PARITYを計算する回路の最小サイズはどれくらいですか？

入力変数からPARITYを計算するすべてのファンイン2 AND-OR-NOT回路のサイズは少なくとも$3(n-1)$あり、これは鋭いという古典的な結果です。（サイズをANDゲートとORゲートの数として定義します。）証明はゲート削除によるものであり、任意のファンインを許可すると失敗するようです。この場合、何が知られていますか？

具体的には、より大きなファンインが役立つ場合、つまり未満の$3(n-1)$ゲートが必要な場合の例を知っていますか？

10月18日更新。Marzioは、$n=3$場合、CNF形式のPARITYを使用すると$5$ゲートでも十分であることを示しました。これは、バインドの意味一般用N。もっと良くできますか？$\lfloor \frac 52 n \rfloor-2$$n$

2.33n + Cゲートのみを使用してパリティを計算することが可能です。構成は非常に簡単で、この記事で説明します。

http://link.springer.com/article/10.3103/S0027132215050083

12個のゲートのみを使用した6変数のパリティの回路の例を次に示します（各ゲートはANDゲートであり、ゲートの入力の近くの円は、この入力が反転することを意味します）。DNFブロックを積み重ねることによって構築される6変数のパリティの回路（マルツィオの上限のように）は13のゲートで構成されることに注意してください。

n = 2,3,4,5,6の場合、最適な回路のサイズは3,5,8,10,12であることを確認しました。これらの値は、2.33nの上限を与える回路のサイズでもあります。2.33nがnごとに最適な回路のサイズであるかどうかはまだわかりません。さらに、7つの変数のパリティに対する最適な回路のサイズがわかりません（14と15の2つの値があります）。

このゲート除去の下限は、マルツィオの上限と一致しませんが、開始点です。

命題：上のパリティを計算するすべての無限のファンインAND / OR / NOT回路の変数が少なくとも含まれている2 のn - 1つのANDやORゲートを。$n\ge2$$2n-1$

便宜上、ゲートのみがANDゲートであるモデルを使用しますが、否定ワイヤは許可します。n = 2にはゲートが必要であることが容易にわかります。したがって、Cがn > 2変数でパリティを計算する最小サイズの回路である場合、少なくとも1つを殺す1つの変数の制限を見つけることができます。 2つのゲート。$3$$n=2$$C$$n>2$

変数に少なくとも2つの正の親がある場合（つまり、否定されていないワイヤによって2つの異なるゲートに接続されている場合）、この変数を0に設定すると親が殺され、完了です。同様に、2つの負の親がある場合。したがって、各変数には最大で1つの正の親と最大で1つの負の親があると仮定できます。$x_i$$0$

してみましょう回路で最下位のゲートも。一般性を失うことなく、= X 1 ∧ X 2 ∧ ⋯。セットのx 1 = 0強制的に、= 0をし、それを殺します。制限回路C C '、no c jはx 2に依存しません。x 3、… 、x nへの割り当てがあった場合（x 1 = 0の上に）あるc j$a$$a=x_1\land x_2\land\cdots$$x_1=0$$a=0$まだ特にそれが依存する、パリティを計算し、X 2したがって、 X 2が負親有する B = ¬ X 2 ∧ C 1 ∧ ⋯ ∧ C Rを。に注意してください$C'$$x_2$$x_2$$b=\neg x_2\land c_1\land\dots\land c_r$$C'$$c_j$$x_2$$x_3,\dots,x_n$$x_1=0$$c_j$、それが計算しているという事実矛盾、偽、一定になり、この割り当てによって制限回路をまたは¬ Xを2。したがって、でC '、全てのC j個の計算定数1、及びBを計算¬ $x_2$$\neg x_2$$C'$$c_j$$1$$b$、それゆえ我々は一緒にそれを排除することができます。$\neg x_2$$a$

編集：として、私はこの、ユーリKombarovの論文から学んだ下限だけでなく、⌊ $2n-1$上位マルツィオ・デ・BIASIの答えによって暗黙結合すると、元々に証明されました$\lfloor\frac52n\rfloor-2$

[1] Ingo Wegener、無制限のファンイン、無制限の深さ回路におけるパリティ関数の複雑性、Theoretical Computer Science 85（1991）、no。1、pp。155–170。http://dx.doi.org/10.1016/0304-3975(91)90052-4

コメントを展開します。

1）ファンイン ANDゲートは、k − 1ファンイン2 ANDゲートでシミュレートできます（ORゲートにも同じことが言えます）。もしそうなら、私、私は ≥ 2は、ファンインゲートのあるグラム、私は次の関係が成り立つ必要があります。$k$$k-1$$I_i \geq 2$$g_i$

2）任意のファンを許可すると、範囲を超えることができます。たとえば、3つの変数（x 1、x 2、x 3）のパリティを考えます。次の回路は、任意の5つのファンインゲートのみで計算します。$3(n-1)$$(x_1,x_2,x_3)$

これは、Emilの議論が何を証明するかを示す拡張コメントです。 $5n/2$ bound. Here we can try to eliminate 3 gates with one variable or 5 gates with two variables.

If there is a literal with 3 parents, we can eliminate all 3 with one variable.

If two literals occur together in 2 different gates, together, we can apply the main argument from Emil's answer, again eliminating 3 gates with one variable.