固定グラフ上のクリーク問題

知っているように、クリーク関数は、完全な頂点グラフ（スパニング）サブグラフを取り、が -cliqueを含む場合にを出力します。この場合の変数はエッジに対応します。場合、この関数は約サイズの単調な回路を必要とすることがわかっています（Razborov、Alon-Boppana）。 $k$ $CLIQUE(n,k)$ $G\subseteq K_n$ $n$ $K_n$ $1$ $G$ $k$ $K_n$ $3\leq k\leq n/2$ $n^k$

しかし、我々は取る場合は、1つの固定グラフ、及び単調ブール関数考えるかかり、サブセット頂点、および出力の一部IFFの頂点フォームAクリーク。この場合の対応の変数頂点の、および機能は、ちょうど標準クリーク関数だけに制限されているスパニング一方のサブグラフ固定グラフ。 $G\subseteq K_n$ $CLIQUE(G,k)$ $S\subseteq [n]$ $1$ $k$ $S$ $G$ $K_n$ $G$

1.ない存在 -vertexグラフいるより大きなサイズの単調回路が必要？私は推測する-いいえ。 $n$ $G$ $CLIQUE(G,k)$ $n^{O(\log n)}$

2.されのグラフのいくつかの配列についてのNP困難問題？私は推測する-いいえ。 $CLIQUE(G_n,k)$ $(G_n\colon n=1,2\ldots)$

場合、その音符内のすべての最大クリークである、次いで ORのように計算することができ threshold-機能、かどうかをテストする番目の。したがって、場合、回路全体のサイズは多項式になります。しかし、指数関数的な数の最大クリークを持つグラフはどうでしょうか？（クリークは最大であり、頂点を追加することはできません。） $C_1,\ldots,C_r$ $G$ $CLIQUE(G,k)$ $r$ $k$ $i$ $|S_a\cap C_i|\geq k$ $r=poly(n)$

頂点上の特定のグラフをに「埋め込む」ことができます。特に、Bollobas and Thomason（1981）は、が頂点がサブセットであるアダマールグラフであり、2つの頂点とが隣接している場合、偶数の場合、は個の頂点上のすべてのグラフ同型コピーが含まれます。この事実を Razborovの下限（約）と組み合わせて、 $CLIQUE(m,k)$ $CLIQUE(H,k)$ $H$ $n=2^m$ $H$ $[m]$ $u$ $v$ $|u\cap v|$ $H$ $G$ $m$ $m^k$ $CLIQUE(m,k)$ $CLIQUE(H,k)$ は、サイズが約モノトーン回路を必要としますか？ここでの潜在的な問題は、グラフがすべての頂点グラフを「含んでいる」にもかかわらず、これらのグラフが同じ頂点のセット上にないことです。そして、Razborovの議論は、正と負の入力（クリークと完全な -partiteグラフの補数）が同じ頂点のセット上のグラフであることを要求しています。さらに、すべての正の入力（クリーク）は、1つの同じ固定クリークの単なる同型コピーです。 $m^k$ $H$ $m$ $k$ $(k-1)$ $k$ $k$

3.アイデアはありますか？このような問題が検討されているのを見た人はいますか？つまり、固定グラフのサブグラフの決定問題です。または、1つの固定された （満足できる）CNFのサブCNFのSAT問題（いくつかのリテラルを削除することで得られます）？

動機：この種の問題は、組み合わせ最適化アルゴリズムの複雑さに関連しています。しかし、彼らは自分自身で興味深いようです。すべてのグラフで効率的なアルゴリズムを探す必要があるのはなぜですか？実際には、通常、1つの（大きな）グラフ（国の道路網、またはFacebookなど）の小さな断片のプロパティに関心があります。

1備考：グラフ場合はである二部は、不等式の頂点エッジ入射マトリックスがのすべてのための完全ユニモジュラであり、一は、線形計画法を介して、誘導部分グラフのクリーク問題を解決できます。したがって、二部グラフ、 $G=(L\cup R,E)$ $x_u+x_v\leq 1$ $(u,v)\not\in E$ $G$ $G$ 有する小さな（いえ非単調）回路。 $CLIQUE(G,k)$

