ランダムブール関数の予想される最小の影響

$f\colon\{-1,1\}^n \to \{-1,1\}$ $i$

{Inf}_{i} [f] \overset{d e f}{=} \underset{x \sim {- 1, 1}^{n}}{Pr} [f (x) \neq f (x^{\oplus i})]

$\operatorname{Inf}_i[f] \stackrel{\rm def}{=} \Pr_{x\sim\{-1,1\}^n}[ f(x) \neq f(x^{\oplus i})]$

x^{\oplus i}

$x^{\oplus i}$

i

$i$

x

$x$

f

$f$

MinInf [f] \overset{d e f}{=} min_{i \in [n]} {Inf}_{i} [f] .

$\operatorname{MinInf}[f] \stackrel{\rm def}{=} \min_{i\in[n]}\operatorname{Inf}_i[f].$

パラメータが与えられ、我々は選択し -random関数、それぞれにその値を選択することで、であることを独立してランダムに入力確率で、および確率で。そして、すべてのおよびfortiori $p\in[0,1]$ $p$ $f$ $2^n$ $1$ $p$ $-1$ $1-p$ $i\in[n]$

E_{f} [{Inf}_{i} [f]] = 2 p (1 - p)

$\mathbb{E}_{f}[\operatorname{Inf}_i[f]] = 2p(1-p)$

I_{n} (p) \overset{d e f}{=} E_{f} [MinInf [f]] \leq 2 p (1 - p) .

$I_n(p) \stackrel{\rm def}{=}\mathbb{E}_{f}[\operatorname{MinInf}[f]] \leq 2p(1-p).$

私の質問は：

漸近的（に関して）厳密な表現はありますか？でものため、私たちは、このような表現を得ることができますか？ $n$ $I_n(p)$ $p=\frac{1}{2}$

具体的には、低次の項に関心があります。つまり、量漸近的等価物に興味があります。 $2p(1-p)-I_n(p)$

（次の質問ですが、最初の質問に従属しているのは、この期待の周りに適切な集中限界を得ることができるかどうかです。）

チャーノフによって1は、各ことを示すことができる境界労働組合で（私があまりにもひどく台無しにしなかった場合は）我々が得る拘束さそうという、良い濃度を有するが、これは最も可能性が高いのは、（結合の境界により）下限であり、明らかに上限です。（特に、些細なより厳密に小さい上限を探してい）。 $\operatorname{Inf}_i[f]$

\frac{1}{2} - O (\sqrt{\frac{n}{2^{n}}}) \leq I_{n} (\frac{1}{2}) \leq \frac{1}{2}

$\frac{1}{2} - O\left(\sqrt{\frac{n}{2^n}}\right) \leq I_n\left(\frac{1}{2}\right) \leq \frac{1}{2}$

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$

最小限の服用以外にそれを行うにおける課題の一つ、という注意同一分布確率変数（影響は）、これらの確率変数は独立していないということです...私は彼らの相関が「かなり速い」と減衰することを期待しますが、。 $n$ $n$

（その価値については、最初の数個のをまで明示的に計算し、シミュレーションを実行して、程度までの次のものを推定しました。可能ですが、オフィスに戻ったらそれを含めることができます。） $I_n(1/2)$ $n=4$ $n=20$

reference-request pr.probability boolean-functions

— クレメントC
ソース

最初の数個を以下に示します（最初の4個のみが正確で、残りは10 ^ 5個のランダムに生成された関数で平均化された（影響を推定するための）ランダムサンプリングからのものです）

（注：シミュレーションでは、4桁目が本当に重要かどうかは

ません）

\begin{aligned} 1 & 0.500 \\ 2 & 0.375 \\ 3 & 0.3359375 \\ 4 & 0.339141845703125 \\ 5 & 0.3623 \\ 6 & 0.3907 \\ 7 & 0.4166 \\ 8 & 0.4373 \\ 9 & 0.4535 \\ 10 & 0.4659 \\ 11 & 0.4751 \\ 19 & 0.4965 \\ 20 & 0.4967 \end{aligned}

$\begin{align}1 &\qquad 0.500\\ 2 &\qquad 0.375\\ 3 &\qquad 0.3359375\\ 4 &\qquad 0.339141845703125\\ 5 &\qquad 0.3623\\ 6 &\qquad 0.3907\\ 7 &\qquad 0.4166\\ 8 &\qquad 0.4373\\ 9 &\qquad 0.4535\\ 10 &\qquad 0.4659\\ 11 &\qquad 0.4751\\ 19 &\qquad 0.4965\\ 20 &\qquad 0.4967\\ \end{align}$

— クレメントC.

