タグ付けされた質問 「circuit-complexity」

回路の複雑さは、リソースに制限された回路と、そのような回路によって計算される機能の研究です。

3
固定深度の特性？
これは、回路の複雑さに関する質問です。（定義は下部にあります。） YaoとBeigel-Tarui は、サイズsのすべての回路ファミリーが、深さ2のサイズs p o l y （log s ）の等価回路ファミリーを持つことを示しました。ここで、出力ゲートは対称関数であり、第2レベルはp o l y （log s ）のA N DゲートのACC0ACC0ACC^0sssspoly(logs)spoly(log⁡s)s^{poly(\log s)}ANDANDANDpoly(logs)poly(log⁡s)poly(\log s)ファンイン。これは、回路ファミリのかなり注目すべき「深さの崩壊」です。深さ100の回路から、深さを2に減らすことができます。 私の質問：回路ファミリを同様に表現する既知の方法はありますか？もっと野心的に、N C 1回路ファミリはどうですか？潜在的な答えは次の形式になります。「サイズsのすべてのT C 0回路は、サイズf （s ）の深さ2ファミリによって認識できます。出力ゲートはタイプXの関数であり、ゲートの第2レベルはタイプY」。TC0TC0TC^0NC1NC1NC^1TC0TC0TC^0sssf(s)f(s)f(s)XXXYYY それはありません持っている深さ-2であることを、固定の深さの結果の任意の並べ替えは、興味深いものになるだろう。すべての回路が深さ3で対称関数ゲートのみで構成される回路で表現できることを証明することは非常に興味深いでしょう。TC0TC0TC^0 いくつかの小さな観察： 場合答えはのために自明である任意の（我々がどのような機能を発現することができるブール関数O Rの2 N A N D S）。具体的には、f （n ）= 2 n o （1 ）を要求します。f(n)=2nf(n)=2nf(n)=2^nOROROR2n2n2^n ANDANDANDf(n)=2no(1)f(n)=2no(1)f(n) = 2^{n^{o(1)}} またはYのいずれかがT C 0で計算可能な任意の関数として許可されている場合も、答えは簡単です。:)これが何であれ、明らかに「単純な」関数に興味があります。計算できない対称関数ファミリがあるため、定義するのは少し滑りやすいです。（計算できない単項言語があります。）必要に応じて、ステートメント内のXおよびYを対称関数に単純に置き換えることができますが、他の適切なゲートの選択に興味があります。XXXYYYTC0TC0TC^0XXXYYY （表記の簡単な思い出： …
3
任意のゲートセット上の回路下限
1980年代、Razborovは、計算に指数関数的に多くのANDおよびORゲートを必要とする明示的な単調なブール関数（CLIQUE関数など）があることを有名に示しました。ただし、ブールドメイン{0,1}の基底{AND、OR}は、普遍的ではない興味深いゲートセットの一例にすぎません。これは私の質問につながります： 興味深いことに、モノトーンゲートとは異なる、ゲートサイズの指数関数的な下限が知られているゲートのセットはありますか（回路に深さや他の制限はありません）。そうでない場合、そのような下限の妥当な候補であるゲートのセットはありますか？Razborovの単調な回路の結果がそうでなかったように、必ずしもNatural Proofsバリアを突破する必要がない境界はありますか？ このようなゲートセットが存在する場合、k≥3の場合、k-aryアルファベットを超えます。その理由は、バイナリアルファベット上で、 （1）モノトーンゲート（{AND、OR}）、 （2）線形ゲート（{NOT、XOR}）、および （3）ユニバーサルゲート（{AND、OR、NOT}） Postの分類定理から次のように、基本的に興味深い可能性を使い果たします。（定数-バイナリの場合は0および1-は常に無料で利用できると仮定していることに注意してください。）線形ゲートでは、すべてのブール関数f：{0,1} n →{0,1}計算可能は、線形サイズの回路で計算可能です。もちろん、普遍的なセットで、私たちは自然な証明と他の恐ろしい障壁に立ち向かっています。 一方、3シンボルまたは4シンボルアルファベット（たとえば）を超えるゲートセットを考慮すると、より幅広い可能性のセットが開かれます-少なくとも私の知る限り、それらの可能性は完全にマップされたことはありません複雑性理論の観点から（私が間違っている場合は修正してください）。可能性のあるゲートセットは、普遍代数の「クローン」の名前で広く研究されていることを知っています。その分野の結果が回路の複雑性に何を意味するのかを知っているように、私はその文献にもっと精通していたらと思います。 いずれにせよ、ゲートセットのクラスを単純に検討したい有限のアルファベットに拡張すれば、証明に適した他の劇的な回路下限が存在することは問題のようには見えません。私が間違っている場合、理由を教えてください！
3