注意2：2部グラフ場合、質問1に対する答えは「いいえ」である必要があるということは、上の次の単調なKarchmer-Wigdersonゲームがビットの通信のみを必要とするということです。してみましょうの完全二部部分グラフの頂点の最大数も。アリスは赤いノードのセットを取得し、ボブは青いノードのセットを取得します。目標は、間の非エッジを見つけることです $G$ $G$ $O(\log n)$ $k$ $G$ $A$ $B$ $|A|+|B|>k$ $A$ そして。 $B$

cc.complexity-theory optimization circuit-complexity

— スタシス
ソース

より多くの考え（1）ブール変数の0/1値に基づいて固定グラフのエッジおよび「フィルター」エッジと同じ変数数を持つ「フィルター」関数を定義する同様の結果が得られるようです... 。？これは、エッジから頂点に移動する誘導されたグラフ構造のために、分析を多少減らす可能性があります。（2）重要な簡単な質問が質問に埋め込まれているので、それだけで対処する価値があります。指数最大クリークを持ついくつかのグラフは何ですか？hadamardの例は、その「大きい」ため十分ではないかもしれません。

— vzn

最近、漠然と似たものを調べていて、この興味深いファクトイドに出くわしました。オーダーのグラフ

mostnに有する

クリーク」を --mcguinness

n

$n$

n^{2} / 4

$n^2/4$

— vzn

@vzn：最後の質問へ。単純な構造があります（誰も覚えていない）。頂点がばらばらの「反三角形」（エッジのない頂点のトリプル）の

コピーを取り、2つのアンチトリングルのすべての頂点の間にエッジを置きます。最大クリークの数は

であり、これは最適です（これ以上は不可能です）。

n / 3

$n/3$

2^{n / 3}

$2^{n/3}$

— Stasys

@vzn：マクギネスの結果について。私が理解したように、彼はすべてのエッジを少数のエッジが分離した最大（サイズ）クリークに分解します。しかし、誘導された部分グラフの最大クリークがそれらのいずれにも含まれない場合があります。それでも、結果は「正しい方向」にあるようです。

— Stasys

リマーク2について：2部構成のクリークを探していると言うとき、完全な2部構成を意味しますか？

— MassimoLauria

$G$ $k$ $k$ $n^{\Omega(k)}$

このリンクで、「DPLL検索手順のパラメーター化された複雑さ」というペーパーを見つけることができます。

— マッシモラウリア
ソース

とてもいい結果です！実際、（クリーク）問題に対するツリー状の切断面（CP）の反論に対して同じ結果を表示しようとすると、私の疑問が生じました。ツリーのような派生には、（1）通信の複雑さの引数、および（2）PudlakおよびImpagliazzoのプレイヤーデレイヤーゲームの2つの（のみ？）ツールがあります。備考2は、（1）クリーク問題に対して（おそらく）失敗することを意味します。CP証明の場合の（2）の類似性はありますか？

— Stasys

このペーパーがあなたの質問に答えるかもしれません：http : //arxiv.org/abs/1204.6484

このペーパーでは、NPのハード3SAT問題のファミリーを定義します。そのため、式の構造はnごとに固定され、入力は式の極性になります。

3SATからCLIQUEへの標準縮約（各3CNF句は8つの可能な割り当て（または7つの満足できる割り当て）のセットを定義し、競合しない割り当て間のエッジを使用）を使用して、各句の1つの頂点を削除した後、 NPは、最大クリークを見つけるのが困難です（または、グラフ製品または非ランダム化グラフ製品を使用して、そのサイズを近似することさえできません）

— user15669
ソース

Q3に関して、SAT問題の「バックボーン」と「バックドア」に関する経験的な作業があります。バックボーンは、すべての満足のいく割り当てに当てはまるリテラルのセットです。SAT問題へのバックドアは、問題を解決するための「ショートカット」を提供する（できれば小さい）変数のセットです。これらの2つの構造は、「サブCNF」と呼ばれるもの、またはいくつかの変数が削除されたCNFを理解する上で、おそらく役立ちます。しかし、DP、デイビスパトナムアルゴリズムは、それを解決するためにCNFの多くの「サブCNF」を体系的に探索していると見ることもできます。

[1] 満足度のバックボーンとバックドア by Kilby et al

— vzn
ソース

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