自然な証明と幾何学的な複雑さにおける建設性

最近、Ryan Willamsは、複雑性クラスの分離を引き出すために、自然証明の構成性が避けられないことを証明しました：と。 $\mathsf{NEXP}$$\mathsf{TC}^{0}$

Natural Proofの構成性は、回路の複雑さのすべての組み合わせの証明が満たす条件であり、（または別の「ハード」複雑度クラス）のターゲット関数が実行するアルゴリズムによって「ハード」プロパティを持つかどうかを決定できますターゲット関数の真理値表の長さのポリタイムで。$\mathsf{NEXP}$

他の2つの条件は、「ハード」プロパティを必要とする役に立たない条件は、のどの回路でも計算できないことと、ハードプロパティが見つけやすい大きな条件です。$\mathsf{TC}^0$

私の質問は：

この結果は、幾何学的複雑性理論（GCT）を使用して、 vs、 vs、または vs？$\mathsf{P}$$\mathsf{NP}$$\mathsf{P}$$\mathsf{NC}$$\mathsf{NEXP}$$\mathsf{TC}^0$

参照：

• ライアン・ウィリアムズ、「自然の証明とデランダム化」

いいえ、建設性の不可避性により、$NP$対ような下限の問題に対する実行可能な攻撃計画としてGCTが開かれたままになり$P/poly$ます。

第一に、建設性に関するライアンの結果は、Mulmuleyによるいわゆる「フリップ定理」と非常に似ていることを言及する価値があります。たとえば、パーマネントにポリサイズの演算回路がない場合、すべての小さな回路がこれらのマトリックスのいずれかのパーマネントと異なるように、ランダムにポリタイム構築可能な（多項式で多数の）マトリックスのセット。Mulmuleyによる2010年9月、シカゴ大学のコンピューターサイエンス部門のテクニカルレポート、明示的証拠とフリップを参照してください。$\{M_1, \dotsc, M_{p(n)}\}$

第二に、GCTでの対称性の特徴付けの中心性（すでにSiumanによって言及されている）は、レーガンの調査以来、より明確になりました。対称性の特性化がGCTにとって重要であることが判明した場合、これはすでに大規模条件を回避しています。対称特性の定義については、密接に関連する前の質問に対するこの回答を参照してください。

対称性の特徴付けが大きさに違反することの証拠については、私の論文のセクション3.4.3「対称性の特徴付けがRazborov–Rudich障壁を回避する」を参照してください（恥知らずの自己プラグ、しかしこれが完全に書かれている他の場所は知りません） 。建設性にも違反するのではないかと思うが、それは未解決の問題として残した。（第3章の前半には、GCTのフリップ定理の概要と、それらが対称性の特徴付けにどのように関係するかが記載されています。）

（Razborov--Rudichを回避するGCTで使用されると考えられるまさにその特性である対称性の特性付けが、基本的に建設性が必要であると言うフリップ定理を証明するために使用されることは興味深いと思います。）

最後に、長期的にはGCTは対P / p o l yおよびその他のブール値の問題に対処することを目指していますが、現時点では、GCTのほとんどの作業は、 Razborov--Rudich（私が知っている）の代数的アナログはまだありません。$NP$$P/poly$

$NEXP \not\subset TC^0$$NEXP \cap coNEXP \not\subset ACC$

$P$$NP$

これに関するいくつかのコメント：GCTと自然証明の関係は過去に議論されています（元のGCT論文自体でも）。GCTアプローチによって「建設性」または「大規模性」のどちらが侵害されるかについてコンセンサスは得られていないように見えますが、MulmuleyとSohoniは、GCTを実施できれば大規模性に違反するべきだと主張しました。関連するリファレンスについては、ReganのGCTの概要のセクション6を参照してください。ただし、この概要はすでに10年前のものであり、それ以来、かなりの量の作業がGCTに費やされていることを付け加える必要があります。これに関して改訂/新しい意見があるかどうかはわかりません。（おそらく、ジョシュ・グロコウが鳴り響くのでしょうか？）

短い答えはいいえです。

幾何学的複雑性理論のアプローチは、ラズボロフとルディッヒによって定義されているように「大きくない」とMulmuleyが主張する特定の非常にまれな特性を対象としています。仮引数のために、また、ジョシュアGrochowの参照論文を、3.4.3 対称性特性はRazborov-Rudich障壁を回避し、そして彼の答え。

次の段落は、Ketan MulmuleyによるOn P vs. NPおよび幾何学的複雑性理論（JACM 2011または原稿）、セクション4.3 A High Level Planからのものです。

目標は、これらの手順を明示的に実行し、恒久的および決定要因の対称性による特性評価を活用することです。明示的な意味を後で指定します。cf. 仮説4.6。このアプローチは、対称性を特徴とする非常にまれなハード関数に対してのみ機能するという意味で非常に厳格です。この極端な剛性は、自然の防壁を迂回するために必要なものよりもはるかに大きい[Razborov and Rudich 1997]。

建設性と大きさの両方の条件が自然な証明（有用性が暗黙的である場合）に必要であるため、建設性が避けられないことを証明するだけでは、そのようなアプローチを除外するのに十分ではありません（大きな前進です）。