タグ付けされた質問 「circuit-complexity」

回路の複雑さは、リソースに制限された回路と、そのような回路によって計算される機能の研究です。

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ある有界ファンアウトとは、より弱い？
D. Bera、F。Green、およびS. Homerによる調査「Small Depth Quantum Circuits」（ACM SIGACT Newsのp。36、2007年6月vol。38、no。2）で、次の文を読みました。 の古典的なバージョン（およびゲートはせいぜい一定のファンアウトを持っています）は、よりもおそらく弱いです。QAC0QAC0QAC^0ANDANDANDORORORAC0AC0AC^0 この申し立ての参照がありません。このクラスをと呼びます。ここで、は「バウンドファンアウト」を表します。（Complexity Zooはダウンしており、そのようなクラスがすでに文献に名前を持っているかどうかは確認できません）。入力ビットに無制限のファンアウトを想定すると、これらの回路はサイズの多項式増加までの一定の深さの式と同等であるように見えるため、上記の主張は意味をなしません。代わりに、入力ビットの制限されたファンアウトも想定すると、このクラスをから分離する言語は考えられません。可能性のある候補は、言語、つまり、1つだけの文字列の言語です。表示するのは簡単ですAC0bfACbf0AC^0_{bf}bfbfbfAC0AC0AC^0X:={x|weight(x)=1}X:={x|weight(x)=1}X := \{x | \mbox{weight}(x) = 1 \}X∈AC0X∈AC0X \in AC^{0}ですが、ことを証明できませんでした。X∉AC0bfX∉ACbf0X \notin AC^{0}_{bf} 質問は次のとおりです。 あるよりも、実際に弱い？もしそうなら、それを証明する方法に関するアイデアや参照はありますか？そして、これらの2つのクラスを分離する言語は何ですか？何についての？AC0bfACbf0AC^0_{bf}AC0AC0AC^0XXX
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行列式と永続の下限
深さ3での最近のキャズムの結果（特に、上の行列式に対する深さ3演算回路を生成します）、次の質問があります：グリゴリエフとカルピンスキーは、有限体上の行列の行列式を計算する深さ3算術回路の下限を証明しました（これは推測しますが、恒久的にも保持されます）。パーサーを計算するためのライザーの式は、サイズ深さ3の算術回路を与えます、N×NC2Ω（N）のN×NO（N22N）=2O（N）2n√ログn2nlog⁡n2^{\sqrt{n}\log{n}}n × nn×nn \times n CC\mathbb{C}2Ω （n ）2Ω(n)2^{\Omega{(n)}}n×nn×nn \times nO(n22n)=2O(n)O(n22n)=2O(n)O(n^2 2^n) = 2^{O(n)}。これは、結果が本質的に有限フィールド上のパーマネントの深さ3回路に対して厳密であることを示しています。2つの質問があります。 1）パーサーのRyserの式に類似した行列式の深さ3の式はありますか？ 2）決定多項式\ textit {always}を計算する算術回路のサイズの下限は、恒久多項式の下限になりますか？（それらは同じ多項式です）。F2F2\mathbb{F}_2 私の質問は現在、有限体上のこれらの多項式に関するものですが、任意の体上のこれらの質問の状態も知りたいです。
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モノトーン演算回路
一般的な算術回路についての知識の状態は、ブール回路についての知識の状態と似ているようです。つまり、良い下限がありません。一方、単調なブール回路には指数サイズの下限があります。 単調な算術回路について何を知っていますか？それらに同様の良い下限がありますか？そうでない場合、モノトーン演算回路の同様の下限を得ることができない本質的な違いは何ですか？ 質問はこの質問へのコメントに触発されます。
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しきい値ゲートが1つしかない算術回路
制限するとき000 - 111入力、すべての{+,×}{+,×}\{+,\times\} -circuit F(x1,…,xn)F(x1,…,xn)F(x_1,\ldots,x_n)ある関数計算F:{0,1}n→NF:{0,1}n→NF:\{0,1\}^n\to \mathbb{N}。ブール関数を取得するには、出力ゲートとして1つのfanin-1しきい値ゲートを追加するだけです。入力上のa∈{0,1}na∈{0,1}na\in\{0,1\}^n、得られた閾値 {+,×}{+,×}\{+,\times\} -回路は、次に出力111であればF(a)≥tF(a)≥tF(a)\geq t、及び出力000であればF(a)≤t−1F(a)≤t−1F(a)\leq t-1。しきい値t=tnt=tnt=t_nは任意の正の整数にすることができ、これは入力値ではなく依存する場合nnnがあります。得られた回路は、いくつかの（単調）を計算ブール関数 F′:{0,1}n→{0,1}F′:{0,1}n→{0,1}F':\{0,1\}^n\to \{0,1\}。 