理論計算機科学

理論計算機科学者および関連分野の研究者のためのQ&A

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k連結グラフを（k + 1）連結成分に分解する
連結グラフは、その二重連結コンポーネントに分解できます。このブロックカットポイントツリーは一意です。同様に、双連結グラフは三連結成分に分解できます。対応するSPQRツリーは、グラフ内のすべての2頂点カットを記述し、グラフから一意に決定されます。 このプロセスは、より高い接続性には一般化しません。例えば、所与triconnectedグラフ、全ての3頂点カット記述する複数の「木」があり得るGを。GGGGGG （これらのクラスの）接続グラフをk + 1接続コンポーネントに一意に分解できるような特別なクラスのグラフはありますか？kkkk + 1k+1k+1 私の質問はこの質問と少し異なることに注意してください。
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属1のグラフの分解
平面グラフはフリーです。このようなグラフは、平面またはコンポーネントのいずれかであることが知られている3連結コンポーネントに分解できます。K3 、3K3、3K_{3,3}K5K5K_5 属1のグラフのそのような「素敵な」分解はありますか？ グラフマイナーに関する独創的な研究で、RoberstonとSeymourは、マイナーを含まないすべてのグラフを「ほぼ平面」のグラフの「クリークサム」に分解できることを示しました。もちろん、これは有界グラフにも当てはまります。構造特性をよりよく理解するために、属1のグラフに固有の分解を探しています。
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ブルームフィルターハッシュ：もっと多い？
ブルームフィルターの実装では、従来のアプローチでは複数の独立したハッシュ関数が必要です。 KirschとMitzenmacherは、実際には2つしか必要とせず、残りを線形結合として生成できることを示しました。 私の質問は、2つのハッシュ関数と2倍のエントロピーを持つハッシュ関数の違いは何ですか？ これは、ハッシュ関数の出力で実際に何をするかを見ることに由来します。（たとえば）64ビットのハッシュ値を取得して、ビットベクトルのサイズにスケーリングします。64。これは明らかにエントロピーを失う変換です（まれに、ハッシュサイズとフィルター容量が完全に一致する場合を除きます）。フィルターのエントリが2 32未満であると仮定して、64ビットハッシュ値を2つの32ビットハッシュに分割し、それらの線形結合を取得するのを止めるものは何ですか？またはそれを使用してPRNGをシードしますか？ 言い換えれば、標準の偽陽性率を確実に保持するために、ブルームフィルターに挿入する各要素について、実際にどれだけの情報を知る必要がありますか？またはより一般的には、要素をどれだけうまく区別できるか（それらを記述するために使用するビット数）とブルームフィルターのパフォーマンスとの関係は何ですか？ 確かに、フィルタサイズがmの場合、ビット、または同等に2 （lg （− n ln p）− 2 lg （ln 2 ））ビットでn個の要素を偽陽性の確率で格納できるようですp ....2 lg（m ）2lg⁡（m）2\lg(m)mmm2 （lg（− n lnp）−2lg（ln2 ））2（lg⁡（−nln⁡p）−2lg⁡（ln⁡2））2(\lg(-n\ln{p}) - 2\lg(\ln2))nnnppp
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ミッションクリティカルなソフトウェアの作成方法
私は正式な方法を自習しています。ミッションクリティカルなソフトウェア（原子炉コントローラー、航空機飛行コントローラー、宇宙探査機コントローラーなど）を作成するために、正式な方法が使用される（そして通常のみ使用される）と聞きました。それが私がそれを学ぶことに興味がある理由です：p ただし、正式な方法（特にLTL、CTL、およびそれらの兄弟）を学習した後は、仕様の正確さ（安全性、活性、公平性など）を検証するためにのみ使用できると感じています。 しかし、ソフトウェア（仕様だけでなく）が実際に正しいことを確認する方法は？ 免責事項：理論的なコンピューターサイエンスに関しては、私は90％のバカです。答えながら慈悲深くあってください。
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ワイスフェイラー・レーマンラベルの計算の難しさ
1-DIM Weisfeiler-リーマンアルゴリズム（WL）は、一般に正規標識または色精緻化アルゴリズムとして知られています。次のように機能します。 初期着色均一で、C 0（V ）= 1、すべての頂点については、V ∈ V （G ）∪ V （Hします）。C0C0C_0C0（v ）= 1C0（v）=1C_0(v) = 1V ∈ V（G ）∪ V（ H）v∈V（G）∪V（H）v \in V (G) \cup V (H) 番目のラウンド、色CのI + 1（V ）前の色からなる対であると定義されるC I - 1（V ）と色のマルチセットC I - 1（U ）のためにvに隣接するすべてのu。たとえば、vとwの場合、C 1（v ）= C 1（w ）（i + 1 ）（私+1）(i + 1)Ci + …
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複雑性分析における平方根のアイデアの注目すべき例
