確率過程のような雪崩

次のプロセスを検討してください。

ある$n$ビンは上から下に配置されています。最初は、各ビンに1つのボールが含まれています。すべてのステップで、私たちは

1. ランダムに均一にボール を選び、$b$
2. $b$を含むビンからその下のビンにすべてのボールを移動します。既に最下位のビンであった場合、プロセスからボールを​​削除します。

プロセスが終了するまで、つまり、$n$ボールがすべてプロセスから削除されるまで、どのくらいのステップが予想されますか？これは以前に研究されたことがありますか？答えは既知の手法から簡単にわかりますか？

最良の場合、プロセスは$n$ステップ後に終了できます。最悪の場合、$\Theta(n^2)$ステップかかることがあります。ただし、どちらの場合も非常にまれです。私の推測では、$\Theta(n\log n)$ステップかかり、これを確認するようにいくつかの実験を行いました。

（ランダムにビンを均一に選択することは非常に異なるプロセスであり、明らかに$\Theta(n^2)$ステップを完了することに注意してください。）

本当の答えではなく、アンドラスの答えに対する拡張コメント。

Andrásの答えには良い直観が含まれていますが、予想されるステップ数の厳密な計算ではないと思います。これはおそらく答えの良い近似だと思いますが、最上位のビンが下に空になる前に、最も高い占有ビンの下のビンが空になる場合を適切に処理するようには見えません。それでも、これは合理的な近似値になる可能性があります（わかりません）。

彼の計算には、スケーリングに影響するエラーが含まれています。まったく同じ開始点を取り、計算をやり直して拡張します。

ランダムに正しいビンを選択する確率があるように、それは、合計内部のpの係数をミス1ではなく$\frac{p}{n}$。結果として、$\frac{1}{n}$

$\begin{eqnarray*} n + \sum_{p=1}^n \sum_{k=0}^{\infty} (k+1) \frac{p}{n} \left(\frac{n-p}{n}\right)^k & = & n + \sum_{p=1}^{n} \frac{p}{n} \sum_{k=0}^{\infty} (k+1) \left(\frac{n-p}{n}\right)^k \\\\& = & n + \sum_{p=1}^{n} \frac{p}{n} \cdot \frac{n^2}{p^2} \\\\& = & n + n\sum_{p=1}^{n} 1/p \\\\& = & n (1+H_n) \end{eqnarray*}$

ここで、はn番目の調和数です。近似するHをN我々は単に不可欠で和を置き換えることができます：H N ≈ ∫ のn + 1 1$H_n = \sum_{p=1}^{n} 1/p$$H_n$。したがって、スケーリングはn（1+log（n+1））または約nlog（n+1）です。このスケーリングは問題のスケーリングと正確には一致しませんが（以下のシミュレーションを参照）、ほぼ正確にlog倍$H_n \approx \int_{1}^{n+1} \frac{1}{x} dx = \log(n+1)$$n (1+\log(n+1))$$n \log(n+1)$。$\log(2)$

赤い丸：1万回の実行で平均化されたプロセスのシミュレーションのデータポイント。緑：。青：n log （n + 1 $n \log_2(n+1)$$n \log(n+1)$。

編集：定理を証明する厄介なプロセスを説明するために、（今のところ）この答えをそのままにしておきます。これは、公開された論文には残されていません。ここでの核となる直感は、一番下のボールが一掃されるので、一番上のボールに集中するだけで十分であるということです。コメント（特にギャップが発生する可能性があることを指摘している@Michael）と、エラーの特定および修正方法についての@Joeの後の回答を参照してください。特に、Joeが実験を使用して、式が適切かどうかを再確認するのが好きです。

$n$$(1 + \pi^2/6)n$

$b_1b_2\cdots b_n$$b_1 = n$$b_2 \ge n-1$$\dots$$b_i \ge n-i+1$$b_1$$b_2$$b_n$$1,2,\ldots,n$）。これらは、個別のイベントとして次々に表示されます。予想されるステップ数は

$\begin{eqnarray*}n + \sum_{p=1}^n \sum_{k=0}^{\infty} \frac{k+1}{n} \left(\frac{n-p}{n}\right)^k & = & n + \sum_{p=1}^{n-1} \frac{1}{n-p} \sum_{k=1}^{\infty} k\left(\frac{n-p}{n}\right)^k \\& = & n + \sum_{p=1}^{n-1} \frac{1}{n-p} n(n-p)/p^2 \\& = & n + n\sum_{p=1}^{n-1} 1/p^2 \\& \le & (1 + \pi^2/6)n. \end{eqnarray*}$