Eppsteinのアルゴリズムを使用してk個の最短パスを見つける

この論文のエップシュタインのアルゴリズムによるパスグラフ仕組みと、対応するヒープ構造してからへの最短パスを再構築する方法を理解しようとしています。 $P(G)$ $k$ $s$ $t$ $H(G)$

これまでのところ：

$out(v)$ は、最短パスの一部ではないグラフ頂点を残すすべてのエッジが含まれます。最短経路上のエッジの代わりにこのエッジを使用すると、と呼ばれる「時間の無駄」によってヒープ順に並べられます。ダイクストラを適用することにより、からすべての頂点への最短経路を見つけます。 $v$ $G$ $G$ $\delta(e)$ $t$

Iは、エッジの長さ+（頭頂点（有向枝が指している場合）の値を取ることによって、これを計算することができる- 。有向エッジが開始されるテール頂点（）の値を、これがある場合、それ場合、最短経路上にありません $> 0$ $= 0$ 、それは最短パス上にあります。

今は2分ヒープ構築 $H_{out}(v)$ のエッジのセットをheapifyingによって $out(v)$ 、それらに従って $\delta(e)$ 任意用 $v \in V$ ルート、 $outroot(v)$ は子（=サブツリー）が1つしかありません。

構築するために Iインサートで端子頂点から始まる。挿入中に頂点が何らかの方法でタッチされるたびに、マークが付けられ。 $H_T(v)$ $outroot(v)$ $H_T(next_T(v))$ $t$ $*$

今は構築することができるの残りの部分を挿入することによって、で。内のすべての頂点のいずれか含まから子供とから又は第から秒〜を3ヒープです。 $H_G(v)$ $H_{out}(w)$ $H_T(v)$ $H_G(v)$ $2$ $H_T(v)$ $1$ $H_{out}(w)$ $0$ $2$

Iを構築することができるDAGと呼ばれるごとに頂点を含有から-marked頂点と各非ルート頂点に対するから。 $H_G(v)$ $D(G)$ $*$ $H_T(v)$ $H_{out}(v)$

根におけると呼ばれ、それらは、それらがに応じに属する頂点に接続されている「マッピング」によって。 $H_G(v)$ $D(G)$ $h(v)$ $out(v)$

ここまでは順調ですね。

論文では、ルートを挿入し、これを持つ初期エッジで接続することにより、構築できると述べています。の頂点はと同じですが、重み付けされていません。エッジには長さがあります。各有向辺の $P(G)$ $r = r(s)$ $h(s)$ $\delta(h(s))$ $D(G)$ $P(G)$ $(u,v) \in D(G)$ 対応するエッジによって作成され、重み付けされ。それらはヒープエッジと呼ばれます。各頂点のためのの頂点の対結ぶ最短経路ではないエッジを表し、および、「クロスエッジは」から作成されたににおけるの長さを有します $P(G)$ $\delta(v) - \delta(u)$ $v \in P(G)$ $u$ $w$ $v$ $h(w)$ $P(G)$ 。すべての頂点には、最大出て行く程度しかありません。 $\delta(h(w))$ $P(G)$ $4$

から始まるのパスは、 -パス間 1対1の長さの対応であると想定されています。 $P(G)$ $r$ $s$ $t$ $G$

最後に、4ヒープ注文した新しいヒープが構築されます。各頂点は、ルートとするパスに対応します。頂点の親のエッジは1つ少なくなります。頂点の重みは、対応するパスの長さです。 $H(G)$ $P(G)$ $r$

最短パスを見つけるには、BFS to を使用し、を使用して検索結果をパスに「変換」します。 $k$ $P(G)$ $H(G)$

残念ながら、を「読み取り」、それからを「翻訳」して最短パスを受け取る方法を理解できません。 $P(G)$ $H(G)$ $k$

— ローラ
ソース

ics.uci.edu/~eppstein/pubs/p-kpath.htmlでさまざまな実装を確認しましたか？

— ラドゥグリゴール

回答:

私がそれを書いてから十分に長いので、今ではそこにあるものの私の解釈はおそらく他のどの読者のものよりも多くは知らされていません。それにもかかわらず：

探している説明は補題5の証明の最後の段落だと思います。基本的に、P（G）のエッジ（「クロスエッジ」）の一部はGのサイドトラック（つまり、最短パスツリーから分岐します）。Gのパスは、最初のサイドトラックの開始頂点までの最短パスツリー、サイドトラックエッジ自体、次のサイドトラックの開始頂点までの最短パスツリーなどによって形成されます。

— デビッド・エップスタイン
ソース

副次的な注意事項として、このアルゴリズムは最近性能が向上したようです。詳細はこちら

— カルロスリナレスロペス

デビッド、私は本当にあなたのアルゴリズムの実装が必要です。Javaで最高です。見つけられる場所を教えていただけますか？

— ティナJ

私が知っている実装は、ics.uci.edu / 〜eppstein / pubs / p - kpath.htmlの下部からリンクされていますが、最近オフサイトの実装をチェックしていないため、いくつかのデッドリンクがあるかもしれません。

— デビッドエップスタイン

ありがとう。しかし、もっと重要なことは、どこかで利用可能なアルゴリズムの完全な擬似コードを持っているということですか？

— ティナJ

@DavidEppstein Wikipediaのダイクストラのものに似たもの：en.wikipedia.org/wiki/K_shortest_path_routing

— ティナJ

エップスタインのアルゴリズム（および著者の怠authorなバージョン）の擬似コードは、次のとおりです。 in：コンピュータサイエンスの講義ノート、vol。2647、Springer、2003、pp。179–190。 https://pdfs.semanticscholar.org/3a31/5a14a2fc773d2d800186121905016de31705.pdf

— tmn
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