NCのビッグバージョンとは何ですか？

は、効率的に並列化できるという考えを捉えており、その解釈の1つは、いくつかの定数、並列プロセッサを使用して、時間解ける問題です。私の質問は、時間がでプロセッサーの数がある類似の複雑度クラスがあるかどうかです。空欄の質問として： $\mathsf{NC}$ $O(\log^c n)$ $O(n^k)$ $c$ $k$ $n^c$ $2^{n^k}$

であるとして__である $\mathsf{NC}$ $\mathsf{P}$ $\mathsf{EXP}$

特に、多項式で区切られた次数を持つネットワークに指数関数的な数のコンピューターが配置されているモデルに興味があります（ネットワークが入力/問題から独立している、または少なくとも何らかの形で簡単に構築できる、または他の合理的な均一性の仮定があるとしましょう））。各タイムステップで：

すべてのコンピューターは、前のタイムステップで受信した多項式サイズのメッセージの多項式数を読み取ります。
すべてのコンピューターは、これらのメッセージに依存する可能性があるポリタイム計算を実行します。
すべてのコンピューターは、（polylengthの）メッセージをそれぞれの隣人に渡します。

この種のモデルに対応する複雑度クラスの名前は何ですか？そのような複雑なクラスについて読むのに適した場所は何ですか？そのようなクラスに完全な問題はありますか？

— アルテム・カズナチェフ
ソース

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— Artem Kaznatcheev

我々は

、

N C^{k} = A S p a c e T i m e (O (\log n), (\log n)^{k})

$NC^k = ASpaceTime(O(\log n), (\log n)^k)$

N C = A S p a c e T i m e (O (\log n), (\log n)^{O (1)})

$NC = ASpaceTime(O(\log n), (\log n)^{O(1)})$

、

。対応するクラスので、

のようなものかもしれない

P = T i m e (n^{O (1)})

$P = Time(n^{O(1)})$

E X P = T i m e (2^{n^{O (1)}})

$EXP = Time(2^{n^{O(1)}})$

N C^{k}

$NC^k$

、その後に対応するクラス

なり

。それは単なる代数的な操作であり、要件を満たしているかどうかは確認していませんが、3つの条件を満たしているが、指数関数的に多くのコンピューターを持たないと思います。そうでない場合は、その要件を削除する必要があると思います（詳細）

A S p a c e T i m e (n^{O (1)}, 2^{O (\log n)^{k}})

$ASpaceTime(n^{O(1)}, 2^{O(\log n)^k})$

N C

$NC$

A S p a c e T i m e (n^{O (1)}, 2^{(\log n)^{O (1)}})

$ASpaceTime(n^{O(1)}, 2^{(\log n)^{O(1)}})$

— Kaveh

得られたクラスが含まれています

と類似のように保持しています

。

E X P

$EXP$

N C \subseteq P

$NC \subseteq P$

— カヴェー

あなたが得たところ、私は理解していない

とスペースの複雑さを。私の知る限りでは

多項式多くのゲートを可能にします。私たちはあなたのアナログのラインに沿って移動したいならば、我々は見ておくべきである

と

とし、私が探しています複雑性クラスは何かであります以下のような

l o g n

$log n$

N C

$NC$

N C

$NC$

P T / W K (l o g^{c} n, n^{k}) / p o l y

$PT/WK(log^c n,n^k)/poly$

。しかし、私はこれよりも優れた特性があることを望んでいました。

P T / W K (n^{c}, 2^{n^{k}}) / p o l y

$PT/WK(n^c ,2^{n^k})/poly$

— アルテムKaznatcheev

それは標準です（Complexity Zooにはありませんが）。たとえば、Ruzzo、「On Uniform Circuit Complex」、1981年を確認してください。また、均一なクラスで作業する必要があると思います。制限付きファンインと深さ

を使用する場合、これは3つの条件を満たし

。そして、私が言ったように、指数関数的に多くのノードがある場合、類推は成り立ちません。また、並列計算の主な特性は時間の節約です。たとえば、

場合はポリログ時間です。準多項式時間はポリログ時間に対応すると思います。

\log n

$\log n$

N C

$NC$

— カヴェー

回答:

