無向グラフの長さ制限のある単純なstパスの一部であるすべてのノードとエッジを含むサブグラフ

以前に投稿した質問とかなり似ています。ただし、今回はグラフは無向です。

与えられた

無向グラフない複数のエッジまたはループを有します、 $G$
ソース頂点、 $s$
ターゲット頂点 $t$ 、
最大の光路長 $l$ 、

私が探してい $G'$ のサブグラフ- $G$ 任意の頂点と任意のエッジ含ま $G$ から少なくとも一つの単純なパスの一部である（とのみ）を、 $s$ を $t$ 長さ $\leq l$ 。

ノート：

パスを列挙する必要はありません。
非常に大きなグラフ（10 ^ 8頂点、10 ^ 9エッジ）で実行する必要があるため、効率的なアルゴリズム（時間とメモリの両方）を探しています。

ds.algorithms graph-algorithms shortest-path

— リオール・コーガン
ソース

これをチェックしてください。同様の最小コストフロー削減を行うと思われるが、ネットワークの特殊な特性を使用して一般的なMCFアルゴリズムよりも速く解決するこのペーパーを見つけました。

— RB 14

回答:

まあ、問題は結局にあります。指示されたケース（他の質問で回答したNPC）でも機能するため、以前の回答を保持し、に関してであることを示します。 $P$ $FPT$ $l$

無向の場合、最小コストフローを介して決定論的に解決可能です（これは、質問で参照しているスケールでは機能しないかもしれませんが、指数アルゴリズムよりも優れています。

次の手順は、いくつかのエッジか否かを決定する出力グラフの一部であるべきです。元の問題に答えるには、すべてのエッジをループします。 $e=(u,v)\in E$

フローネットワークを作成するには、次のようにします。

手順1：を展開して頂点を作成し、をエッジ置き換えます（これらはaフローネットワークの一部）、コストを0に設定します。 $e$ $x_e$ $e$ $(u,x_e),$ $(x_e,u),(v,x_e),(x_e,v)$

手順2：を除くすべての頂点を2つの頂点およびで置き換え、エッジを追加します。これらのエッジのコストを1に設定します。 $t$ $x_e$ $t^-$ $t^+$ $(t^-,t^+)$

ステップ3：すべてのエッジ交換エッジを有する。これらのエッジのコストを0に設定します。 $\{a,b\}\in E$ $(a^+,b^-),(b^+,a^-)$

ステップ4：新しい頂点を追加し、コスト0 のエッジを追加します。 $y_e$ $(s,y_e),(t,y_e)$

ステップ5：すべての容量を1に設定します。

次に、最小コストフローアルゴリズムを実行し、からへの値2のフローを検索します。 $x_e$ $y_e$

分析：

すべての2値化フローの経路の和集合である及び経路。 $x_e$ $y_e$ $x_e\leadsto s\to y_e$ $x_e\leadsto t\to y_e$
すべての頂点について、アークには1つの容量しかないため、パスは互いに素です。 $t$ $(t^-,t^+)$
返されるパスは、距離の合計が最小の2つのパスです。これは、見つかったフローのコストでもあります。これにより、を出力グラフに追加したり、他の方法で削除したりできます。 $e$

— RB
ソース

有向フローへの削減を取り除くことにより、上記の答えの議論を理解するのが簡単です。より単純パスが存在する

ため

ノードを含む

パスがあるときに限り

から

へ

パスの

から

する

ように

及び

を除いて、ノードディスジョイントである

。これは決定的に無指向性を使用します。これはフローで確認でき、コストバージョンは最小コストフローでも確認できます。

を含む

から

への単純なパスがあるかどうかを確認できます。

s

$s$

t

$t$

v

$v$

P

$P$

v

$v$

s

$s$

Q

$Q$

v

$v$

t

$t$

P

$P$

Q

$Q$

v

$v$

s

$s$

t

$t$

e

$e$

の途中にノードを導入することにより。

e

$e$

— チャンドラチェクリ14年

@ChandraChekuri -正しいのですが、問題は長さ制約を持っていない場合は、それを決定するための多くの単純なアルゴリズムがあることに注意してください- ここを参照してください

