単調量子回路の概念

計算の複雑さでは、単調計算と一般計算の間に重要な区別があり、Razborovの有名な定理は、3-SATおよびMATCHINGは単調なブール回路モデルの多項式ではないと主張します。

私の質問は簡単です：単調な回路（または複数）の量子アナログはありますか？量子ラズボロフの定理はありますか？

あなたは本当に2つの異なる質問をし、両方に答える単一の応答があることを望んでいます：（1）量子モノトーン回路の自然な概念は何ですか？（2）格子ベースのRazborovスタイルの量子結果はどのようになりますか？

両方を同時に達成する方法は明らかではないため、量子単調回路の合理的な概念と思われるものを説明します（対応するRazborovの結果があるかどうかを示すことはありません）。 「自然な」量子ラズボロフ予想がどのように見えるか（それが本当かどうかを示すことなく）。

量子から欲しいもの

コメントで述べたように、単調な回路の概念を統一の型に絞ろうとする必要はないと思います。それは、時間とともに進化は、標準的な基盤を維持、または結果が絡まることのできる測定の複数の拠点が存在するという事実にする必要はないという事実であるかどうか、私は考えて必須要件非量子計算のは事実であります標準ベースだけがベースではありません。製品の状態の中でも、一部の実装では、参照フレームの選択によってのみ定義されます。

私たちがしなければならないことは、伝統的な特権のある場所から標準的な基礎を取り除くような方法で物事を考えることです。この場合、単調性の意味のある概念を保持しながら、可能な限り。

量子単調回路の簡単なモデル

「モノトーン量子チャネル」に関する伊藤剛のコメントに暗示されている回路モデルを考えてみてください（ユニタリ進化に限定されない「回路」の概念が必要な場合は、ほとんど何をしなければなりませんか）。

してみましょうのエルミート演算子のスペースも（それは、1つの量子ビット上のすべての密度演算子が含まれていること）。量子モノトーンゲートをどのように定義しますか、2つの入力キュービットから出力キュービット、事実上古典的ではないような方法でモノトーンゲート？出力を制限すべきではないと言うのは簡単だと思いますまたは、またはそれらの混合物。「モノトーン」であるためには、および C$\mathbf H$$\mathbb C^2$ A 、BのC | 0 $\mathsf G: \mathbf H_a \otimes \mathbf H_b \to \mathbf H_c$$a,b$$c$| 1 $|0\rangle\!\langle 0|$⟨ 1 $|1\rangle\!\langle 1|$⟨1$\langle 1 | \,\mathop{\mathrm{Tr}_a}\bigl(\rho_{ab}\bigr) |1\rangle$⟨1| G（ρ B）| 1⟩$\langle 1 | \,\mathop{\mathrm{Tr}_b}\bigl(\rho_{ab}\bigr) |1\rangle$増加、値は非減少でなければなりません。2入力キュービットゲートの場合、これはが原則として次のように実装可能でなければならないことを意味します。$\langle 1 | \mathsf G(\rho_{ab}) | 1 \rangle$$\mathsf G$

1. 正規直交基底に関する2キュービット測定の実行、ここでハミング重み1の部分空間にまたがる| μ ⟩ 、| ν $\{ |00\rangle, |\mu\rangle, |\nu\rangle, |11\rangle \}$$|\mu\rangle,|\nu\rangle$

2. 出力として、測定した結果に対応する状態を出力しますそれぞれについて。$\rho \in \{ \rho_{00}, \rho_\mu, \rho_\nu, \rho_{11} \}$$\langle 1 | \rho_{00} | 1 \rangle \leqslant \langle 1 | \rho_\lambda | 1 \rangle \leqslant \langle 1 | \rho_{11} | 1 \rangle$$\lambda \in \{ \mu, \nu \}$

回路は、これらの賢明な構成にすぎません。およびを単一に埋め込む回路の形式で、ファンアウトを許可することもできます。少なくともこれらのマップを入力で許可し、各（名目上古典的な）入力ビットをコピーできるようにする必要があります。$|0\rangle \mapsto |00\cdots 0\rangle$$|1\rangle \mapsto |11\cdots 1\rangle$

そのようなゲートの連続体全体を考慮するか、そのようなゲートの有限コレクションに制限することは合理的であると思われます。どの選択でも、回路に対して異なる「量子単調ゲートの基礎」が生じます。さまざまなモノトーンベースの特性を考慮することができます。状態は、単調性の制約に従って完全に独立して選択できます。を設定することは間違いなく興味深い（そしておそらくエラーを制限するのに実用的です）および、理論上これを要求する理由はないが。明らかにANDとORはこのタイプのゲートです。そして$\rho_{00}, \rho_\mu, \rho_\nu, \rho_{11}$$\rho_{00} = |0\rangle\!\langle 0|$$\rho_{11} = |1\rangle\!\langle 1|$$\rho_\mu = \rho_\nu = |0\rangle\!\langle 0|$$\rho_\mu = \rho_\nu = |1\rangle\!\langle 1|$それぞれ、またはを選択するものは何でも。$|\mu\rangle$$|\nu\rangle$