mod_mゲートが興味深いのはなぜですか？
ライアン・ウィリアムズは、すべての可能なmについて、アンバウンドのファンインとゲートAND、OR、NOT、およびMOD_mを使用して一定の深さの回路を持つ問題のクラスであるACCに下限を投稿しました。 MOD_mゲートの特別な点は何ですか？ これにより、任意のリングZ_mで算術をシミュレートできます。 ライアンの結果の前に、MOD_mゲートをミックスにスローすると、既知の下限が機能しなかった最初のクラスが得られました。 MOD_mゲートを研究する他の自然な理由はありますか？
5
1つの整数が固定されている場合の整数の乗算
ましょ大きさの固定された正の整数であるビット。nAAAnnn 必要に応じて、この整数を前処理できます。 サイズビットの別の正の整数が与えられた場合、乗算複雑さは？m A BBBBmmmABABAB すでにアルゴリズムがあることに注意してください。ここでのクエリは、巧妙なもので\ epsilon = 0を取ることができるかどうかです。 ϵ = 0(max(n,m))1+ϵ(max(n,m))1+ϵ(\max(n,m))^{1+\epsilon}ϵ=0ϵ=0\epsilon=0
2
ブール複雑度へのコホモロジーアプローチ
数年前、（論文を参照してくださいグロタンディークのコホモロジーに下部回路境界を関係ジョエル・フリードマンによっていくつかの作業があった：http://arxiv.org/abs/cs/0512008、http://arxiv.org/abs/cs/0604024）。この考え方は、ブールの複雑さに関する新しい洞察をもたらしましたか、それともむしろ数学的な好奇心のままですか？
3
されている
ここで他のユーザーにとって興味深いかもしれないので、この質問を共有すると思いました。 均一なクラス（）にある関数は、小さな不均一なクラス（、つまり不均一な）にもあり、これは関数がより小さい均一なクラス（ような）？この質問に対する答えが肯定的な場合、を含む最小の均一複雑度クラスは何ですか？負の場合、興味深い自然な反例を見つけることができますか？A C 0 / P O LのY A C 0 P N P ∩ A C 0 / P O LのYNPNPNPAC0/polyAC0/polyAC^0/polyAC0AC0AC^0PPPNP∩AC0/polyNP∩AC0/polyNP \cap AC^0/poly あるAC0/poly∩NPAC0/poly∩NPAC^0/poly \cap NP中に含まれるPPP？ 注：友人は既に私の質問にオフラインで部分的に回答しています。彼が自分で追加しない場合、彼の回答を追加します。 この質問は、次の非公式の質問を形式化する2回目の試みです。 不均一性は、自然な均一問題の計算に役立ちますか？ 関連： 自然な問題の候補はありP/poly−PP/poly−PP/poly−Pますか？
1
AND ORゲートとXORゲートを備えた境界深さ回路で記述されたフーリエ係数ブール関数
してみましょうブール関数であるとののから関数としてFについて考えてみましょうに。この言語では、fのフーリエ展開は、単に平方自由単項式に関するfの展開です。（これらの単項式は、の実関数の空間の基礎を形成します。係数の2乗和は単純にため、は2乗のない単項式の確率分布になります。この分布をF分布と呼びましょう。fff{−1,1}n{−1,1}n\{-1,1\}^n{−1,1}{−1,1}\{ -1,1 \}2n2n2^n{−1,1}n{−1,1}n\{-1,1\}^n111fff fが多項式サイズの有界深度回路によって記述できる場合、F分布はサイズの単項式にほぼ指数関数的に小さい重みに集中していることが、Linial、Mansour、およびNisanの定理によってわかり。これは、Hastadスイッチング補題から派生しています。（直接的な証明が最も望ましいでしょう。）polylog npolylog n\text{polylog } n mod 2ゲートを追加するとどうなりますか？考慮すべき一つの例は、関数であるに最初のn個の変数と最後のn個の変数のMOD 2内積として記載される変数。ここで、F分布は均一です。IP2nIP2nIP_{2n}2n2n2n 質問：ブール関数のF分布は、境界のある深さの多項式サイズAND、OR、MOD回路によって記述され、 「レベル」に集中しますか（超多項式的に小さな誤差まで）？22_2o(n)o(n)o(n) 備考： 反例への可能性のあるパスの1つは、バラバラの変数セットにさまざまなIPを「何らかの方法で接着」することですが、その方法はわかりません。おそらく質問を弱め、変数にいくつかの重みを割り当てることを許可する必要がありますが、それを行うための明確な方法も見当たりません。（したがって、これら2つの事項を参照することも、私が尋ねていることの一部です。）2k2k_2k modゲートを許可する場合にも、質問（または成功したバリエーション）に対する肯定的な答えが適用されると推測します。