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我々はグラフかどうかを決定するために時間アルゴリズム正確に長さの周期を有する。同じアルゴリズムまたは他のアルゴリズムを使用して、そのようなサイクルがいくつあるかをどのように見つけることができますか。 G k k Gf（k ）n３f（k）ん３f(k) n^3GGGkkkkkkGGG

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私は最小支配集合問題の近似アルゴリズムに取り組んでいます。特に、禁止された誘導サブグラフによって制限されるグラフクラスに興味があります。支配問題とその変種は広範囲にわたって研究されているので、誰かが以前にこれに取り組んだ可能性があります。したがって、問題は次のとおりです。 誰かが禁止された誘導サブグラフによって定義されたグラフクラスの支配問題の近似アルゴリズムが研究されている論文を知っていますか？ 前もって感謝します。敬具。

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以前に同様の質問が出されましたが、エラーがあったため、簡単な半音階番号の付いた未回答のGraphクラスでしたが、NPハードカラーリングでした。 グラフの任意の無限集合があるなどは：CCC すべてのグラフについて、GがCに属しているかどうかを認識する多項式アルゴリズムがありますGGGGGGCCC 波長数演算多項式時間アルゴリズムが存在するすべてのためのG ∈ Cはχ(g)χ(g)\chi(g)g∈Cg∈Cg \in C 人類は適切なカラーリングを計算するための多項式時間アルゴリズムを知らない、または（より良い）そのようなアルゴリズムが（妥当な仮定の下で）存在しないという証拠があります。CCC

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次の問題に興味があります。 オイラーグラフが与えられた場合、そのエッジの分割（および）を、各よう単純なサイクルを形成及び最大可能です。C 1、C 2、... 、C K ∪ I C I = E I ≠ J ↔ C I ∩ C J = ∅ C I G KG = （V、E）G=（V、E）G=(V,E)C1、C2、… 、CkC1、C2、…、CkC_1, C_2, \ldots, C_k∪私C私= E∪私C私=E\cup_i C_i=E私≠ jの↔ C私∩ Cj= ∅私≠j↔C私∩Cj=∅i \neq j \leftrightarrow C_i \cap C_j = \varnothingC私C私C_iGGGkkk つまり、オイラーグラフのすべてのエッジを、最大数のエッジの素な単純サイクルでカバーすることになります。 この問題はよく知られていますか？それを解決する既知のアプローチはありますか？

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グラフの問題のパラメーター化された複雑さの1つの基本的な結果は、解のサイズによってパラメーター化されたVERTEX COVER がfixed-parameter-tractable（FPT）であることです。一方、「デュアルパラメーター」でパラメーター化すると、ソリューションサイズでパラメーター化されたINDEPENDENT SETと同等になります（頂点カバーは独立セットの補数であるため）。 W [1]-ハード。kkk| V（G ）| − k|V(G)|−k|V(G)|-k これはあまり自然ではないように見えますが、パラメーターに対するVERTEX COVERのパラメーター化された複雑さに興味があります。これはよりも大きなパラメーターです。このパラメーターはVERTEX COVER FPTですか？| E（G ）| − k|E（G）|−k|E(G)|-k| V（G ）| − k|V（G）|−k|V(G)|-k 注：他のグラフの問題（DOMINATING SETなど）の同様のパラメーター化にも興味があります。両方の種類の二重パラメーターの研究を目にした唯一の場所は、Crowston、Gutin、Jones、Saurabh、およびYeoによる2012年の論文「パラメーター化されたテストカバー問題の研究」のハイパーグラフ問題TEST COVER です。（arXivにも） 編集（2016年4月12日）：このパラメータはまた、2011年論文では、他のハイパーグラフ問題の打撃SETのために研究されて打つセットの下に、上限パラメータ化のためのカーネルやセットの問題を支配監督 Gutin、Monesとヨーで（arXivのリンク）。

