ある有界ファンアウトとは、より弱い？

D. Bera、F。Green、およびS. Homerによる調査「Small Depth Quantum Circuits」（ACM SIGACT Newsのp。36、2007年6月vol。38、no。2）で、次の文を読みました。

の古典的なバージョン（およびゲートはせいぜい一定のファンアウトを持っています）は、よりもおそらく弱いです。 $QAC^0$ $AND$ $OR$ $AC^0$

この申し立ての参照がありません。このクラスをと呼びます。ここで、は「バウンドファンアウト」を表します。（Complexity Zooはダウンしており、そのようなクラスがすでに文献に名前を持っているかどうかは確認できません）。入力ビットに無制限のファンアウトを想定すると、これらの回路はサイズの多項式増加までの一定の深さの式と同等であるように見えるため、上記の主張は意味をなしません。代わりに、入力ビットの制限されたファンアウトも想定すると、このクラスをから分離する言語は考えられません。可能性のある候補は、言語、つまり、1つだけの文字列の言語です。表示するのは簡単です $AC^0_{bf}$ $bf$ $AC^0$ $X := \{x | \mbox{weight}(x) = 1 \}$ $X \in AC^{0}$ ですが、ことを証明できませんでした。 $X \notin AC^{0}_{bf}$

質問は次のとおりです。

あるよりも、実際に弱い？もしそうなら、それを証明する方法に関するアイデアや参照はありますか？そして、これらの2つのクラスを分離する言語は何ですか？何についての？ $AC^0_{bf}$ $AC^0$ $X$

cc.complexity-theory circuit-complexity

— アレッサンドロ・コセンティーノ
ソース

入力ビットのファンアウトを制限すると、回路のサイズが線形になります。どれ超線形サイズを必要とする関数は、それらを分離します。

A C^{0}

$AC^0$

— カベ

@Kaveh：超線形サイズの

回路とサイズの下限を示す参照を必要とする明示的な関数の例で、答えとして再投稿することができますか？（または、それが非常に単純な場合は、回答に引数を含めますか？）

A C^{0}

$AC^0$

— ロビンコタリ

@Kavehありがとう。私は、

と線形サイズの定深度回路（明らかに

と呼ばれる）の分離が知られていることを知りませんでした。参照は、S。ChaudhuriおよびJ. Radhakrishnanによる「回路の複雑性における決定論的制限」です。@Kavehコメントに答えていただけますか？

A C^{0}

$AC^0$

L C^{0}

$LC^0$

— アレッサンドロコセンティーノ

フォローアップの質問cstheory.stackexchange.com/questions/7447/…で説明したように、

は線形サイズ式と同じです。

A C_{b f}^{0}

$AC^0_{bf}$

— domotorp

入力ビットとゲートのファンアウトの限界は、回路のサイズを線形にします。してみましょうゲートと入力のファンアウトにバインドされます。これは、と長さ最大パスで区切られた最大出力次数を持つDAG です。各レベルで使用可能なワイヤの数が増加することができる回、そして上部に利用可能なワイヤの数であり、回路の配線の総数が最大であるので、はです。 $k$ $k$ $d$ $k$ $kn$ $kn \sum_{i=0}^d k^i \leq k^{d+1} n$ $O(n)$

超線形サイズを必要とする任意の関数は、から制限されたファンアウト（入力ビットにも適用される）を関数のクラスを分離します。ここではいくつかの例を示します。 $\mathsf{AC^0}$ $\mathsf{AC^0}$

[CR96]：超線形サイズを必要とする関数は $\mathsf{AC^0}$ 近似セレクター $\frac{1}{4}$ 。A近似セレクターは、値が次のいずれかの関数です。 $\frac{1}{4}$
- の数が最大は常に $0$ $1$ 、 $\frac{n}{4}$
- の数が最大では常に $1$ $0$ 、 $\frac{n}{4}$
- それ以外の場合は、またはいずれかです。 $0$ $1$
こと【Ros08]を示し -cliqueが有する関数の複雑（入力ビットを有するグラフの可能なエッジである頂点）。これにより、スーパーラインサイズが下限になります。 $k$ $\mathsf{AC^0}$ $n^{\Theta(k)}$ $n^2$ $n$ $k\gt 2$
2 canの例を一般化して、特定の順序付けられていない構造内の任意の非自明な（複数のビットを必要とする）固定誘導部分構造の存在を一般化することができます。
- 特定のグラフに長さ2のパスが存在する
- 、 $\#_1(x)=2$
では不可能なビットに依存する超一定数のゲートが必要になるためです。 $\mathsf{AC^0_{bf}}$
最も簡単な例は、複製ゲート、つまり入力ビットのコピーを作成するゲートです。ゲートののみが各入力ビットに依存できるため、これはでは不可能です。 $\omega(1)$ $\mathsf{AC^0_{bf}}$ $O(1)$

また、サイズ任意の回路は、最大でサイズの式に変換できるため、サイズが式なので、線形式の複雑さははありません。 $\mathsf{AC^0_{bf}}$ $S$ $k^dS$ $\mathsf{AC^0_{bf}}$ $k^{2d+1}n$ $\mathsf{AC^0}$ $\mathsf{AC^0_{bf}}$

参照：

[CR96] S. ChaudhuriおよびJ. Radhakrishnan、「回路の複雑さにおける決定論的制限」、1996

[Ros08]ベンジャミン・ロスマン、「k-クリークの一定深さの複雑さについて」、2008

[Juk] Stasys Jukna、「ブール関数の複雑さ：進歩とフロンティア」、ドラフト

— カベ
ソース

この結果から、ベンジャミンロスマンによる

と

最近の分離が続きます。彼は、すべての定数

（同様に成長する

）と定数

について、

頂点グラフの

クリークの深さ

回路のサイズは

なければならないことを示しています。これは、サイズ

回路（異なる

L C^{0}

$LC^0$

A C^{0}

$AC^0$

k

$k$

k

$k$

d

$d$

d

$d$

k

$k$

n

$n$

Ω (n^{k / 4})

$\Omega(n^{k/4})$

A C^{0}

$AC^0$

n^{k}

$n^k$

k

$k$ ）は実際には無限です。

— スリカンス

Alessandro、domotorp、Robin、Srikanth、およびStasysのおかげで、答えを更新しました。

— カヴェー

@Kaveh：わかった、ありがとう。ロスマンの結果を微調整する方法を見つけたら、ぜひ聞いてみてください。しきい値2関数については、このクラスのすべての関数が線形サイズの数式を持ち、しきい値2の数式サイズの下限が

ことに注意することで、このクラスにないことを示すことができると思います。

Ω (n \log n)

$\Omega(n \log n)$

— ロビンコタリ

@Kaveh：

で長さ

のパスを意味する場合、これらの関数にはサイズ

回路があることに留意してください（これは基本的にアロン、ユスター、ツウィック）。ロスマンの手法がこの種の限界を与えるかどうかはわかりません（しかし、そうすべきでない理由はわかりません）。

P_{k}

$P_k$

k

$k$

A C^{0}

$AC^0$

2^{k} n^{O (1)}

$2^kn^{O(1)}$

— スリカンス

@Kaveh：すみません、参照を提供する必要がありました。あなたが指摘した論文は、パスや他のサブグラフをすばやく見つけるためのカラーコーディング手法を開始しました。この論文では、天野がアルゴリズムを

実装できることを最初に指摘しました。

A C^{0}

$AC^0$

— スリカンス