（それで、質問をすることは、ライアン・ウィリアムズの最近の印象的なACC結果によって動機づけられました。） kk_k MAJORITYの場合、F分布は「レベル」ごとに大きくなります（1 / poly）。 Lucaが示すように、私が尋ねた質問に対する答えは「いいえ」です。残る問題は、AND ORで記述できるブール関数のF分布のプロパティを見つける方法と、MAJORITYで共有されないmod 2ゲートを見つける方法を提案することです。 MONOTONE関数について説明することにより、質問を保存する試み： 質問：MONOTONEブール関数のF分布は、境界のある深さの多項式サイズAND、OR、MOD回路で記述され、 「レベル」に集中しますか（超多項式的に小さな誤差まで）？22_2o(n)o(n)o(n) を置き換えることもできるのではないかと推測するかもしれないので、この強力なバージョンの反例は興味深いかもしれません。 o(n)o(n)o(n)polylog(n)polylog(n)\text{polylog} (n)
2
が線形サイズの回路を持っているというコルモゴロフの推測
Stasys Juknaは、著書のBoolean Function Complexityで、Pのすべての言語には線形サイズの回路があるとコルモゴロフが信じていると述べています（564ページ）。言及はなく、オンラインでは何も見つかりませんでした。誰もこれについてもっと知っていますか？
3
単調量子回路の概念
計算の複雑さでは、単調計算と一般計算の間に重要な区別があり、Razborovの有名な定理は、3-SATおよびMATCHINGは単調なブール回路モデルの多項式ではないと主張します。 私の質問は簡単です：単調な回路（または複数）の量子アナログはありますか？量子ラズボロフの定理はありますか？
1
特定の
入力ビットと出力ビットの回路が順列を計算するかどうかを決定する複雑さは何ですか？言い換えると、すべてのビット文字列 が、何らかの入力に対する回路の出力であるかどうかです。調査された問題のように見えますが、参考文献が見つかりません。N C0NC0\mathsf{NC}^0nnnnnn{ 0 、1 }n{0、1}n\{0,1\}^n{ 0 、1 }n{0、1}n\{0,1\}^n
3
自然な証明と幾何学的な複雑さにおける建設性
最近、Ryan Willamsは、複雑性クラスの分離を引き出すために、自然証明の構成性が避けられないことを証明しました：と。 N E X PNEバツP\mathsf{NEXP}T C0TC0\mathsf{TC}^{0} Natural Proofの構成性は、回路の複雑さのすべての組み合わせの証明が満たす条件であり、（または別の「ハード」複雑度クラス）のターゲット関数が実行するアルゴリズムによって「ハード」プロパティを持つかどうかを決定できますターゲット関数の真理値表の長さのポリタイムで。N E X PNEバツP\mathsf{NEXP} 他の2つの条件は、「ハード」プロパティを必要とする役に立たない条件は、のどの回路でも計算できないことと、ハードプロパティが見つけやすい大きな条件です。T C0TC0\mathsf{TC}^0 私の質問は： この結果は、幾何学的複雑性理論（GCT）を使用して、 vs、 vs、または vs？PP\mathsf{P}N PNP\mathsf{NP}PP\mathsf{P}N CNC\mathsf{NC}N E X PNEバツP\mathsf{NEXP}T C0TC0\mathsf{TC}^0 参照： ライアン・ウィリアムズ、「自然の証明とデランダム化」
2
AC0関数の数式サイズの下限
質問： AC 0の明示的な関数の最もよく知られている式サイズの下限は何ですか？下限を持つ明示的な関数はありますか？Ω （n 2）Ω(n2)\Omega(n^2) バックグラウンド： ほとんどの下限と同様に、式のサイズの下限を達成するのは困難です。標準の汎用ゲートセット{AND、OR、NOT}の式サイズの下限に興味があります。 このゲートセット上の明示的な関数の最もよく知られている式のサイズの下限は、Andreevによって定義された関数のです。この境界はHåstadによって示され、アンドリーエフのの下限を改善しました。別の明示的な下限は、パリティ関数のKhrapchenkoの下限です。Ω （n 3 − o （1 ））Ω （n 2.5 − o （1 ））Ω （n 2）Ω(n3−o(1))\Omega(n^{3-o(1)})Ω(n2.5−o(1))\Omega(n^{2.5-o(1)})Ω(n2)\Omega(n^2) ただし、これら2つの関数はAC 0ではありません。二次（またはそれ以上）の下限を持つAC 0の明示的な関数を知っているのだろうかと思います。Nechiporukが示すように、私が知っている最良の範囲は、要素の区別関数の下限です。要素の区別関数はAC 0にあるため、\ Omega（n ^ 2 / \ log n）、好ましくは\ Omega（n ^ 2）よりも優れた明示的なAC 0関数の下限を探しています。。Ω （n 2 / log n ）Ω(n2/logn)\Omega(n^2/\log n)Ω （n 2 / log n ）Ω …
