タグ付けされた質問 「graph-algorithms」

ヒューリスティックを除くグラフのアルゴリズム。

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すべての最大一致に存在する頂点の数
グラフGGG頂点の最大セットのカーディナリティを見つける必要があります。そのため、可能な限りすべてのマッチングで頂点が存在します。 明らかに各頂点を削除し、それが減少するのを見るために最大一致を見つける以外に解決策はありますか？
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遺伝的であるが、相加的ではないNP完全グラフ特性？
グラフプロパティは、頂点の削除に関して閉じられている場合、遺伝的と呼ばれます（つまり、すべての誘導されたサブグラフがプロパティを継承します）。グラフのプロパティは、互いに素なユニオンの取得に関して閉じている場合、加算的と呼ばれます。 遺伝性のプロパティを見つけることは難しくありませんが、相加的ではありません。2つの簡単な例： \;\;\; （1）グラフが完成しました。 \;\;\; （2）グラフには2つの頂点独立サイクルが含まれていません。 これらの場合、プロパティが誘導されたサブグラフに継承されることは明らかですが、プロパティを持つ2つの互いに素なグラフを取ると、それらの結合はそれを保持しない場合があります。 上記の例は両方とも、ポリタイムで決定可能なプロパティです（ただし、（2）の場合はやや簡単です）。より難しいプロパティが必要な場合は、（2）のパターンに従って作成することもできますが、サイクルをより複雑なグラフタイプに置き換えます。ただし、N P ≠ c o N Pなどの標準的な複雑さの仮定の下では、問題がさえ残っていない状況に簡単に陥ることがあります。N P内に留まる例を見つけることはささいなことではないように見えますが、それでも困難です。NPNPNPNP≠coNPNP≠coNPNP\neq coNPNPNPNP 質問：遺伝的であるが加算的ではない（できれば自然な）完全なグラフプロパティを知って いますか？NPNPNP
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無向グラフの長さ制限のある単純なstパスの一部であるすべてのノードとエッジを含むサブグラフ
以前に投稿した質問とかなり似ています。ただし、今回はグラフは無向です。 与えられた 無向グラフない複数のエッジまたはループを有します、GGG ソース頂点、sss ターゲット頂点ttt、 最大の光路長lll、 私が探していG′G′G'のサブグラフ-GGG任意の頂点と任意のエッジ含まGGGから少なくとも一つの単純なパスの一部である（とのみ）を、sssをttt長さ≤l≤l\leq l。 ノート： パスを列挙する必要はありません。 非常に大きなグラフ（10 ^ 8頂点、10 ^ 9エッジ）で実行する必要があるため、効率的なアルゴリズム（時間とメモリの両方）を探しています。
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色彩数とベクトル色数の間にギャップがある小さなグラフ？
私は小さなグラフを探していそのベクトル色数色数未満であるχ V（G ）&lt; χ （G ）。GGGχv（G ）&lt; χ （G ）χv（G）&lt;χ（G）\chi_v(G)<\chi(G) （ベクトル色番号有するQを割り当てがある場合、X ：V → Rと D。隣接する頂点に関連付けられた直感的ベクターは遠く離れている必要があり、⟨ X （V ）、X （W ）⟩ ≤ - 1 /（q − 1 ）。たとえば、q = 3の場合、三角形の頂点で十分です。）GGGqqqx ：V→ Rdバツ：V→Rdx\colon V \rightarrow \mathbf R^d⟨ X （V ）、X （W ）⟩ ≤ - 1 /（Q− 1 ）⟨バツ（v）、バツ（w）⟩≤−1/（q−1）\langle x(v), x(w)\rangle \leq -1/(q-1)q= …
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Cai-Furer-Immermanガジェットの自己同型
Weisfeiler-Lehman（WL）法によるグラフ同型の有名な反例では、この論文でCai、Furer、Immerman が次のガジェットを作成しました。彼らは、グラフ構築によって与えられるがX k = （V k、E k）Xk=(Vk,Ek)X_k = (V_k, E_k) VのK = K ∪ BのK ∪ M K どこ K = { I | 1 ≤ I ≤ K } 、BのK = { B I | 1 ≤ I ≤ K } 、 及び Mk={mS∣S⊆{1,2,…,k}, |S| is even}Ek={(mS,ai)∣i∈S}∪{(mS,bi)∣i∉S}Vk=Ak∪Bk∪Mk where Ak={ai∣1≤i≤k},Bk={bi∣1≤i≤k}, …
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グラフ同型（GI）問題に対する同一粒子アプローチの負の結果