質問：しきい値{+,×}{+,×}\{+,\times\} -circuitsは{∨,∧}{∨,∧}\{\lor,\land\} -circuits によって効率的にシミュレート できますか？ 「効率的に」とは、「最大で多項式サイズの増加を伴う」ことを意味します。答えは、しきい値のために「はい」と明らかであるt=1t=1t=1：ちょうど置き換える+++によって∨∨\lor、××\timesで∧∧\land、そして最後のしきい値ゲートを削除します。つまり、{∨,∧}{∨,∧}\{\lor,\land\}回路は実際にはしきい値111 {+,×}{+,×}\{+,\times\}回路です。しかし、より大きなしきい値、たとえばt=2t=2t=2どうでしょうか？ 一つは、算術類似定義することができる#C#C\#C最もブール回路のクラスCCC単に使用することによって+++ 、代わりにOR ××\times代わりにAND、及び1−xi1−xi1-x_i代わりにx¯ix¯i\bar{x}_i。たとえば、#AC0#AC0\#AC^0回路は{+,×}{+,×}\{+,\times\} -無限のファンイン+++および××\timesゲートを持つ一定の深さの回路であり、入力xixix_iおよび1−xi1−xi1-x_iです。 アグラワル、Allenderとダッタは、示されたその閾値#AC0#AC0\#AC^0 = TC0TC0TC^0。（AC0AC0AC^0自体はT C 0の適切なサブセットであることを思い出してください。たとえば、マジョリティ関数を使用してください。）つまり、一定の深さのしきい値回路は、一定の深さ{ + 、- 、× } -単一のしきい値ゲートを備えた回路！ただし、私の質問は約あることを単調回路（ノーマイナス「-」ゲートとして、さらにはありません1 -TC0TC0TC^0{+,−,×}{+,−,×}\{+,-,\times\}−−-1−xi1−xi1-x_i入力として x i）。その場合も、1つの（最後の）しきい値ゲートを非常に強力にすることができますか？私はこのことを知らないので、関連するポインタは大歓迎です。 NBはまだ別の興味深い関連ある結果 によるアーノルドRosenbloomに：一つだけで-circuits 単調関数G ：N 2 → { 0 、1 }を持つすべてのスライス関数を計算することができ、出力ゲートとしてO （N ）ゲート。スライス機能は、いくつかの固定のために、単調ブール関数であるKを出力、0（それぞれ1未満（それぞれ、複数）を有する全ての入力に）K{+,×}{+,×}\{+,\times\}g:N2→{0,1}g:N2→{0,1}g:\mathbb{N}^2\to\{0,1\}O(n)O(n)O(n)kkk000111kkkもの。一方、簡単なカウントは、ほとんどのスライス関数が一般的な -指数サイズの回路を必要とすることを示しています。したがって、1つの「罪のない」追加出力ゲートは、単調な回路を全能にすることができます！私の質問は、このときにも起こることができるかどうかを尋ねるG ：N …
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PARITYを計算する回路の最小サイズはどれくらいですか？
入力変数からPARITYを計算するすべてのファンイン2 AND-OR-NOT回路のサイズは少なくとも3(n−1)3(n−1)3(n-1)あり、これは鋭いという古典的な結果です。（サイズをANDゲートとORゲートの数として定義します。）証明はゲート削除によるものであり、任意のファンインを許可すると失敗するようです。この場合、何が知られていますか？ 具体的には、より大きなファンインが役立つ場合、つまり未満の3(n−1)3(n−1)3(n-1)ゲートが必要な場合の例を知っていますか？ 10月18日更新。Marzioは、n=3n=3n=3場合、CNF形式のPARITYを使用すると555ゲートでも十分であることを示しました。これは、バインドの意味一般用N。もっと良くできますか？⌊52n⌋−2⌊52n⌋−2\lfloor \frac 52 n \rfloor-2nnn
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回路の下限とコルモゴロフの複雑さ
次の理由を考慮してください。 してみましょう示すコルモゴロフ複雑性の文字列の。 チャイティンの不完全性定理によるとxK(x)K(x)K(x)xxx 一貫性があり十分に強い形式システム場合、定数（形式システムとその言語のみに依存）が存在するため、文字列、 は証明できません。Tは、xはS K （X ）≥ TをSSSTTTxxxSSSK(x)≥TK(x)≥TK(x) \geq T してみましょうのブール関数であるそのスペクトルのコルモゴロフ複雑性が最大である変数ST。してみましょうの回路の複雑さもすなわち、最小限の回路計算のサイズ、。 n k S （f n）f n f nfnfnf_nnnnkkkS(fn)S(fn)S(f_n)fnfnf_nfnfnf_n の（大まかな）上限 は、定数は であり、はビジービーバー関数です（可能な最大ステップは停止しますサイズ記述のあるチューリングマシンが実行できます）。（スペクトルのごとに、対応する真理値割り当ての最小項を構築し、これらすべての最小項のORを一緒に取ります。）S （F N）≤ C ⋅ B B （K ）⋅ N C B B （K ）K 1S(fn)S(fn)S(f_n)S(fn)≤c⋅BB(k)⋅nS(fn)≤c⋅BB(k)⋅nS(f_n)\leq c\cdot BB(k) \cdot ncccBB(k)BB(k)BB(k)kkk111 ここで、ブール関数無限ファミリーについて 、が超線形サイズの回路を必要とするという正式な証明がある とします。 LL={fn}nL={fn}nL = \{f_n\}_{n}LLL G （N …
