グラフ問題の非標準の二重パラメーター化

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グラフの問題のパラメーター化された複雑さの1つの基本的な結果は、解のサイズによってパラメーター化されたVERTEX COVER がfixed-parameter-tractable（FPT）であることです。一方、「デュアルパラメーター」でパラメーター化すると、ソリューションサイズでパラメーター化されたINDEPENDENT SETと同等になります（頂点カバーは独立セットの補数であるため）。 W [1]-ハード。 $k$ $|V(G)|-k$

これはあまり自然ではないように見えますが、パラメーターに対するVERTEX COVERのパラメーター化された複雑さに興味があります。これはよりも大きなパラメーターです。このパラメーターはVERTEX COVER FPTですか？ $|E(G)|-k$ $|V(G)|-k$

注：他のグラフの問題（DOMINATING SETなど）の同様のパラメーター化にも興味があります。両方の種類の二重パラメーターの研究を目にした唯一の場所は、Crowston、Gutin、Jones、Saurabh、およびYeoによる2012年の論文「パラメーター化されたテストカバー問題の研究」のハイパーグラフ問題TEST COVER です。（arXivにも）

編集（2016年4月12日）：このパラメータはまた、2011年論文では、他のハイパーグラフ問題の打撃SETのために研究されて打つセットの下に、上限パラメータ化のためのカーネルやセットの問題を支配監督 Gutin、Monesとヨーで（arXivのリンク）。

reference-request graph-algorithms fixed-parameter-tractable

— フロラン・フーコー
ソース

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してみましょうと。双対パラメーターは常に少なくともと同じ大きさであり、その結果、フィードバックエッジセット（削除によって非循環になるエッジのセット）のサイズと少なくとも同じ大きさになります。 $n:=|V(G)|$ $m:= |E(G)|$ $m-k$ $m-n$ $G$

最小フィードバックエッジセットのサイズは、レッツは、フィードバックエッジ数を呼び出す、少なくともフィードバック頂点数とグラフのツリー幅として大きいようでもあります。これは、頂点カバーが扱いやすい固定パラメーターであることを直接意味します。さらに、フィードバック頂点番号によってパラメーター化された頂点カバーには1つがあるため、多項式カーネルがあります（これはJansenとBodlaenderが「頂点カバーカーネル化の再考-洗練されたパラメーターの上限と下限」で示しました。理論計算システム53（2）： 263-299（2013）、http： //dx.doi.org/10.1007/s00224-012-9393-4 ）。 $\phi$ $m-k$

頂点カバーするための単純な直接線形カーネルは、フィードバックエッジ数によってパラメータ次のように得られるようになります、全次数0の頂点を削除する頂点カバーに任意の程度-1頂点の隣人を追加し、自由度2の頂点の経路を減らすこと少なくとも2つの頂点を含みます（それに応じての境界を減らします）。これらの削減ルールを徹底的に適用した後、結果のグラフではです。これは、大きいパラメーターカーネルを直接意味します。 $\phi$ $k$ $n=O(\phi)$ $m-k$

参考のためにあなたの質問に答える：デュアルパラメーターよりも小さいフィードバックエッジ番号を探します。これは文献で検討されており、固定集合の扱いやすさの結果を支配集合にも与えます（パラメーターが大）。さらに3つの例を示します。 $m-k$

Johannes Uhlmann、Mathias Weller：フィードバックエッジセットによってパラメーター化された2層平面化。理論。計算。サイエンス。494：99-111（2013）、http：//dx.doi.org/10.1016/j.tcs.2013.01.029

AndréNichterlein、Rolf Niedermeier、Johannes Uhlmann、Mathias Weller：ターゲットセット選択の扱いやすいケースについて。ソーシャルネットワーク。分析。鉱業3（2）：233-256（2013）、http：//dx.doi.org/10.1007/s13278-012-0067-7

Sepp Hartung、Christian Komusiewicz、AndréNichterlein：パラメーター化されたアルゴリズムと2クラブを見つけるための計算実験。J.グラフアルゴリズムアプリケーション 19（1）：155-190（2015）、http：//dx.doi.org/10.7155/jgaa.00352

— C Komus
ソース

存在する場合、「すべての次数0の頂点を削除」は、mを変更せずにnを減らし、したがってmnを増やします。したがって、結果のグラフのサイズが結果のグラフのパラメータで線形であるということは、結果のグラフのサイズが入力グラフのパラメータに関して制限があることを意味しません。

はい、指摘していただきありがとうございます。この部分を、フィードバックエッジ番号が小さいカーネル化に変更しました。

— C Komus

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補助的な質問：私が指摘した2つの論文はハイパーグラフの問題に関するものでしたが、頂点よりもハイパーエッジが少ないため、

は

より大きくする必要はありません。そこに機能するsoemの一般的なトリックはありますか？

m - k

$m-k$

n - k

$n-k$

— Florent Foucaud 16

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$2k+1$ $G'$ $|E(G')|\le |E(G)|-2k$ $G'$ $|E(G')|$ $|E(G)|-k$ $G$

$2k+1$ $2k+1$ $2k$

— マイケルランピス
ソース

ありがとう、きちんと！（他のグラフの問題について）そのようなパラメータが検討されているリファレンスを知っている場合は、お知らせください。

— Florent Foucaud、2016