4
超線形回路限界が知られている「最小」複雑度クラスとは何ですか？
確かに多くの標準的な参考文献に含まれている必要がある質問をすることをおologiesびします。私はタイトルの質問に正確に興味があります。特に、深さの制限がないブール回路を考えています。私は引用符で「最小」を入れて、お互いを含むことが知られていない複数の異なるクラスが存在する可能性を考慮して、超線形境界が知られています。
1
近似度
編集（v2）：問題について知っていることに関するセクションを最後に追加しました。 編集（v3）：最後にしきい値の程度に関する説明を追加しました。 質問 この質問は主に参照リクエストです。私は問題についてあまり知りません。この問題に関する以前の研究があるかどうか知りたいのですが、もしそうなら、誰かがこの問題について話している論文を教えてくれますか？また、の近似次数の現在の最適な境界を知りたいです。他の情報（たとえば、履歴情報、動機、他の問題との関係など）も高く評価されます。AC0AC0\textrm{AC}^0 定義 してみましょうなるブール関数。してみましょう変数上の多項式ことに実係数で。多項式の次数は、すべての単項式の最大次数です。単項式の次数は、その単項式に現れるさまざまな指数の合計です。たとえば、です。、P 、X 1 、X N 、X I 度（X 7 1 X 2 3）= 9f:{0,1}n→{0,1}f:{0,1}n→{0,1}f:\{0,1\}^n \to \{0,1\}pppx1x1x_1xnxnx_nxixix_ideg(x71x23)=9deg(x17x32)=9\textrm{deg}(x_1^7x_3^2) = 9 すべてのについて場合、多項式は -approximateと呼ばれます。ブール関数の近似次数は、として表され、 -approximate多項式の最小次数です。関数のセットについて、、最小の次数である内のすべての関数ようにすることができϵ f | f （x ）− p （x ）| &lt; ε X ε F 〜度 ε（F ）ε F F 〜度 ε（F ）D F εpppϵϵ\epsilonfff|f(x)−p(x)|&lt;ϵ|f(x)−p(x)|&lt;ϵ|f(x)-p(x)|<\epsilonxxxϵϵ\epsilonfffdeg〜ϵ（f）deg~ϵ(f)\widetilde{\textrm{deg}}_{\epsilon}(f)ϵϵ\epsilonfffFFFdeg〜ϵ（F）deg~ϵ(F)\widetilde{\textrm{deg}}_{\epsilon}(F)dddFFFϵϵ\epsilon高々度の多項式で-approximatedddd。 すべての関数は次数多項式でエラーなしで表現できることに注意してください。一部の関数には実際に次数が必要ですnnnnnnn、定数誤差に近似するために多項式です。パリティはそのような関数の例です。 …
1
なぜハミルトニアンサイクルはパーマネントとそれほど違うのですか？
多項式f(x1,…,xn)f(x1,…,xn)f(x_1,\ldots,x_n)は、m = poly （n ）の場合、多項式g （y 1、… 、y m）の単調な投影であり、代入 πがあります：{ y 1、… 、Y 、M } → { X 1、... 、X nは、0 、1g(y1,…,ym)g(y1,…,ym)g(y_1,\ldots,y_m)mmm(n)(n)(n)π:{y1,…,ym}→{x1,…,xn,0,1}π:{y1,…,ym}→{x1,…,xn,0,1}\pi:\{y_1,\ldots,y_m\}\to\{x_1,\ldots,x_n, 0,1\} ようにf(x1,…,xn)=g(π(y1),…,π(ym))f(x1,…,xn)=g(π(y1),…,π(ym))f(x_1,\ldots,x_n)=g(\pi(y_1),\ldots,\pi(y_m))。つまり、結果の多項式が fと一致するように、 gの各変数yjyjy_jを変数 x iまたは定数 0または 1で置き換えることができます。 gggxixix_i000111fff 永久多項式PERとハミルトニアンサイクル多項式HAMの違い（理由）に興味があります： PERn(x)=∑h∏i=1nxi,h(i) and HAMn(x)=∑h∏i=1nxi,h(i)PERn(x)=∑h∏i=1nxi,h(i) and HAMn(x)=∑h∏i=1nxi,h(i) \mbox{PER}_n(x)=\sum_{h}\prod_{i=1}^{n}x_{i,h(i)}\ \ \ \ \mbox{and} \ \ \ \ \mbox{HAM}_n(x)=\sum_{h}\prod_{i=1}^{n}x_{i,h(i)} ここで、最初の合計はすべての順列hに対するもの です：[であり、2番目はすべての循環順列 hのみです：[ …
弊社のサイトを使用することにより、あなたは弊社のクッキーポリシーおよびプライバシーポリシーを読み、理解したものとみなされます。
Licensed under cc by-sa 3.0 with attribution required.