一般化平面グラフと一般化外部平面グラフについて

すべての平面、外平面グラフ は、| E ′ | ≤ 3 | V ′ | − 6、 それぞれ| E ′ | ≤ 2 | V ′ | - 3、すべてのサブグラフ用のG ' = （V '、E '）のG。$G=(V,E)$$|E'|\le 3|V'|-6$
$|E'|\le 2|V'|-3$$G'=(V',E')$$G$
また、（外部）平面グラフは多項式時間で認識できます。

グラフについて知られていることそのような| E ′ | ≤ 3 | V ′ | - 6 （それぞれ| E ' | ≤ 2 | V ' | - 3）すべてのサブグラフ用のG ' = （V '、E '）のG？多項式時間でそれらを認識することは可能ですか？$G=(V,E)$$|E'|\le 3|V'|-6$$|E'|\le 2|V'|-3$$G'=(V',E')$$G$

編集（エップシュタインのいい答えの後）：任意の平面グラフは| E ′ | ≤ 3 | V ′ | - 6あらゆるサブグラフのためのG ' = （V '、E '）のG少なくとも3つの頂点を持ちます| V ′ | ≥ $G=(V,E)$$|E'|\le 3|V'|-6$$G'=(V',E')$$G$ $|V'|\ge 3$。したがって、「一般化された平面グラフ」はこの特性を満たすものであり、多項式時間でそれらを認識することは（興味深い）未解決の問題のようです。

LeeとStreinuの表記（下記の引用）では、リストする2番目のクラスは（2,3）スパースグラフです。それらは、グラフが多項式時間で（k、l）スパースかどうかをテストするアルゴリズムを提供します。ただし、平面グラフとその不等式が頂点のすべてのセット（それが本当であれば、どの2つの頂点がエッジによって接続することができなかったため、真ではないので、少し複雑であるため、3 ⋅ 2 - 6 = $|E'|\le 3|V'|-6$$3\cdot 2-6=0$）。（3,6）スパースグラフのクラス（表記）は、空のグラフのみで構成されます。おそらく、それらのアルゴリズムは、3つ以上の頂点のすべてのセットで不等式が成り立つグラフに拡張できます。

リー、オードリー。Streinu、イリアナ（2008）、 "ペブルゲームアルゴリズムとスパースグラフ"、離散数学308（8）：1425から1437、DOI：10.1016 / j.disc.2007.07.104、arXivの：数学/ 0702129。

「一般化された外部平面グラフ」または（2,3）スパースグラフについて何が知られていますか？DavidEppsteinの答えに対するいくつかの追加の事実：

$G$$G$

$K_2$

これらの特性化により、一般化された外部平面グラフの最初の多項式認識が得られます。

このペーパーの最後のセクションで一般化された平面グラフに関連するいくつかの意見を見つけることができます。一般化された平面グラフの特徴づけと認識は、依然として非常に興味深い未解決の問題であると思います。