あなたが探しているクラスはだと思います。もしあるとしの要件を適合プロセッサ。 $PSPACE$ $exp(n^k) = 2^{O(n^k)}$

すべてのコンピューターは、前のタイムステップで受信した多項式サイズのメッセージの多項式数を読み取ります。

すべてのコンピューターは、これらのメッセージに依存する可能性があるポリタイム計算を実行します。

すべてのコンピューターは、（polylengthの）メッセージをそれぞれの隣人に渡します。

$poly(n)$ $exp(n^k)$

$O(\log n)$ $poly(n)$ $exp(n^k)$ $PSPACE$

— ライアン・ウィリアムズ
ソース

ライアン、指数関数的な数のコンピューターを多項式的に多くのレイヤーに配置する方法については心配していませんが、深さが指数関数的になる可能性がありますが、これが可能になる理由をもう少し説明できますか？また、ファンイン2回路としての任意の与えられた機能のCNF回路の些細な構成が要件を満たしているように思えますが、何かが足りませんか？

— カヴェー

@Kaveh：最初の質問がわかりません。2番目については、どの関数にも指数サイズのdepth-2回路がありますが、NC（poly）では、回路を均一に生成できる必要があるため、入力サイズごとに任意の回路を作成できません。

— ロビンコタリ

@ロビン、ありがとう。おそらく私は物事を混乱させています。（PSpaceに対応する回路の深さは指数関数的である必要があると感じています。また、LがPに似ているのでPSpaceはEXPだと思うので、LがNCに置き換えられたときに同じことを言っているのは奇妙です、私たちはクラスです面倒はPSpaceとEXPの間でなければなりません。）ここで何が起こっているのかを理解するためにもう少し考えなければなりません。

— カヴェー

@Kaveh、レイヤーの数（つまり深さ）を指数関数に割り当てたため、定義により深さを指数関数にすることはできません。指数関数的に多くのプロセッサーが存在するため、CNFは指数関数的なファンインを必要とし、条件の1つに違反します。PSPACEに対応する指数サイズの回路の深さは多項式です。これが当てはまる理由、および両方のアナロジーがある意味で「有効」である理由（「PSPACEはEXPに対してLはPに対して」、「PSPACEはEXPに対してはNCはPに対して」）は、PSPACE = Alternating Polynomial時間。L =交互の対数時間（これはNC1です）かどうかはわかりません。

— ライアンウィリアムズ

あなたとロビンのコメントを読んだ後、状況をよく理解できたと思います、ありがとう。

— カヴェー

ライアンが言うように、このクラスはPSPACEです。このクラスは、文献ではしばしばNC（poly）と呼ばれます。以下は、QIP = PSPACE論文からの直接引用です。

NCのスケールアップされたバリアントを検討します。これは、多項式の深さを持つブール回路の多項式空間の均一なファミリによって計算可能なすべての関数で構成される複雑度クラスNC（poly）です。（表記法NC（2 ^poly）もこのクラスに以前使用されていました[11]。）決定問題については、NC（poly）= PSPACE [10]であることが知られています。

[10] A.ボロディン。時間と空間をサイズと深さに関連付けることについて。SIAM Journal on Computing、6：733– 744、1977。

[11] A.ボロディン、S。クック、およびN.ピッペンガー。恵まれたリングと空間に制限のある確率的機械の並列計算。情報とコントロール、58：113–136、1983。

これを確認する1つの方法は、両方のインクルージョンを直接証明することです。NC（poly）がPSPACEにあることを確認するには、最終ゲートの出力を再帰的に計算できることに注意してください。また、必要なのは、多項式である回路の深さに等しいサイズのスタックのみです。PSPACEがNC（poly）にあることを示すために、PSPACE完全なQBFは通常の方法で指数関数的に多くのゲートを持つ多項式深度回路として記述できることに注意してください-存在する量指定子はORゲート、forall量指定子ですANDゲートです。多項式には多くの量指定子しかないため、これは多項式深度回路です。

— ロビン・コタリ
ソース