— RB

確かに、私はその解決策も知っています-概念的には、切断されたパスとDFSを介して直接接続されたコンポーネントを見つけることができても、互いに素なパスを介して接続されたコンポーネントを理解することは良いことです。

— チャンドラチェクリ14年

@RB：ありがとう。提案されたアルゴリズムは、lが比較的大きい場合に効果的かもしれませんが、おそらくlの比較的小さい値には最適ではありません。まず、sからfloor（l / 2）より遠くの頂点を削除し、tからceil（l / 2）を削除することにより、Gをトリムできると思います。

— リオールコーガン14年

連続する最短パスアルゴリズム（ここで興味深い2つのパスの場合、Surballeのアルゴリズムとも呼ばれます）を適応してみてください。あなたはから最短2-パス見つけたい

（それを呼び出すために優れている

の代わりに

、すべてにそれがすべてのエッジに対して同じであるため）

。これは、最初に

から最短パスツリーを計算し、次に注意して2番目のパス計算を実装することで効率的に実行できると思います。

y

$y$

y

$y$

y_{e}

$y_e$

x_{e}

$x_e$

y

$y$

— チャンドラチェクリ

ここで間違った答え：それはいくつかの非シンプルなパスの一部である頂点出力にとされていないから、任意の単純パスの一部に長さの。答えはまだaskerのアプリケーションに関連している可能性があるため、ここに残しておきます。 $s$ $t$ $s$ $t$ $\le \ell$

これは時間で実行されるアルゴリズムです（実際、が小さい場合はこれより高速です）。 $O(|V|+|E|)$ $\ell$

このアルゴリズムは、からBFS検索走る深さで終了すること。このBFSはセット与えるから到達可能な全ての頂点の最大で長さの経路とを、そしてそれはまた、距離が計算毎に。それから私はから同じことをしたいとセット入手からとの距離を。最後に、探している頂点はまさに $s$ $\ell$ $V_s$ $s$ $\ell$ $dist(s,v)$ $v \in V_s$ $t$ $V_t$ $t$ 。エッジは、（ $V_{solution}=\{ v : v \in V_s \cap V_t, dist(s,v)+dist(t,v) \le \ell \}$ $E[V_{solution}]$ ）。 $=(v,u) \in E : u,v \in V_{solution}$

このアルゴリズムの実行時間は、2つのBFSを実行するだけなので、確実にです。しかし、実行時間は実際にはグラフのサイズよりもはるかに小さいであろう -radius と近傍 $O(|V|+|E|)$ $O(|V_s| + |V_t| + |E[V_s]|+|E[V_t]|)$ $\ell$ $s$ $t$ 小さいです。

編集：からBFSを行い、実際にはやや速いアルゴリズムおそらくありますとの深さの唯一ではなく。これにより、すべてのパスが検出されます。その後、ちょっとした記録で、すべての頂点を見つけることができます。これは、大規模ランダムに見えるグラフの場合の平方根で実行している時間を短縮小さいです。 $s$ $t$ $\ell/2$ $\ell$ $\ell$

— メビウスdump子
ソース

これは、パスを単純にすることを強制しません。単純なパスグラフ

および

考えます。あなたは戻ります

経由する簡単な目のパスありませんが、出力の一部として

...

t - u - s - v - x

$t-u-s-v-x$

l = 4

$l=4$

v

$v$

v

$v$

— RB

訂正@RBをありがとう。答えを編集して、間違っていることに注意しました。

— メビウスdump子14

これはコメントとして意図されていますが、コメントとして投稿するには長すぎます。

また、目的に合わせてグラフスパナやエミュレータにも興味があるかもしれません。グラフのスパナは、エッジがほとんどないサブグラフが、距離はほぼ保存されています。エミュレーターはグラフであり、そのエッジに重みを付けることができます。 $G = (V, E)$ $H = (V, E')$ $H = (V, E', w)$

The best result for spanners is $O(n^{4/3})$ edges and an additive error of +6 on distance estimates in the graph. The best result for emulators is $O(n^{4/3})$ edges and an additive error of +4. It is not known for either if we can beat $O(n^{4/3})$ , even if the error is allowed to be polylogarithmic.

If this sounds useful, I can try and dig up the relevant constructions for you.

— GMB
ソース