タグ付けされた質問 「graph-theory」

グラフ理論は、オブジェクト間のペアワイズ関係をモデル化するために使用される数学的構造であるグラフの研究です。

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有向グラフではNP完全であるが無向グラフでは多項式であるグラフ問題
私は、有向グラフのNPCであることがわかっているが、無向グラフの多項式アルゴリズムを持っている問題を探しています。 私はここで他の方法に関する質問を見ましたが、「無向」バリアントよりも簡単な「有向」問題ですが、私は有向側の難易度を探しています。 たとえば、フィードバックエッジセットは、有向グラフではNPCであるが、無向グラフでは多項式時間で解けることがわかっています。 同じ性質を持つ他の自然の問題はどれですか？
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一般化平面グラフと一般化外部平面グラフについて
すべての平面、外平面グラフ は、| E ′ | ≤ 3 | V ′ | − 6、 それぞれ| E ′ | ≤ 2 | V ′ | - 3、すべてのサブグラフ用のG ' = （V '、E '）のG。G = （V、E）G=（V、E）G=(V,E)| E′| ≤3 | V′| −6|E′|≤3|V′|−6|E'|\le 3|V'|-6| E′| ≤2 | V′| −3|E′|≤2|V′|−3|E'|\le 2|V'|-3G′= （V′、E′）G′=（V′、E′）G'=(V',E')GGG また、（外部）平面グラフは多項式時間で認識できます。 グラフについて知られていることそのような| E ′ | …
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エッジ削除なしの動的有向グラフ到達可能性の最速の決定論的アルゴリズムは何ですか？
エッジ挿入のみの有向グラフで動的推移閉包を維持するための最良の決定論的結果は何ですか？ エッジの挿入と削除の両方に伴う動的推移閉包問題に関する論文をいくつか読みました。しかし、エッジ挿入のみでそのためのより良いアルゴリズムはありますか？
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頂点カラーリングは、ある意味では、エッジカラーリングですか？
我々は、グラフのエッジ着色知るあり、すなわち線グラフの特別なグラフの頂点着色、L （G ）のG。GGG L(G)L(G)L(G)GGG グラフオペレータあるグラフの頂点着色ようなGがあり 、グラフのエッジ着色Φ （G ）？多項式時間で構築できるグラフ演算子に興味があります。つまり、グラフ Φ （G ）は多項式時間でGから取得できます。ΦΦ\PhiGGG Φ(G)Φ(G)\Phi(G)Φ(G)Φ(G)\Phi(G)GGG 注釈：安定したセットとマッチングについて同様の質問をすることができます。のマッチングは、L （G ）の安定したセットです。Gの安定な集合がΨ （G ）に一致するようなグラフ演算子Ψはありますか？STABLE SETはN P完全であり、MATCHINGはPに属するため、N P ≠ Pであると仮定すると、そのようなグラフ演算子Ψ（存在する場合）は多項式時間で構築できません 。 GGGL(G)L(G)L(G)ΨΨ\PsiGGGΨ(G)Ψ(G)\Psi(G)NPNP\mathsf{ NP}PP \mathsf{P}ΨΨ\PsiNP≠PNP≠P\mathsf{NP}\not=\mathsf{P} 編集：@usulの答えと@Okamotoと@Kingのコメントに触発されて、私は私の問題のより弱い形を見つけました：グラフ頂点カラーリングは、次のように定義されたハイパーグラフΦ （G ）のエッジカラーリングです。頂点集合Φ （Gは）同一の頂点集合であるG。各頂点のためのVのG、閉鎖近傍N Gは、 [ V ] = N G（V ）∪ { vが}ハイパーグラフのエッジであるΦ （GGGG Φ(G)Φ(G)\Phi(G)Φ(G)Φ(G)\Phi(G)GGGvvvGGGNG[v]=NG(v)∪{v}NG[v]=NG(v)∪{v}N_G[v]= N_G(v) \cup\{v\}。次いで、 Gは、ハイパーグラフの線グラフである Φ （G ）、したがって着色の頂点 Gはのエッジ着色さ Φ …
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完全グラフが完全と呼ばれるのはなぜですか？