これが正しい方向への一歩です...

私はのためと主張しているよ、あなたが持っている $p=1/2$ 。 $1/2 - I_n(1/2) = \Omega(\sqrt{1/2^n})$

（これは本来あるべきほど強力ではありません。誰かが。）これは証明スケッチです。 $\Omega(\sqrt{n/2^n})$

これは、表示するために十分で。そうします。 $1/2 - E_f[\min(\text{Inf}_1[f],\text{Inf}_2[f])] = \Omega(\sqrt{1/2^n})$

場合、その音符と二つの独立した和の最小の期待があるため、完全に独立した、我々が行われるだろう $\text{Inf}_1[f]$ $\text{Inf}_2[f]$ 。最初に、2つの合計がほとんど独立していることを慎重に議論します。 $1/2-\Omega(\sqrt{1/2^n})$

点の宇宙考える。番目の座標だけが異なる場合、近傍でと呼び出します。場合、2つの近傍が（）貢献するとします。（したがって、は、寄与数です。 $X=\{-1,1\}^n$ $x$ $x'$ $X$ $i$ $i$ $\text{Inf}_i[f]$ $f(x) \ne f(x')$ $\text{Inf}_i[f]$ $i$ -neighbors、で割っ）。なお、もしおよびである -neighbors、そして及びであるいずれか次いで、-neighbors または。したがって、寄与の数 $2^{n-1}$ $x$ $x'$ $i$ $y$ $y'$ $i$ $\{x,x'\}=\{y,y'\}$ $\{x,x'\}\cap\{y,y'\}=\emptyset$ $i$ -neighborsは、の和であるの独立確率変数、期待各。 $2^{n-1}$ $1/2$

ユニバースをサイズ4のグループに分割しますとは、最初の2つの座標を除いてとがすべて一致する場合に同じグループに属します。各対について 1-近隣の、及び各対 2 -隣人の、とと同じグループにあります。所与のグループのための及び $X$ $2^{n-2}$ $x$ $x'$ $x$ $x'$ $(x,x')$ $(x,x')$ $x$ $x'$ $g$ 、RVせて寄与の数であるで-neighbors。次いで、例えば、1-隣人寄与の数は、全体で、の合計でそれぞれ独立ランダム変数。 $i\in\{1,2\}$ $c^g_i$ $i$ $g$ $\sum_g c^g_1$ $2^{n-2}$ $\{0,1,2\}$

場合、とは独立していることに注意してください。ケース分析により、場合、との同時分布は $c^g_1$ $c^{g'}_2$ $g\ne g'$ $g=g'$ $c^g_1$ $c^g_2$

\begin{array}{cccc} 0 & 1 & 2 \\ 0 & 1 / 8 & 0 & 1 / 8 \\ 1 & 0 & 1 / 2 & 0 \\ 2 & 1 / 8 & 0 & 1 / 8 \end{array}

$\begin{array}{c|ccc} & 0 & 1 & 2 \\ \hline 0 & 1/8 & 0 & 1/8 \\ 1 & 0 & 1/2 & 0 \\ 2 & 1/8 & 0 & 1/8 \\ \end{array}$

rv は、中立グループのセットを示します。（これらは、1-影響および2-影響を正確に自分の予想額を拠出。）1-隣人の貢献の数は、その後です $N=\{ g : c^g_1=c^g_2=1\}$

| N | + \sum_{g \in \bar{N}} c_{1}^{g} 。

$|N| + \sum_{g\in \overline{N}} c^g_1.$

$N$ $g\in \overline N$ $c^g_1$ $c^g_2$ $N$ $\{c^g_i : i\in\{1,2\}, g\in\overline N\}$ $\{0,2\}$

E [| \bar{N} | - 分 （ \sum_{g \in \bar{N}} c_{1}^{g} 、 \sum_{g \in \bar{N}} c_{2}^{g} ） | N] \geq Θ （ \sqrt{| \bar{N} |} ） 。

$\textstyle E\Big[|\overline N|- \min\big(\sum_{g\in \overline N} c^g_1, \sum_{g\in \overline N} c^g_2\big) ~\Big|~ N\Big] \ge \Theta(\sqrt{|\overline N|}).$

$\Pr[|\overline N| \le 2^{n-2}/3]$ $\exp(-\Omega(2^n))$ $-2^n$

— ニール・ヤング
ソース

n

$n$