任意の定数についてのk、1も含むゲート拠点考えるかもしれませんK -input-1出力ゲートを。この場合の最も簡単な方法は、おそらくゲートできるようにするであろう部分空間のいずれかの分解可能、上記のように実装されてもよい各ハミング重みの、および それぞれ$\mathsf G: \mathbf H^{\otimes k} \to \mathbf H$$\mathcal V_w \leqslant \mathcal H_2^{\otimes k}$$0 \leqslant w \leqslant k$

$$\max_{|\psi\rangle \in \mathcal V_w}\;\langle 1 | \,\mathsf G\Bigl( |\psi\rangle\!\langle\psi| \Bigr)\, |1\rangle \;\;\leqslant\;\; \min_{|\psi\rangle \in \mathcal V_{w+1}}\;\langle 1 | \,\mathsf G\Bigl( |\psi\rangle\!\langle\psi| \Bigr)\, |1\rangle$$ $0 \leqslant w < k$。これによりどの程度の計算能力が得られるかは明らかではありません（従来の場合でも）。

そのような回路について古典的な場合を超えて興味深いことがあるかどうかはわかりませんが、これは「量子単調回路」の最も有望な定義のようです。

ラズボロフの結果の量子バリアント

考えてみましょうティムGowersによる博覧会の結果のアロン＆Boppana（1987）、Combinatorica 7頁1-22 Razborovの結果を強化（と彼のテクニックを明示的にいくつか作る）CLIQUEの単調複雑さのために。Gowersは、これを「半空間」から集合のファミリーの再帰的構築の観点から提示します各ブールキューブ。QuantumLovászLocal Lemmaと同様に、ベースセットの標準基底の特権位置を削除すると、部分空間を考慮することができ

$$E_j = \Bigl\{ \mathbf x \in \{0,1\}^n \;:\; x_j = 1 \Bigr\}$$ $1 \leqslant j \leqslant n$$\mathcal H_2^{\otimes n}$測定から生じる可能性のあるバイナリ命題（状態が部分空間に属するか、代わりにそれに直交するか）に対応する。たとえば、部分空間、与えられ 部分空間の結合と分離の量子論理的類似物 を許可します。 $n$$\mathcal A_j \leqslant \mathcal H_2^{\otimes n}$ $$\begin{align*} \mathcal A_j = U_j \mathcal E_j \;, & \text{ for each $1 \leqslant j \leqslant n$} \\ \text{where } &\mathcal E_j := \Bigl\{ | \mathbf x \rangle \;:\; \mathbf x \in E_j \Bigr\} ; \\ &U_j : \mathcal H_2^{\otimes n} \to \mathcal H_2^{\otimes n} \text{ a unitary of bounded complexity}. \end{align*}$$ $$\begin{gather*} \mathcal A \wedge \mathcal B = \mathcal A \cap \mathcal B ; \\ \mathcal A \vee \mathcal B = \mathcal A + \mathcal B = \Bigl\{ \mathbf a + \mathbf b \,:\, \mathbf a \in \mathcal A\;,\; \mathbf b \in \mathcal B \Bigr\} . \end{gather*}$$ 我々は、次に、スペースの接続詞および選言の再帰的構造は、空間得るために必要とされるどのくらい尋ねるプロジェクタように、へのプロジェクタから僅かしか相違サイズクリークを持つグラフの指標関数がまたがる空間へ。たとえば、$C$$\Pi_C$$C$$\Pi_{K(r)}$$r$$\| \Pi_C - \Pi_{K(r)} \|_\infty <\; 1/\mathrm{poly}(n)$。単調な部分は量子論理演算に関与し、入力に関する原始命題も同様に量子です。

一般的な場合、これを計算上の問題として扱うことには問題があります：分離は、および通勤用プロジェクターの画像でない限り、のみ。この一般的な問題は、幾何学的-組み合わせ論的複雑性に関する興味深い結果として依然として扱うことができ、フラストレーションのあるローカルハミルトニアンに関連する結果を引き起こす可能性があります。ただし、サブのみを要求する方が自然かもしれません$\mathcal A$$\mathcal B$$\mathcal A_j$通勤プロジェクターから生じます。その場合、分離はそれらのプロジェクターの測定結果の単なる古典的なORです。次に、ユニタリすべて同じであることが必要になる場合があります。これは、単調な古典的後処理（これらのイベントに対して論理演算を実行する）を持つユニタリ回路（「プリミティブイベント」を引き起こす）に関する問題になります。$U_j$

また、スペースにこれ以上制限を課さない場合、標準基底状態にまたがるいくつかのスペースと非常に高いオーバーラップを持つサブスペースである可能性があることに注意してください。バイナリ文字列です。$\mathcal A_j$$\mathcal E_k^\bot$$\mathbf x \in \bar E_k$$x_k = 0$

• この可能性は、あなたがうるさいことができる場合は、必ずしも必要とすることができ、その任意の分離の角度有する少なくともの（したがって、原始部分空間は、最悪の場合、ビットの1つが1に設定されている部分空間からほぼ不偏になります）。$\mathcal A_j$$\mathcal E_k^\bot$$\frac{\pi}{2} - 1/\mathrm{poly}(n)$