申し訳ありませんが、これは素朴な質問ですが、Bondy-Murty、Diestel、Westなどの主要な教科書には正当な理由が見つかりませんでした。完全グラフには多くの美しい特性がありますが、それらが完全と呼ばれる単一の理由は何ですか？それとも、Bergeによる単なる美的好みですか？
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頂点推移グラフの認識の複雑さ
私はグループが関与する複雑性理論の分野に精通していないので、これがよく知られた結果である場合は謝罪します。 質問1.レッツオーダーの単純無向グラフとするn個。Gが頂点推移的であるかどうかを判断する計算の複雑さ（nに関して）GGGnnnnnnGGG A u t（G ）がV （G ）に対して推移的に作用する場合、グラフは頂点推移的であることを思い出してください。GGGAut(G)Aut(G)\mathrm{Aut}(G)V(G).V(G).V(G). 上記の定義が多項式時間アルゴリズムを許可するかどうかはわかりません。なぜなら、次数は指数関数的だからです。Aut(G)Aut(G)\mathrm{Aut}(G) しかし、頂点推移グラフには、それらを効率的に決定するために利用される可能性のある他の構造的特性がいくつかあるため、上記の質問の状況はわかりません。 さらに多くの構造を持つ頂点推移グラフのもう1つの興味深いサブクラスは、Cayleyグラフのクラスです。したがって、次の関連する質問も提起するのが自然です 質問2.グラフがCayleyグラフである場合、決定の計算の複雑さは何ですか？GGG
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ランダムグラフ上のハミルトニアンサイクルの数
と仮定します。次に、次の事実がよく知られています。G ∈ G （N 、P ）、P = LNn + lnlnn + c （n ）nG∈G（n、p）、p=ln⁡n+ln⁡ln⁡n+c（n）nG\in G(n,p),p=\frac{\ln n +\ln \ln n +c(n)}{n} Pr [ G はハミルトニアンサイクルを持ちます ] = ⎧⎩⎨⎪⎪10e− e− c（c （n ）→ ∞ ）（C （N ）→ - ∞ ）（c （n ）→ c ）Pr[G ハミルトニアンサイクルがある]={1（c（n）→∞）0（c（n）→−∞）e−e−c（c（n）→c）\begin{eqnarray} Pr [G\mbox{ has a Hamiltonian cycle}]= \begin{cases} …
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重なり合う円での非平面グラフの表現
平面グラフをコイングラフとして知られる平面内の円のセットで表現できることを知っています。各円は頂点を表し、円が境界で「キス」する場合にのみ、2つの頂点間にエッジがあります。 代わりに、円をオーバーラップさせ、内部で交差する一対の円でエッジを表現するとしますか？このモデルではど​​のクラスのグラフを表現できますか？明らかに、完全なグラフを表現できます（すべての円が1つおきの円と交差します）。このようなすべてのグラフを表現できますか？
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グラフ分割問題のNP困難性？
私はこの問題に興味があります：無向グラフ与えられた場合、GがグラフG 1（E 1、V 1）とG 2（E 2、V 2）に分割され、G 1そしてG(E,V)G(E,V)G(E, V)GGGG1(E1,V1)G1(E1,V1)G_1(E_1, V_1)G2(E2,V2)G2(E2,V2)G_2(E_2, V_2)G1G1G_1は同型ですか？G2G2G_2 ここで、は2つの互いに素なセットE 1およびE 2に分割されます。セットV 1とV 2は必ずしもばらばらではありません。E 1 ∪ E 2 = EとV 1 ∪ V 2 = V。EEEE1E1E_1E2E2E_2V1V1V_1V2V2V_2E1∪E2=EE1∪E2=EE1∪E2=EV1∪V2=VV1∪V2=VV1∪V2=V この問題は、少なくともグラフ同型問題と同じくらい困難です。私はそれがグラフ同型よりも難しいが、NP-ハードよりは難しいと思います。 このパーティションの問題はハードですか？NPNPNP EDIT 3-3-2012：MathOverflowに投稿しました。 編集3-5-2012：ディエゴの答えの参考文献は未発表の結果の1つであることが判明しました。掘り下げた後、NPの完全性のコラム：David JOHNSONによる進行中のガイド（8ページ）で、それに対する参照を見つけました。グラハムとロビンソンのNP完全性の結果を未発表として引用する他の論文を見つけました。
