超線形回路限界が知られている「最小」複雑度クラスとは何ですか？

確かに多くの標準的な参考文献に含まれている必要がある質問をすることをおologiesびします。私はタイトルの質問に正確に興味があります。特に、深さの制限がないブール回路を考えています。私は引用符で「最小」を入れて、お互いを含むことが知られていない複数の異なるクラスが存在する可能性を考慮して、超線形境界が知られています。

最小のこのようなクラスは、（Cai、2001）、（Vinodchandran、2005）、および（Santhanam、2007）であるとます。これらはすべて、各定数についてにないことが実際に知られています。$S_2P$$PP$$(MA \cap coMA)/1$$SIZE(n^k)$$k$

私が知っている最も強い結果は、すべてのkについて、サイズ回路を必要とする問題があるということです。$S_2^P$$\Omega(n^k)$

Z P P N P Σ P 2 ∩ Π 、P $S_2^P$はに含まれるクラスで、それ自体はます。（複雑性動物園には、このクラスに関する詳細情報があります。）$ZPP^{NP}$$\Sigma_2^P \cap \Pi_2^P$

結果は、カイによるカープリプトンの定理の最強バージョンから得られます。

KL定理からこれがどのように続くかを簡単に証明します。最初に、SATが超多項式サイズの回路を必要とする場合、で超多項式サイズの回路を必要とする問題を示したので、これで完了です。SATに多項式サイズの回路がある場合、Karp-Lipton定理の最強バージョンにより、PHは崩壊します。PHにはこのような問題（Kannanの結果による）が含まれているため、はそのような問題が含まれています。 S P 2 S P $S_2^P$$S_2^P$$S_2^P$

一般的な回路の場合、サイズ回路を必要とする問題があることがわかっています。これはRavi Kannan（1981）によるものであり、はそのような問題が含まれています。 Ω （N 、K）P $\Sigma^p_2 \cap \Pi^p_2$$\Omega(n^k)$$PH$

の最高の下限はまだ前後だと思います。$NP$$5n$

参照アローラとバラクの本、ページ297リチャードJ.リプトンは持っていたポストに彼のブログも参照、これらの結果については、このいずれかを。

$\mathrm{S}_2\mathrm{P}$$k≥1$$c$
$\tilde{O}(n^k)$
$\mathrm{O}_2\mathrm{P}$$\tilde{O}(n^{k^2})$$O(n^k (\log n)^c)$

$\mathrm{O}^2\mathrm{P}$$\tilde{O}(n^{k^2+k})$$i$$\tilde{O}(n^{\min(k^2+k,k^3)})$

IO-と計算しない1つの決定問題回路は、最小数であるを有する回路の真理値表ではない（その二進数を使用して照会）ゲート。NPがPである場合/ポリ、問題は、次からなる動かぬ忘れ証人有する： （1） （2）与えられた回路、ことを示して十分に小さい回路を有しています。 （3）（バウンドにのみ使用）検証者は、（2）回だけ相手のサーキットを実行できるようにします（実行ごとに1ビットを取得）。N 、N 、K ⌊ （ログN ）C + 1 ⌋ N N ' < N N ' 〜O（N K 3）O （1 $O(n^k (\log n)^c)$$N$$n^k ⌊(\log n)^{c+1}⌋$
$N$
$N' < N$$N'$
$\tilde{O}(n^{k^3})$$O(1)$

別の注意として、ごとに、（MA∩coMA）/ 1に回路を持たない決定問題があります。「/ 1」は、マシンが入力サイズのみに依存するアドバイスを少し受け取ることを意味します。また、Merlinが送信する文字列は、入力サイズ（この制限により、MAはサブセット）とアドバイスの複雑度のみに依存するように選択できます。証明（Santhanam 2007）は、IP = PSPACEおよびPSPACE⊂P/ polyを一般化します。PSPACE= MAは、特定の行儀のよいPSPACE完全問題を使用し、入力をパディングして、および、アドバイスを使用してこのような十分な例を検出するO （n k）O 2 $k$$O(n^k)$$\mathrm{O}_2\mathrm{P}$$Σ_2^P$ n k + 2 n $n^{k+1}$$n^{k+2}$$n$、これらの、Merlinにそのような回路を生成させることにより、パディング問題を解決します。$n$