• このような制限を課さない場合、とのオーバーラップが大きい部分空間を認めることは、とにかくCLIQUE（r）を近似することの障害になると思われます。特定のエッジの不在を（その存在ではなく）考慮することを多かれ少なかれ制限するか、エッジの1つを完全に無視することを余儀なくされます。したがって、制限を課すことはそれほど重要ではないと思います。、「単純な量子命題からCLIQUEを単調に評価する方法を検討することを目標とする場合、すべてがプロジェクタの通勤セットの画像である可能性があります」 「。最悪の場合、古典的に入力でNOTゲートを許可することになります（そして、否定の後にすべてのファンアウトが発生します）。$\mathcal E_k^\bot$$\mathcal A_j$

繰り返しますが、ベースセットを任意のサブで置き換えると、単にサブを使用するよりも興味深い問題が生じるかどうかはわかりません。ただし、CNF式の場合（通勤または非通勤の場合）に限定すると、得られる結果は、基底状態多様体が標準基底からなるフラストレーションのないハミルトニアンの複雑さの概念に対応します。クリークを表す状態。$\mathcal H_2^{\otimes n}$$\mathcal E_j$

ロビンと剛のコメントから明らかなように、モノトーン回路の概念は量子回路に簡単に拡張できるようです。

量子単調回路の意味のある定義を得るには、単調性が定義されている量子状態の順序を選択する必要があります。古典的に合理的なオプション（および単調回路の通常の概念につながるオプション）は、ハミングの重みですが、任意の関数によって与えられる順序付けを考えてみましょう。$f$

閉じた量子系の進化はユニタリであるため（これはによって与えられると仮定できます）、すべての状態に対してであるがような代替状態が存在する、したがって進化は単調ではありません。$U$$|\psi\rangle$$f(U|\psi\rangle)>f(|\psi\rangle)$$|\phi\rangle$$f(|\phi\rangle) > f(|\psi\rangle)$$f(U|\psi\rangle)>f(U|\phi\rangle)$$U$

従ってに対して単調にのみ回路、それらであるすべてについて。したがって、に関して単調であるゲートセットは、と交換するゲートで構成されます。$f$$f(U|\psi\rangle)=f(|\psi\rangle)$$|\psi\rangle$$f$$f$

明らかに、これを満たすことができるゲートのセットはの定義に依存します。場合一定で、その後、すべてのゲートのセットが、それに関して単調です。ただし、計算ベースでハミング状態の重みとしてを選択すると（古典的なケースで使用される多少自然な拡張）、興味深い構造が得られます。課される制限により、ハミングの重みは変更されないことが要求されます。この量を保存する操作は、対角操作または部分的なSWAP、またはこれらの組み合わせのいずれかになります。この構造は、物理学（緊密結合モデルなど）で非常に頻繁に現れ、アーロンソンとアルキポフによって研究されたボソン散乱問題に似ています。$f$$f$$f$$f$、同一ではありませんが（わずかに異なる散乱の問題です）。さらに、IQPの回路が含まれているため、従来のように効率的にシミュレートすることはできません。

数学では「ブリッジ定理」と呼ばれることの可能性について、2つの大きな分野、つまりブール回路とQMコンピューティングのフロンティアで、基本的に大きく異なる難易度の2つの質問をします。

• モノトーン回路の量子アナログ

• Razborovs thmの量子アナログ

率直な短い答えは今までにないかそうではない。

（1）については、それほど難しい質問ではないが、明らかにほとんど考慮されていないため、文献で関連事例とみなすことができる次の参照を示した。

GharibianとKempeによる量子問題の近似の困難さ

彼らは、量子コンテキストにおけるいくつかの「単調な」問題、例えばQMSA、「量子単調な最小充足割り当て、QMSA」、すなわちSAT QMアナログを考慮します。（別の問題であるQuantum Monotone Minimum Weight Word、QMW）および近似硬度の結果、つまり下限を示します。彼らは単調な量子回路自体を考慮していませんが、単調な関数 QMSA を解く量子回路またはアルゴリズムをQMアナログとみなすことができるという考えがあります。

（2）に関しては、それが存在した場合、「これまで」とは思えない非常に高度な結果になります。Razborovのthmは基本的に、（単調な）回路理論における明確な突破口とほぼ無敵の結果と考えられる下限の「ボトルネック」タイプの結果です。

だから大まかに言えばもちろん、QMコンピューティングには、たとえば直接製品定理に関連するなど、いくつかの下限ボトルネックがあります。調査については、たとえば

Spalekによる量子アルゴリズム、下限、および時空間のトレードオフ

しかし、おそらく、より良い類似したQM計算の下限は、キュービット操作の数に下限を置くか、単調関数のトフォリゲートのような「完全な」ゲートに基づく可能性があります。このタイプの証拠を認識していません。

別のアプローチでは、分析を特別な量子ANDおよびORゲートに制限し、ゲートを可逆的にするために余分な「アンシラ」ビットを追加します。