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Eppsteinのアルゴリズムを使用してk個の最短パスを見つける
この論文のエップシュタインのアルゴリズムによるパスグラフ仕組みと、対応するヒープ構造してからへの最短パスを再構築する方法を理解しようとしています。P(G)P(G)P(G)kkkssstttH(G)H(G)H(G) これまでのところ： out(v)out(v)out(v)は、最短パスの一部ではないグラフ頂点を残すすべてのエッジが含まれます。最短経路上のエッジの代わりにこのエッジを使用すると、と呼ばれる「時間の無駄」によってヒープ順に並べられます。ダイクストラを適用することにより、からすべての頂点への最短経路を見つけます。vvvGGGGGGδ(e)δ(e)\delta(e)ttt Iは、エッジの長さ+（頭頂点（有向枝が指している場合）の値を取ることによって、これを計算することができる- 。有向エッジが開始されるテール頂点（）の値を、これがある場合、それ場合、最短経路上にありません>0>0> 0=0=0= 0、それは最短パス上にあります。 今は2分ヒープ構築Hout(v)Hout(v)H_{out}(v)のエッジのセットをheapifyingによってout(v)out(v)out(v)、それらに従ってδ(e)δ(e)\delta(e)任意用v∈Vv∈Vv \in Vルート、outroot(v)outroot(v)outroot(v)は子（=サブツリー）が1つしかありません。 構築するために IインサートO U T R O O T （V ）でH T（N E X T T（V ））端子頂点から始まるT。挿入中に頂点が何らかの方法でタッチされるたびに、*のマークが付けられます。HT(v)HT(v)H_T(v)outroot(v)outroot(v)outroot(v)HT(nextT(v))HT(nextT(v))H_T(next_T(v))ttt∗∗* 今は構築することができるの残りの部分を挿入することによって、H O U T（W ）でH T（V ）。内のすべての頂点H Gは、（V ）のいずれか含ま2から子供H T（V ）と1からH O U T（W ）又は0第から2秒〜を3ヒープです。HG(v)HG(v)H_G(v)Hout(w)Hout(w)H_{out}(w)HT(v)HT(v)H_T(v)HG(v)HG(v)H_G(v)222HT（v ）HT(v)H_T(v)111HO U T（w ）Hout(w)H_{out}(w)000222 Iを構築することができるDAGと呼ばれるD （G ）ごとに頂点を含有*から-marked頂点H T（V ）と各非ルート頂点に対するからH …
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多項式時間で最小幅のツリー分解をリーンにする
よく知られているように、グラフツリー分解は、各頂点バッグが関連付けられたツリーで構成され、次の条件を満たす。T T V ⊆ V （G ）V ∈ V （T ）GGGTTTTv⊆V(G)Tv⊆V(G)T_v \subseteq V(G)v∈V(T)v∈V(T)v \in V(T) すべての頂点は、バッグに発生します。TGGGTTT すべてのエッジには、エッジの両方のエンドポイントを含むバッグがあります。GGG すべての頂点について、を含むバッグは接続されたサブツリーを誘導します。V Tv∈V(G)v∈V(G)v \in V(G)vvvTTT また、分解からleannessと呼ばれる次の条件を要求する場合があります。 バッグのすべてのペアのために、の、もしとと、その後のいずれか）が存在する頂点互いに素のパス、又はB）ツリー、エッジ含まノードからの経路上のノードにようにおよびセットはすべてのパスと交差します。