カーディナリティ述語を使用した有界クリーク幅のグラフに関するMSOL最適化問題

CMSOLは、モナド2次論理、つまり、ドメインが頂点とエッジのセットであるグラフのロジックをカウントし、頂点と頂点の隣接関係とエッジと頂点の入射の述語があり、エッジ、頂点、エッジセットと頂点の定量化がありますセットは、述語があるの大きさかどうかを表しあるモジュロ。$\textrm{Card}_{n,p}(S)$$S$$n$$p$

Courcelleの有名な定理の場合は、その状態グラフのプロパティがCMSOLで表現され、その後、すべてのグラフのためのG高々木幅のKかどうかを線形時間で決定することができるΠはの木分解することを提供保持し、Gが入力に与えられています。定理の以降のバージョンでは、ツリー分解が入力に与えられるという要件がなくなり（Bodlaenderのアルゴリズムで計算できるため）、決定だけでなく最適化も可能になりました。MSOL式所与すなわちφ （S ）我々はまた、最大または最小のセットを計算することができS満たすφを$\Pi$$G$$k$$\Pi$$G$$\phi(S)$$S$。$\phi(S)$

私の質問は、クールセルの定理を有界クリーク幅のグラフに適応させることに関するものです。同様の定理があり、頂点、エッジ、頂点セットを定量化できるが、エッジセットは定量化できないMSOL1がある場合、クリーク幅kのグラフ（所定のクリーク式）が与えられ、すべての固定kについて決定できるグラフか線形時間でGを満たすいくつかのMSOL1式φ。私が見たすべての参照が指す$G$$k$$k$$G$$\phi$

Courcelle、Makowsky and Rotics、Theory of Computing Systems、2000による有界クリーク幅のグラフに関する線形時間可解最適化問題。

私はこの論文を読み込もうとしましたが、MSOL1の正確な定義に関して自己完結型ではなく、率直に言って読みにくいです。入力にクリーク式が指定されている場合、グラフのクリーク幅によってパラメーター化されたFPTで正確に最適化できることに関して2つの質問があります。

• MSOL1は、ある数を法とする集合のサイズをテストするための述語を許可しますか？$\textrm{Card}_{n,p}(S)$
• 式が与えられたときに、クリーク幅によってパラメーター化されたFPTのMSOL1式ϕ （S ）を満たす最小/最大サイズセットを見つけることは可能ですか？$S$$\phi(S)$

これらの両方の質問について、これらの結果を主張するときに引用する正しい参照が何かを知りたいです。前もって感謝します！

さらに質問したところ、1）と2）の答えは両方ともYESのようです。セットのカーディナリティを最適化することは、LinEMSOLで可能です（Martin Lacknerによると）。私が言われたように、カーディナリティー述語の存在は、それらがOn parse treesとMyhill-Nerode-制限されたランク幅のグラフを処理するための型ツール。

http://www.labri.fr/perso/courcell/Textes1/BC-Makowsky-Rotics (2000).pdf（これはあなたが言及した論文ですが、より読みやすいバージョンです）はLinEMSOL（定義10）を定義しています。LinEMSOLは、MSO1最適化の問題を考慮しており、定理4は、このような問題はクリーク幅に関して扱いやすい固定パラメーターであると述べています。したがって、2番目の箇条書き/質問に対する答えは「はい」です。

最初の箇条書きに関して：ブルーノ・クールセルとサン・イル・オームによる「頂点マイナー、モナド二次論理、およびシーズによる推測」で、著者は「MS式φ（X）が表現できないことを証明できる」と書いている。 、すべての構造において、セットXのカーディナリティが[10] "であり、[10] =" Courcelle、グラフのモナド2次論理 "

役立つことを願っています