重なり合う円での非平面グラフの表現

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平面グラフをコイングラフとして知られる平面内の円のセットで表現できることを知っています。各円は頂点を表し、円が境界で「キス」する場合にのみ、2つの頂点間にエッジがあります。

代わりに、円をオーバーラップさせ、内部で交差する一対の円でエッジを表現するとしますか？このモデルではどのクラスのグラフを表現できますか？明らかに、完全なグラフを表現できます（すべての円が1つおきの円と交差します）。このようなすべてのグラフを表現できますか？

— ジョー
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決定的な記事は、2001年のHlinenyとKratochvilによる論文です。彼らは、ディスク交差グラフ（あなたの質問）を認識する問題がNP困難であることを示しています。彼らはまた、ということを指摘あなたの質問の他の部分に答える、ディスクの交点として表現することはできません。 $K_{3,3}$

— スレシュ・ベンカット
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より正確には、実在の実存的決定理論について問題が完全であることは事実です。これは、ユニットディスクの交差グラフで知られています（homepages.cwi.nl/~mueller/Papers/SphericityDotproduct.pdfを参照してください）が、任意のディスク交差グラフのリファレンスがわかりません。

— デビッドエップシュタイン

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また、VC次元の引数を使用して、「単純な」形状で定義される交差グラフのファミリがかなり制限され、多くのグラフを含めることができないことを示すことができます。特に、誘導できない一定サイズのグラフがあります。

— サリエルハーペレ

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$n$ $n^{3n} \cdot \Theta(1)^n$ $2^{{n\choose 2}}$ $n$ $n^n \Theta(1)^n$ $n$
$\Theta(1)^n$ $c^n$ $C^n$ $c,C > 0$

@ David：私の作品に言及してくれてありがとう！
また、任意のディスクグラフの実在の実在理論（ERT）への還元を行う論文も知りません。ただし、McDiarmidの別の論文では、Kangの論文で行った作業に沿っていくつかの追加作業を行うことで、ERTの完全性の証明に変えることができるディスクグラフに「配置」線配置の構造を与えました。

トビアス・ミューラー

— トビアス・ミューラー
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