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対称行列に対応する無向グラフのスペクトルと比較すると、有向グラフのスペクトルはあまり知られていません。 有向グラフことが知られている隣接行列有するA （G ）、その固有値バイナリである{ 0 、1 }あればGは、環状であるが。次に、頂点を強く接続されたコンポーネントにソートします。これにより、頂点v 1、の列挙が修正されます。。、v nであり、この順序に従って並べ替えられたラプラシアンは、0 / 1のエントリを持つ上三角行列になります。G=(V,E)G=(V,E)G = (V,E)A(G)A(G)A(G){0,1}{0,1}\{0,1\}GGGv1,..,vnv1,..,vnv_1,.., v_n0/10/10/1 しかし、GGGがもう一方の端である場合、つまりGGGがnnn個の頂点で強く接続されたグラフである場合に知られていることは、頂点のペア間に有向パスがあることを意味します。 一般に、特性多項式をA(G)A(G)A(G)計算し、その根を計算する必要があります。かかわらず、A(G)A(G)A(G)である{0,1}{0,1}\{0,1\}マトリックスこれは困難なタスクのように思えます。特に、この多項式の根は一般に複素数です。 ペロン・フロベニウスの定理は、少なくとも最上部の固有値が実在し、単純であることを意味しますが、残りの固有値に関する情報を明らかにしません。 ただし、次の形式の非常に弱い境界にのみ関心がある場合はどうでしょうか。 ： Gを n個の頂点の有向グラフとする。次いで、いずれかのすべての固有値 A Gは実数であるか、または少なくとも一つ存在する固有値 λように iがm個（λ ）≥ 1 / P O LのY （N ）。Conjecture: Dichotomy of eigenvaluesConjecture: Dichotomy of eigenvalues\textbf{Conjecture: Dichotomy of eigenvalues}GGGnnnAGAGA_Gλλ\lambdaim(λ)≥1/poly(n)im(λ)≥1/poly(n)im(\lambda)\geq 1/poly(n) そのような境界は、既知の定理から取るに足らないものですか？あるいは、有向グラフは、指数関数的に小さい虚数成分を持つ固有値を持つことができますか？

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ましょグラフのパラメータ（例：直径、支配番号など）でありますsss グラフのファミリーは、任意のグラフに対して、のツリー幅が最大ような 関数がある場合、 -treewidthプロパティを持ちます。FF\mathcal{F}sssfffG ∈ FG∈FG\in \mathcal{F}GGGf（秒）f（s）f(s) たとえば、とを平面グラフのファミリーとしましょう。次に、直径が最大で平面グラフのツリー幅は最大でことがわかっています。より一般的には、Eppsteinは、一部の頂点グラフをマイナーとして除外する場合にのみ、グラフのファミリーにdiameter-treewidthプロパティがあることを示しました。そのようなファミリーの例は、一定の属などのグラフです。F s O （s ）s = d i a m e t e rs=d私aメートルeters = \mathit{diameter}FF\mathcal{F}sssO （s ）O（s）O(s) 別の例として、ます。FominとThilikosは、にローカルツリー幅がある場合にのみ、グラフのファミリがdomination-number- treewidthプロパティを持っていることを示すことにより、エップスタインのアナログ結果を証明しました。これは、にdiameter-treewidthプロパティがある場合にのみ発生することに注意してください。s = d o m i n a t i o n − n u m b e rs=doメートル私んat私oん−んあなたメートルbers = \mathit{domination{-}number}FFF\mathcal{F}FF\mathcal{F} 質問： 平面グラフで保持することが知られている -treewidthプロパティはどのグラフパラメーターですか？sssssss …

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最大の充足可能性問題（最大土）ブール充足インスタンスでsatisifiedことができる句の最大数を求める問題です。正確に1 2におけるSAT問題は、条項2つのリテラル各セットが与えられると、求められ、各節はこのセットから正確に一つのリテラルを有するようにリテラルの集合があります。 独自の選択を行うことの複雑さ：グルスワミとトレビザンによる1-in-k SATの概算は、最大2土1土を概算する方法を提供します。彼らは単調（否定されたリテラルなし）を2 Satで最大1と述べています「多項式時間でe近似を採用しています」。 Max monotone 1 in 2 Sat問題の正確なアルゴリズムを見つけたいのですが。

