回路の下限とコルモゴロフの複雑さ

次の理由を考慮してください。

してみましょう示すコルモゴロフ複雑性の文字列の。チャイティンの不完全性定理によると $K(x)$ $x$

一貫性があり十分に強い形式システム場合、定数（形式システムとその言語のみに依存）が存在するため、文字列、は証明できません。 $S$ $T$ $x$ $S$ $K(x) \geq T$

してみましょうのブール関数であるそのスペクトルのコルモゴロフ複雑性が最大である変数ST。してみましょうの回路の複雑さもすなわち、最小限の回路計算のサイズ、。 $f_n$ $n$ $k$ $S(f_n)$ $f_n$ $f_n$

の（大まかな）上限は、定数はであり、はビジービーバー関数です（可能な最大ステップは停止しますサイズ記述のあるチューリングマシンが実行できます）。（スペクトルのごとに、対応する真理値割り当ての最小項を構築し、これらすべての最小項のORを一緒に取ります。） $S(f_n)$

S (f_{n}) \leq c \cdot B B (k) \cdot n

$S(f_n)\leq c\cdot BB(k) \cdot n$

c

$c$

B B (k)

$BB(k)$

k

$k$

1

$1$

ここで、ブール関数無限ファミリーについて、が超線形サイズの回路を必要とするという正式な証明があるとします。 $L = \{f_n\}_{n}$ $L$

S ⊢ \forall n \geq n_{0}, g (n) \cdot n \leq S (f_{n})

$S \vdash \forall n \geq n_0, \ g(n)\cdot n \leq S(f_n)$ ここで。

g (n) \in ω (1)

$g(n)\in \omega(1)$

我々が取る場合はを十分に大きくなければ、私たちは持っているだろう $n$

g (n) > c \cdot B B (T)

$g(n) > c\cdot BB(T)$

特に、これはのスペクトルのコルモゴロフ複雑度が少なくともであることの証明になりますが、これは不可能です。 $f_n$ $T$

これは2つの質問につながります。

1）上記の推論には何か問題があるはずです。主に、超線形回路の下限が形式的に証明不可能になるためです。

2）下限の障壁を示す、つまり特定のタイプの（回路）下限が形式的に証明できないことを示す同様のアプローチを知っていますか？

— マグナス検索
ソース

興味深いアイデア。P =？NPへの障壁をスケッチするrazborov / rudichの証明と「自然の証明」にいくらか関連します（しかし、おそらく論文の例としてリストされている他の複雑さのクラス分離にも適用可能です）。バリアP =？NPおよびバリア/単調回路の複雑さも参照してください。複雑さのクラス分離は、構造が証明不可能な証明に似ているというヒントのようです。

— vzn

f_nの「スペクトル」について詳しく説明してください。「スペクトル」に言及せずに質問を表現する方法はありますか？

— vzn

関数を計算する最小のTM（状態テーブル/状態の意味で）を調べることにより、関数の複雑さを調べることができ、これが回路の下限にほぼ一致することはおそらく真実です。その最小のTMを見つけるのが本当に難しいというよりむしろ不可能であることを示すことができれば、そこに何かがあるかもしれません。ただし、回路の標準的な列挙またはTMを使用して最小のTMを見つけるのは「簡単」です。このアプローチがなぜ機能するかを熟考する場合、質問が問題につながらない理由を理解するのに役立つかもしれません。

— vzn

右。参照していただきありがとうございます。Natural Proofsペーパーについて知っています。「スペクトル」なしで質問を定式化できるかどうかはわかりません。「スペクトル」とは、シーケンス

(f (0, 0, . ., 0), f (0, 0, . ., 1), . ., f (1, 1, . ., 1))

$(f(0,0,..,0),f(0,0,..,1),..,f(1,1,..,1))$

— マグナス

回答:

あなたの議論には何の問題もありませんが、矛盾はありません。十分に大きいから、のスペクトルのコルモゴロフ複雑度は常に少なくともであることを証明します。しかし、この陳述は些細なことです！1つの文字列のコルモゴロフの複雑さが大きいことを証明することはできませんが、シーケンスがある場合は、ある時点から複雑な文字列のみが含まれている必要があります。それで、あなたが手に入れたこのは何ですか？それは満足しなければならない我々は計算することができない数は（理由のあるもの）ので、全く問題はありません。 $N$ $f_n$ $T$ $N$ $N>g^{-1}(c \cdot BB(T))$ $BB$

— domotorp
ソース

ありがとうございました。私は、Nの値を十分に大きく選択できると信じているというtrapに陥りましたが、あなたが指摘しているように、これは内では不可能であり、あなたが正しく指摘しているように、これは実際にすべての家族に当てはまります増加するシーケンス。

S

$S$

— マグナス

さらに簡単な問題のある状況があります。LET（辞書式順序で）最初の文字列であるように。そのような文字列はすべての存在することが証明されています。それから。 $A(k)$ $K(A(k)) \geq k$ $k$ $K(A(k)) \geq k$

犯人は、正式なシステムが計算できないことです。 $BB(T)$

編集：これは「より明示的な」問題のある状況です。してみましょうコルモゴロフ複雑ほとんどである文字列の最大長さ。確かに存在します。次に、。 $\alpha(k)$ $k$ $\alpha(k)$ $K(0^{\alpha(k)+1}) > k$

— ユヴァル・フィルマス
ソース

この状況に問題があるのはなぜですか？出力がA（k）で、その長さがkより小さいプログラムを指定しませんでした。

— domotorp

私はDomotorと同じ混乱を持っていますが、OPの推論の問題の1つは、正式なシステムが十分な上限を証明できないことです。

B B (k)

$BB(k)$

k

$k$

— サショニコロフ

（おそらく）元の質問と同じ意味で問題があります。

— ユヴァルフィルマス

まだわかりません。コルモゴロフの複雑さが大きいことを示す文字列と証拠はありません。複雑さが大きい文字列が存在するという証拠を示します。

— サショニコロフ

いろいろな点で問題があると思います。私がそれを読んだとき、あなたは証拠のない特定の本当の声明を指しています。私の質問でそれを説明しているように、それは証明できない何かの証拠を伴うことを指摘します。

— マグナス