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固定グラフ上のクリーク問題
知っているように、クリーク関数は、完全な頂点グラフ（スパニング）サブグラフを取り、が -cliqueを含む場合にを出力します。この場合の変数はエッジに対応します。場合、この関数は約サイズの単調な回路を必要とすることがわかっています（Razborov、Alon-Boppana）。 C L I Q U E （N 、K ）G ⊆ K N N K N 1 G K K N 3 ≤ K ≤ N / 2 N KkkkCL IQ UE（n 、k ）CLIQUE(n,k)CLIQUE(n,k)G ⊆ KnG⊆KnG\subseteq K_nnnnKnKnK_n111GGGkkkKnKnK_n3 ≤ K ≤ N / 23≤k≤n/23\leq k\leq n/2nknkn^k しかし、我々は取る場合は、1つの固定グラフ、及び単調ブール関数考えるかかり、サブセット頂点、および出力の一部IFFの頂点フォームAクリーク。この場合の対応の変数頂点の、および機能は、ちょうど標準クリーク関数だけに制限されているスパニング一方のサブグラフ固定グラフ。 C L I …
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ん
任意の妥当な複雑/暗号仮説（すなわち、多項式サイズ回路が準指数サイズを有することが可能アウトルールことがあるとε &lt; 1）境界深さは（D = O （1 ））回路？2O(nϵ)2O(nϵ)2^{O(n^\epsilon)}ϵ&lt;1ϵ&lt;1\epsilon<1d=O(1)d=O(1)d = O(1) 我々はによってすべての機能を計算することを知っている回路は、サイズによって計算することができる2 O （N ε）の深さDのすべてのための（（無限ファンにおいて、ゲートNOT使用AND、ORなど）回路0 &lt; εありますa dおよびdはO （1 / ϵ ）であると見なすことができます。NC1NC1\mathsf{NC^1}2O(nϵ)2O(nϵ)2^{O(n^\epsilon)}ddd0&lt;ϵ0&lt;ϵ0 <\epsilonddddddO(1/ϵ)O(1/ϵ)O(1/\epsilon) 質問は： 一般的な多項式サイズの回路にこのような回路が存在する可能性を低くする理由はありますか？
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AND＆OR回路はP完全ですか？
AND＆ORゲートは、2つの入力が与えられ、ANDおよびORを返すゲートです。回路はファンアウトなしでAND＆ORゲートからのみ作成され、任意の計算を実行できますか？より正確には、多項式時間計算の対数空間はAND＆OR回路で還元可能ですか？ この問題に対する私の動機はかなり奇妙です。ここで説明したように、この質問はコンピューターゲームDwarf Fortress内の計算にとって重要です。
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深さ5未満で追加を実行できますか？
キャリールックを使用して先に我々は多項式サイズ深さ5（または4？）を使用して、追加を計算することができ、アルゴリズムAC0AC0AC^0回路ファミリを。深さを減らすことは可能ですか？キャリールックアヘッドアルゴリズムによって得られる深さよりも小さい多項式サイズの回路ファミリを使用して、2つの2進数の加算を計算できますか？ dが2または3 である場合、加算を計算AC0dACd0AC^0_d回路ファミリのサイズの超多項式下限はありますか？ddd 深さとは、交互の深さを意味します。
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NCのビッグバージョンとは何ですか？
は、効率的に並列化できるという考えを捉えており、その解釈の1つは、いくつかの定数 c、 kに対してO （n k）並列プロセッサを使用して、時間 O （log c n ）で解ける問題です。私の質問は、時間が n cでプロセッサーの数が 2 n kである類似の複雑度クラスがあるかどうかです。空欄の質問として：N CNC\mathsf{NC}O （ログcn ）O(logc⁡n)O(\log^c n)O （nk）O(nk)O(n^k)ccckkkncncn^c2nk2nk2^{n^k} である Pとして__である E X PNCNC\mathsf{NC}PP\mathsf{P}EXPEXP\mathsf{EXP} 特に、多項式で区切られた次数を持つネットワークに指数関数的な数のコンピューターが配置されているモデルに興味があります（ネットワークが入力/問題から独立している、または少なくとも何らかの形で簡単に構築できる、または他の合理的な均一性の仮定があるとしましょう） ）。各タイムステップで： すべてのコンピューターは、前のタイムステップで受信した多項式サイズのメッセージの多項式数を読み取ります。 すべてのコンピューターは、これらのメッセージに依存する可能性があるポリタイム計算を実行します。 すべてのコンピューターは、（polylengthの）メッセージをそれぞれの隣人に渡します。 この種のモデルに対応する複雑度クラスの名前は何ですか？そのような複雑なクラスについて読むのに適した場所は何ですか？そのようなクラスに完全な問題はありますか？