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私は一連の持っているのエージェントとのセットのタスクを、と私は、コストが最小となるように正確に一つのタスクに各エージェントを割り当てる必要があります。一部のエージェントは一部のタスクと互換性がありません。nんんnんんn 私のハンガリーアルゴリズムの実装では、行列を解くのに約1分かかります。禁止された割り当てについては、コストをに設定しました。（私の問題には常に実行可能な解決策が存在します）。∞640 × 640640×640640 \times 640∞∞\infty また、CPLEXでバイナリプログラムとして設定しました。同じ問題を解決するには約9秒かかります。BIPモデルでは、これらの変数を省略して、禁止されている割り当てを完全に除外します。 CPLEXでネットワークモデルとして設定することはまだ検討していませんが、それが次のステップになる可能性があります。ただし、CPLEXとの通信にはパフォーマンスコストがかかるため、専用アルゴリズムを使用するとパフォーマンスが向上するはずです。 この2部マッチングの問題は、別の反復検索アルゴリズム内のカーネルであるため、可能な限り高速に実行する必要があります。 この場合、ハンガリーのアルゴリズムよりも優れた実装可能なアルゴリズムはありますか？または、このカーネルのパフォーマンスを向上させる方法について他に提案はありますか？

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[4]に要約されているUNWEIGHTEDフィードバック頂点セット問題（FVS）には、いくつかの2近似アルゴリズムがあります。頂点カバーからFVSへの縮小は近似を維持することに注意してください。ユニークなゲーム予想を前提として、より良いアルゴリズムを期待することはできません。質問は： 一部のアルゴリズムが実際に比率2に達する重み付けされていないグラフはありますか？ [1]には、加重FVSのそのようなタイトなインスタンスが含まれています。 Vineet BafnaとPiotr Bermanと藤戸敏宏、http： //doi.org/10.1137/S0895480196305124 ; アン・ベッカーとダン・ガイガー、http： //doi.org/10.1016/0004-3702（95）00004-6 ; 藤戸俊宏、http： //doi.org/10.1016/0020-0190（96）00094-4、 FabiánA. Chudak、Michel X. Goemans、Dorit S. Hochbaum、David P. Williamson、http： //doi.org/10.1016/S0167-6377（98）00021-2 。

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定義：「チェーン」は、すべてのエッジを複製することによって長さパスから取得されるマルチグラフです。kkkkkk チェーンの2つのエンドポイント間のパスの数はであることに注意してくださいkkk2k.2k.2^k. 質問：レッツ単純n個のノードのグラフおよびletこと及び二ノードである（シンプル）の数を仮定でSからTへの経路少なくともある次に、エッジの削除と収縮のシーケンスによって、（とを終点として）からチェーンを取得することは可能ですか？GGGssstttG.G.G.GGGnk.nk.n^k.Ω(k)Ω(k)\Omega(k)GGGsssttt 答えが正の場合、問題の2番目の部分は、そのような大きなチェーンを取得するための効率的なアルゴリズムがあるかどうかです。 私は -chainまたはでも同様に満足しk−−√k\sqrt kkαkαk^\alphaα>0.α>0.\alpha >0. そのような推測が成立するかどうかについての部分的な答えや直感に感謝します。 数日前にこれを数学のオーバーフローに投稿しました。誰かがここにも投稿することを提案しました。 /mathpro/161451/do-graphs-with-large-number-of-paths-contain-large-chain-minor

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自然な完全なグラフの問題はありますか。それは、多項式時間で認識可能なグラフクラスに制限されている場合でもN P完全なままです。縮退のケースを避けるために、私たちが唯一考える密な非同型の数れるグラフクラス、≤ nは -vertexグラフは指数関数的に増大してn個を。N PNP\mathsf{NP}N PNP\mathsf{NP}≤ n個≤ん\leq nんんn ノート： （1）「はい」または「いいえ」の答えはどちらも非常に興味深いでしょう。答えが「はい」の場合、合理的なグラフクラスに制限されている場合でも硬度を維持するため、普遍的にハードに呼び出すことができる自然な 完全なグラフプロパティがあります。答えが「いいえ」の場合、すべての自然なN P完全なグラフプロパティを、いくつかの重要なグラフクラスで簡単に作成できることを意味します。N PNP\mathsf{NP}N PNP\mathsf{NP} （2）プロパティの硬度がクラスに単純にシフトされることを除外するために、多項式時間で認識可能なグラフクラスのみを考慮することが重要です。たとえば、3-COLORABILITYは、3-colorableグラフに制限されている場合、簡単になります。

