb{E}X_j^2) \Bigl| >t\Bigr) &\leq 2 \exp( cn\min \{t^2, t\}). \end{align}$$ $$\begin{align} \mathbb{P}\Bigl( \Bigl|\frac{1}{n}\sum_{j=1}^n (X_j^4 - \mathbb{E}X_j^4) \Bigl| >t\Bigr) \leq 2 \exp( cnt)? \end{align}$$ そして、より一般的には、\ alpha> 0に対して\ mathbb {P}（| Y |> t）\ leq 2 \ exp（ct ^ {\ alpha}）を満たす中心のランダム変数Y に対して、濃度は指数不等式sum_ {iは1 =} ^ N Y_I \？つまり、 \ begin {align} \ mathbb {P} \ Bigl（\ Bigl | \ frac {1} {n} \ sum_ {j = 1} ^ n（Y_j-\ mathbb {E} Y_j）\ Bigl |> t \ Bigr）\ leq 2 \ exp（cnt ^ \ beta）\ end {align} for some \ beta> 0？$Y$$\mathbb{P}(|Y| > t) \leq 2 \exp(c t^{\alpha})$$\alpha > 0$$\sum_{i=1}^n Y_i$ $$\begin{align} \mathbb{P}\Bigl( \Bigl|\frac{1}{n}\sum_{j=1}^n (Y_j - \mathbb{E}Y_j) \Bigl| >t\Bigr) \leq 2 \exp( cnt^\beta) \end{align}$$ $\beta > 0$

Ryan O'Donnellの著書Analysis of Boolean functionsのSection 9.3の定理23を参照してください。$\pm 1$変数についての定理は述べられていますが、ガウシアンについても当てはまります（詳細については、本の第10章を参照してください）。

より一般的な記述については、Terry Taoのこれらの講義ノートの演習7を参照してください。