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回路の下限に関するリファレンス
前文 インタラクティブ証明システムとArthur-Merlinプロトコルは、1985年にGoldwasser、Micali、Rackoff、およびBabaiによって導入されました。最初は、前者は後者よりも強力であると考えられていましたが、GoldwasserとSipserは、言語認識に関して）。したがって、この投稿では、2つの概念を同じ意味で使用します。 してみましょうとの対話型証明系認める言語のクラスであるラウンドを。Babaiはことを証明しました。（相対化可能な結果。）K I P [ O （1 ）] ⊆ Π P 2IP[k]IP[k]IP[k]kkkIP[O(1)]⊆ΠP2IP[O(1)]⊆Π2PIP[O(1)] \subseteq \Pi_2^P 最初は、無制限のラウンド数でIPの能力を高めることができるかどうかはわかりませんでした。特に、相反する相対化があることが示されました。FortnowとSipserは、一部の神託、保持ことを示しまし。（したがって、Aに関連して、IP [poly]はPHのスーパークラスではありません。）AAAcoNPA⊄IP[poly]AcoNPA⊄IP[poly]AcoNP^A \not\subset IP[poly]^AI P [ p o l y ] P HAAAIP[poly]IP[poly]IP[poly]PHPHPH 一方、次の論文： Aiello, W., Goldwasser, S., and Hastad, J. 1986. On the power of interaction. In Proceedings of the 27th Annual Symposium on …
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同じバイアスのコインから、公平に近いコイントスを得るための最良の方法は何ですか？
（フォン・ノイマンは、同一のバイアスされたコインへのアクセスを与えられた公正なコインをシミュレートするアルゴリズムを与えました。アルゴリズムは潜在的に無限の数のコインを必要とします。制限されています。） 我々が持っていると仮定しバイアスと同じコイン。目的は、バイアスを最小限に抑えながら、単一のコイントスをシミュレートすることです。nnnδ=P[Head]−P[Tail]δ=P[Head]−P[Tail]\delta=P[Head]-P[Tail] シミュレーションは、次の意味で効率的である必要があります。多項式時間で実行されるアルゴリズムは、ランダムビットを見て、単一ビットを出力します。アルゴリズムのバイアスは、として定義されます ここで、ように iidビット定義された分布を期待します。B i a s （A ）= | E [ A = 0 ] − E [ A = 1 ] | n x 1、… 、x n P r o b [ x i = 1 ] − P r o b [ x i = 0 …
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一定の深さの式の下限？
（多項式サイズ）一定の深さの回路の制限について多くのことを知っています。（多項式サイズ）定数の深さの式は計算のさらに制限されたモデルであるため、AC 0にないことが知られているすべての問題も定数の深さの式で計算できません。ただし、これは簡単なモデルであるため、このモデルでは計算できないことがわかっている問題がさらに多いと推測しています。これは研究されましたか？（私はそれがあったと推測していますが、私はおそらく正しい検索用語を使用していないでしょう。） 具体的には、次の質問に興味があります：サイズSのAC 0回路で計算できる関数fがありますが、Sで少なくとも2次、またはSで超多項式のサイズの定深度式が必要ですか？この種の最もよく知られている結果は何ですか？ 一定の深さの式が何を意味するのかが明確でない場合、ツリーとして書き出す（内部ノードがAND / OR / NOTゲートであり、葉が入力である）場合、このツリーは定数を持つ式を意味します高さ。同様に、一定の深さの式は、すべての非入力ゲートのファンアウトが1である一定の深さの回路です。
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と通常の言語の関係
してみましょう、すべての定期的な言語のクラスです。REGREG\mathsf{REG} および\ mathsf {REG} \ not \ subset \ mathsf {AC} ^ 0として知られています。しかし、\ mathsf {AC} ^ 0 \ cap \ mathsf {REG}に言語の特性はありますか？AC0⊄REGAC0⊄REG\mathsf{AC}^0 \not\subset \mathsf{REG}REG⊄AC0REG⊄AC0\mathsf{REG} \not\subset \mathsf{AC}^0AC0∩REGAC0∩REG\mathsf{AC}^0 \cap \mathsf{REG}
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