ハードコアボソンの量子ランダムウォーク（対称だが二重占有ではない）を使用して、グラフ同型問題を攻撃するための努力がいくつか行われました。有望と思われる隣接行列の対称性は、Amir Rahnamai BarghiとIlya Ponomarenkoによって、この論文の一般的なグラフでは不完全であることが証明されました。この論文では、他の同様のアプローチも ジェイミー・スミスによって反論されました。これらの論文の両方で、彼らはコヒーレントな構成（スキーム）とセルラー代数の代替だが同等の定式化（有限集合-ここで頂点集合-点ごとの乗算、複素共役転置で閉じられ、含む単位行列Iおよびオールワン行列J）それぞれ必要なカウンター引数を提供します。 それらの議論に従うことは非常に困難であり、個々の議論に漠然と従ったとしても、私は核となる考えを理解していません。スキーム理論やセルラー代数の言語を使用せずに、議論の本質を一般的な用語で説明できるかどうかを知りたいと思います。
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動的グラフの増分最大フロー
動的グラフの最大フローを計算する高速アルゴリズムを探しています。グラフ所与すなわちG=(V,E)G=(V,E)G=(V,E)とs,t∈Vs,t∈Vs,t\in V我々は最大流量有するFFFにおけるGGGからsssへttt。次に、対応するエッジで追加/削除された新しい/古いノードuuuがグラフを形成しますG1G1G^1。新しく作成されたグラフの最大フローとは何ですか？最大流量の再計算を防ぐ方法はありますか？ 非常に時間/メモリを消費しない前処理を歓迎します。 最も簡単なアイデアは、フローを再計算することです。 別の簡単なアイデアは、これです。以前の最大フロー計算で使用されたすべての拡張パスを保存し、頂点を追加するために、ソースから始まり、vに行き、次に行く単純なパスを見つけることができます（前のステップで更新された容量グラフで）目的地までが、問題があり、このパスは簡単であるべき、私はより良いよりも見つけることができませんでしたO （N ⋅ メートル）のためにこのような場合のために、M = | E | 。（また、それがただ1つのパスである場合、これはO （n + m ）で実行できますが、そうではないことに注意してください。）vvvvvvO(n⋅m)O(n⋅m)O(n\cdot m)m=|E|m=|E|m=|E|O(n+m)O(n+m)O(n+m) また、上記のノードを削除するというアイデアは機能しません。 また、エッジのインクリメンタルアプローチなどの論文を見ましたが、この場合は十分ではないようです。各エッジの以上であり、この場合は適切な拡張ではないようです（フローを再計算するだけです）。また、現在はFord-Fulkerson最大フローアルゴリズムを使用しています。オンラインアルゴリズムに適したオプションがある場合は、それを知っておくと便利です。O(m)O(m)O(m)
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最大独立集合の約束された上限を伴う近似グラフ彩色
私の仕事では、次の問題が発生します。 順序65の独立したセットなしでグラフの色数を近似する既知のアルゴリズムはありますか？（したがって、alpha（G）&lt;= 64が既知であり、| V | / 64は自明な下限、| V |は自明な上限です。しかし、この特別な条件下でより良い証明された近似はありますか？） 分数の色数までリラックスしたらどうなりますか？そして、平均的なケースで「良い」実行時間に？
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効率的なグラフアルゴリズムの設計において、スパース性の最も重要な概念は何ですか？
「スパースグラフ」にはいくつかの競合する概念があります。たとえば、表面埋め込み可能なグラフはスパースと見なすことができます。または、エッジ密度が制限されたグラフ。または、高い胴回りのグラフ。大きな展開を持つグラフ。制限されたツリー幅を持つグラフ。（ランダムグラフのサブフィールド内であっても、スパースと呼ばれるものに関してはわずかにあいまいです。）など。 効率的なグラフアルゴリズムの設計に最も影響を与えた「スパースグラフ」の概念とその理由は何ですか。同様に、「高密度グラフ」の概念は何ですか？（注意：Karpinskiは、密なグラフの1つの標準モデルの近似結果に多大な努力をしてきました。） J. Nesetrilが（P. Ossona de Mendezと一緒に）統合された（漸近的な）フレームワーク内のグラフのスパース性の測定値をキャプチャするプログラムについての講演を見ました。私の質問-はい、多分かなり主観的であり、異なるキャンプを期待しています-は、アルゴリズムでのスパース性の使用に関する多面的な視点をキャッチしたいという欲求によって動機付けられています（そして、問題の私自身の理解のギャップを埋めます）。
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ボトルネック最短パスの高速アルゴリズムのリファレンス
ボトルネックの最短パスの良いリファレンスを探しています。具体的には、エッジの重みを持つ無向グラフの頂点sとtを指定すると、sからtへの最短パスが必要になります。パスの長さはそのパスの最大エッジです。これは、エッジの重みの中央値を見つけ、（慎重に）エッジの半分を再帰的に削除することにより、O（n + m）時間で解決できます。 誰もこれの参照を知っていますか？
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低次元でのユークリッド平方の最大カット