TaTaT_aTbTbT_bTTTA⊆TaA⊆TaA \subseteq T_aB⊆TbB⊆TbB \subseteq T_b|A|=|B|=k|A|=|B|=k|A| = |B| = kkkkA−BA−BA-BGGGTTTpqpqpqaaabbb|V(Tp)∩V(Tq)|≤k|V(Tp)∩V(Tq)|≤k|V(T_p) \cap V(T_q)| \leq kV(Tp)∩V(Tq)V(Tp)∩V(Tq)V(T_p) \cap V(T_q)A−BA−BA-BGGG ロビン・トーマスは、最小幅のツリー分解が常にあり、これもリーンであることを示しました。この事実のより単純な証拠は、たとえばパトリック・ベレンバウムとラインハルト・ディーステルによっていくつかの著者によって提供されました。 グラフ与えられた：私は何に興味を持ってすることは次のとおりであるとの最小幅木分解、我々は最小幅見つけることができます リーンの木分解多項式時間では？GGGGGGGGG 上記の2つの証明では、このような効率的な建設性は得られません。ベレンバウムとディーステルの論文では、「トーマスの定理のもう一つの（より建設的な）短い証明が、P。ベレンバウム、シュランケ・バウムツェルグンゲン・フォン・グラフェン、ディプロマルベイト、ハンブルグ大学2000で与えられた」と述べられている。残念ながら、私はオンラインで原稿を見つけることができず、私のドイツ語はそれほど素晴らしいものではありません。
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有界グラフの禁止された未成年者
よくすることが知られているK5K5K_5およびK3,3K3,3K_{3,3}平面グラフの未成年者を禁止しています。トーラスに埋め込み可能なグラフには、何百もの禁止された未成年者がいます。禁止の数未成年者の表面に埋め込みグラフの属 gでの指数関数であるG。私の質問は次のとおりです。 明示的なグラフであるGtGtG_t上のTのように頂点（完全グラフではない）GtGtG_tグラフの禁止マイナー属の表面に埋め込みされるG、Tはの関数であり、Gは？ 編集：私は次の定理が知られていることに気付きました： すべての表面Σに対して、K 3 、rがΣに埋め込まれないような整数rが存在します。K3,rK3,rK_{3,r} したがって、完全なグラフではなく、完全な2部グラフではないGtGtG_tを探しています。
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いずれかの問題がある
私はに属している問題を探していますΣP2Σ2P\mathsf{\Sigma^P_2}一般的なグラフではなくである実際に私はこの問題は難しく、それらを解決するために有界-木幅グラフの通常の動的プログラミングを使用するよりもいると思う、有界木幅グラフに。PP\mathsf{P}
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（奇数ホール、反ホール）フリーグラフのリファレンス？
Xフリーグラフは、誘導サブグラフとしてXからのグラフを含まないグラフです。穴は、少なくとも4つの頂点を有するサイクルです。奇数穴は、頂点の数が奇数の穴です。antiholeは、穴の補数です。 （奇数穴、奇数穴）フリーグラフは、まさに完璧なグラフです。これが強い完全グラフ定理です。多項式時間の完全なグラフで最大の独立集合（および最大のクリーク）を見つけることは可能ですが、そのための唯一の既知の方法では、ロバシータシータ数を計算する半正定値プログラムを作成する必要があります。 （hole、antihole）-freeグラフはweakly chordalと呼ばれ、多くの問題（INDEPENDENT SET およびCLIQUEを含む）に対してかなり簡単なクラスを構成します。 （奇数穴、反穴）フリーグラフが研究されているか、記述されているかどうかは誰にもわかりますか？ これらのグラフは、関連する変数のグラフがツリーを形成する制約充足問題で非常に自然に発生します。このような問題はかなり簡単なので、Lovászシータを計算せずに、このファミリのグラフの最大の独立集合 クリークを見つける方法があればいいでしょう。 同様に、（ホール、奇数アンチホール）フリーグラフの最大の独立セットを検索する必要があります。Hsien-Chih Changは、これが（奇数ホール、反ホール）フリーのグラフよりも独立セットにとってより興味深いクラスである理由を以下に指摘します。
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