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三角形分割されたグラフを接続されたサブグラフに分割しようとしています。パーティション間のエッジの数はある程度保証されています。以下は、4つの「クラスター」に分割された三角グラフの例です。 私が最初に欲しかったのは、およそk個の三角形のパーティションを作成できるアルゴリズムであり（大きすぎない限り、エラーが発生する可能性があります）、計算することができました。そのようなパーティションを見つけることができるアルゴリズム（ここでpはパーティションの総数）。次に、パーティション間エッジが多数あると、このアルゴリズムが必要なアプリケーションにとって有害で​​あることがわかりました。O （k2p2（v + e ））O（k2p2（v+e））O(k^2p^2(v+e)) 理想的には、各パーティションを一定の範囲内に保つことができるアルゴリズムが理想的です。理想的には、2のような一定の因子である必要があります。また、エッジ間の数に上限を持たせることができるようにしたいそれは「低い」です。kkk さらに、これらのプロパティを持つパーティションがあり、次のいずれかを実行してグラフを変更する場合にも問題があります。 既存の頂点に接続する一連のエッジを追加する 頂点と、追加した頂点に接続する一連のエッジを追加する エッジのセットを削除する 頂点とこの頂点に接続するすべてのエッジを削除する グラフを再分割できるようにしたいのですが、サイズとカットエッジの数が最小化された各分割がまだあります。（これは私が賞金を上げているソリューションです）。つまり、このアルゴリズムを使用すると、空のグラフから始めて、頂点とエッジを1つずつ追加して再パーティション化することで、任意のパーティションを構築できます。kkk この問題に対する追加の制約は次のとおりです。 グラフは平面です 各「三角形」は、エッジを共有する三角形への無向エッジを持つ頂点です 上記のステートメントから、このグラフの各頂点の次数は最大3であることは明らかです グラフが接続されています パーティションの各サブグラフは接続されています 各サブグラフには約k個の頂点があります 最大でのパーティション間エッジ（異なるパーティションの頂点を含むエッジ）があります。やようなパーティション間エッジの同様の境界を見つけることができれば、それも機能する可能性があります。パーティション間のエッジの上限が未満になる可能性があるかどうかは完全にはわかりません。 2 √ん−−√ん\sqrt n O（logn）O（n）2 n−−√2ん2\sqrt nO （ログn ）O（ログ⁡ん）O(\log n)O （n ）O（ん）O(n) 私は立ち往生しているところにいるので、この問題に対するどんな助けも素敵です。この問題を完全に解決できれば、あなたはミツバチの膝です。そうでなければ、あなたが私に指摘できる論文や教科書やアルゴリズムを知っているなら、私はそれを非常に感謝します。 明確にする必要がある場合はお知らせください。 編集：問題を簡単にするための追加の制約を次に示します。 制限付きのドロネー三角形分割を扱っています 制約は決して単一の頂点にはならない 三角形分割から作成されたグラフは、次のように構成されます。各三角形は頂点として表されます。グラフの各エッジは、三角形分割の制約のないエッジに対応しています。これは、2つの三角形間の拘束されたエッジが、三角形分割のグラフ表現に表示されないことを意味します。 私は実現もう一つは、我々は変更する必要があるかもしれないことであるとして成長するために成長し、そうでなければサブがないことができますパーティション間のエッジの数に保証します。n O （n ）kkkんんnO （n ）O（ん）O(n)

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グラフ与えられた場合、グラフの三角形を自由にするために削除する必要があるGのエッジの最小数はいくつですか？私の訓練されていない目には、これは難しい問題のようです。GGGGGG この問題はNP完全であることがわかっていますか？有向グラフ（つまり、平行エッジのない有向グラフ）と有向3サイクルの類似物はどうですか？参考文献をいただければ幸いです！ 編集：デビッドは、以下の無向のケースで私の質問に非常に役に立ちました。指示された/指向のバージョンに関する情報は大歓迎です。

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注：無向グラフに関する同様の質問を投稿しました。 与えられた 複数辺やループのない有向グラフGGG ソースノードsss ターゲットノードttt 最大経路長lll 私が探していますのサブグラフ-任意のノードと任意のエッジ含まから少なくとも一つの単純なパスの一部である（とのみ）、を長さ。G′G』G'GGGGGGsssttt≤l≤l\leq l パスを列挙する必要がないことに注意してください。

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