ましょうx1,…,xnx1,…,xnx_1, \ldots, x_n、平面内の点であるR2R2\mathbb{R}^2。点を頂点として、エッジの重みが完全なグラフを考えます。常に総重量の少なくとも\ frac 2 3の重量カットを見つけることができますか？そうでない場合、\ frac 2 3を置き換える定数はどれですか？∥xi−xj∥2‖xi−xj‖2\|x_i - x_j\|^22323\frac 2 32323\frac 2 3 私が見つけることができる最悪の例は、正三角形の3点で、\ frac 2 3を達成し2323\frac 2 3ます。ランダムな分割は\ frac 1 2を生成することに注意してください1212\frac 1 2。しかし、低次元では、ランダムよりも優れたクラスタリングができることは直感的に明らかです。 k&gt; 2のmax-k-cutではどうなりますか？次元d&gt; 2はどうですか？そのような質問に答える枠組みはありますか？Cheegerの不等式については知っていますが、それらはスパースカット（最大カットではない）に適用され、通常のグラフでのみ機能します。 （質問は、分散を最小限に抑えるためにコンピューターグラフィックスで光源をクラスタリングする問題に触発されています）。
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グラフのNP困難な問題
この質問は、木のNP-hard問題に似ています： グラフで扱いやすいNP完全問題が多数あります。グラフに限定されたときにNP完全なままである既知の問題はありますか？ より正確に言うと、入力が無向、無加重のコグラフのみで構成される例に興味があります。 2つの発言： 重み付きコグラフの場合、このような問題はここで言及されています -2 人の旅行者とのTSP コグラフは、クリーク幅の「基本クラス」です。たとえば、ツリーはツリー幅の基本クラスです。 更新 いくつかのさらなる考え（私は確信が持てません）：入力が本当に単なるグラフである場合、質問は「グラフにはプロパティXがありますか？」という種類でなければなりません。そのような問題が樹木に存在すれば十分である、というのは「コグラフのコツリーはプロパティXを持っているか？」
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カーディナリティ述語を使用した有界クリーク幅のグラフに関するMSOL最適化問題
CMSOLは、モナド2次論理、つまり、ドメインが頂点とエッジのセットであるグラフのロジックをカウントし、頂点と頂点の隣接関係とエッジと頂点の入射の述語があり、エッジ、頂点、エッジセットと頂点の定量化がありますセットは、述語があるの大きさかどうかを表しあるモジュロ。Cardn,p(S)Cardn,p(S)\textrm{Card}_{n,p}(S)SSSnnnppp Courcelleの有名な定理の場合は、その状態グラフのプロパティがCMSOLで表現され、その後、すべてのグラフのためのG高々木幅のKかどうかを線形時間で決定することができるΠはの木分解することを提供保持し、Gが入力に与えられています。定理の以降のバージョンでは、ツリー分解が入力に与えられるという要件がなくなり（Bodlaenderのアルゴリズムで計算できるため）、決定だけでなく最適化も可能になりました。MSOL式所与すなわちφ （S ）我々はまた、最大または最小のセットを計算することができS満たすφをΠΠ\PiGGGkkkΠΠ\PiGGGϕ(S)ϕ(S)\phi(S)SSS。ϕ(S)ϕ(S）\phi(S) 私の質問は、クールセルの定理を有界クリーク幅のグラフに適応させることに関するものです。同様の定理があり、頂点、エッジ、頂点セットを定量化できるが、エッジセットは定量化できないMSOL1がある場合、クリーク幅kのグラフ（所定のクリーク式）が与えられ、すべての固定kについて決定できるグラフか線形時間でGを満たすいくつかのMSOL1式φ。私が見たすべての参照が指すGGGkkkkkkGGGϕϕ\phi Courcelle、Makowsky and Rotics、Theory of Computing Systems、2000による有界クリーク幅のグラフに関する線形時間可解最適化問題。 私はこの論文を読み込もうとしましたが、MSOL1の正確な定義に関して自己完結型ではなく、率直に言って読みにくいです。入力にクリーク式が指定されている場合、グラフのクリーク幅によってパラメーター化されたFPTで正確に最適化できることに関して2つの質問があります。 MSOL1は、ある数を法とする集合のサイズをテストするための述語を許可しますか？Cardn,p(S)Cardn,p(S)\textrm{Card}_{n,p}(S) 式が与えられたときに、クリーク幅によってパラメーター化されたFPTのMSOL1式ϕ （S ）を満たす最小/最大サイズセットを見つけることは可能ですか？SSSϕ(S)ϕ(S)\phi(S) これらの両方の質問について、これらの結果を主張するときに引用する正しい参照が何かを知りたいです。前もって感謝します！
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樹木分解の典型的な硬さ？
最悪の場合、ツリーの分解は困難ですが、貪欲な方法は、小さな実生活のネットワークでは最適に近いようです。 あるクラスのグラフの「典型的な」インスタンスのツリー分解の困難さについて何か知られていますか？ ツリー分解のための貪欲な方法がひどく機能するグラフのファミリーの例はありますか？
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