がk = \ sqrt nで最小値を取得するという考え方を活用するアルゴリズムとデータ構造がいくつかあります。一般的な例は次のとおりです。max{k,n/k}max{k,n/k}\max \left\{k, n/k\right\}k=n−−√k=nk=\sqrt n O（\ sqrt n）の離散対数を計算するためのベイビーステップジャイアントステップアルゴリズムO(n−−√)O(n)O(\sqrt n)、 O （n−−√）O（n）O(\sqrt n)時間およびO （n ）O（n）O(n)メモリでの静的2D直交範囲カウント、 O（\ sqrt [k] n）に EXTRACT-MINがありO （n−−√k）O（nk）O(\sqrt[k] n)、O （ 1 ）O（1）O(1)にDECREASE-KEYがある優先度キュー 多項式時間でO （n−−√）O（n）O(\sqrt n)色で3色のグラフを着色する、 ほんの数例を挙げます。 このようなアルゴリズムは多くの場合最適ではありませんが、学生は理解しやすく、素朴な境界が最適でないことをすぐに示すことができます。また、平方根のアイデアのデータ構造は、キャッシュの扱いやすさのために、バイナリツリーベースのデータ構造よりも実用的である場合があります（キャッシュを無視する手法を考慮していません）。だからこそ、教えながらこのトピックにかなりの注意を払っています。 この種のより特徴的な例に興味があります。だから私は、分析が平方根のアイデアに依存する（できればエレガントな）アルゴリズム、データ構造、通信プロトコルなどを探しています。それらの漸近は最適である必要はありません。
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マーリンの有効な回答の一意性を要求すると、アーサー・マーリンのプロトコルの能力が制限されますか？
前文。 複雑度クラスAMは、証明者 "Merlin"と検証者 "Arthur"の間の2ラウンドの対話型証明システムによって解決できる問題です。オブジェクトXの一部のプロパティをテストする問題は、次の場合にAMにあります。 用YESの（多項式長の）ランダムな「チャレンジ」メッセージのインスタンス、アーサーは、マーリンは（多項式の長さ）を策定アーサーは、その証拠として使用することができる返信することができ、高い確率で、発生Xは特性を有しています。 以下のためのNOのインスタンス、アーサーが生成するランダムチャレンジメッセージに対して、高い確率でマーリンが上のためにテストされているプロパティの証拠として使用することができる任意の返信策定することはできませんXを。 —説明したクラスは、Merlinに高い確率でだけでなく、アーサーが発行する可能性のある課題に対して有用な回答を提供することを要求する場合、変更されません。この場合、マーリンの答えは常にYESインスタンスに対して有効である必要があり、アーサーがテストするのは答えの有効性です。したがって、マーリンが無効な応答を生成した場合、アーサーは問題のインスタンスがNOインスタンスであることを認識します。これは私が検討したい設定です。 例はグラフ非同型です：頂点ラベルの同じセットを持つグラフGとHが与えられると、アーサーはグラフの1つをランダムに選択し、その頂点ラベルを並べ替えて、そのプレゼンテーションをMerlinに送信することで「スクランブル」バージョンFを生成できます。二つのグラフが非同形である場合、マーリンは、どの識別することができるG又はHかどうかを決定することによって選択したアーサーF ≅ GまたはF ≅ H、および2つのかを識別することによって応答することができるFと同形です。ただし、2つのグラフGとHが同型の場合、Merlinはどのグラフを区別できないFの出身であり、彼が答えるのは偶然だけです。したがって、YESインスタンスの場合、Merlinはあらゆるチャレンジに対して常に有効な応答を送信できます。以下のためのNOのインスタンスマーリンが送信する可能性のある任意の応答は、高確率無効となります。 上記の問題では、マーリンが各チャレンジに対してアーサーに発行できる有効な応答が存在するだけでなく、実際には一意の有効な応答があります。つまり、アーサー がGまたはHのどちらを選択したかを示します。同形である特定F。 質問。 以下のためにということ-これらの線に沿って制約を課すんYESのインスタンス、アーサーが送信する可能性のあるすべての挑戦のために、そこにある丁度1つのマーリンのための有効なレスポンス-等しいに知られていないクラス降伏の意味で、より制限クラスを得AMの？
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ブール代数は単純に型指定されたラムダ計算で表現できますか？
ブール代数は、（たとえば）この方法で型なしラムダ計算で表現できます。 true = \t. \f. t; false = \t. \f. t; not = \x. x false true; and = \x. \y. x y false; or = \x. \y. x true y; また、ブール代数は、この方法でSystem Fでエンコードできます。 CBool = All X.X -> X -> X; true = \X. \t:X. \f:X. t; false = \X. …
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2つのプログラムが異なると言えるのはいつですか？
Q1。2つのプログラム（C ++などのプログラミング言語で作成された）が異なると言えるのはいつですか？ 最初の極端な例は、2つのプログラムが同一である場合に同等であると言うことです。もう1つの極端な例は、2つのプログラムが同じ関数を計算する（または同様の環境で同じ観測可能な動作を示す）場合に同等であると言うことです。しかし、これらは良くありません。素数をチェックするすべてのプログラムが同じというわけではありません。結果に影響を与えないコード行を追加できますが、それでも同じプログラムと見なします。 Q2。プログラムとアルゴリズムは同じ種類のオブジェクトですか？そうでない場合、アルゴリズムの定義は何ですか？プログラムの定義とどのように違いますか？2つのアルゴリズムが同等であると言えるのはいつですか？
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線形ディオファンチン方程式をおよそ解く
次の問題を考慮してください。 入力：超平面、ベクトルで与えられるおよび（標準バイナリ表現）。H = { Y ∈ R N：T 、Y = B } ∈ Z N B ∈ ZH={y∈Rn:aTy=b}H = \{ \mathbf{y} \in \mathbb{R}^n: \mathbf{a}^T\mathbf{y} = {b}\}a∈Zn\mathbf{a} \in \mathbb{Z}^nb∈Zb \in \mathbb{Z} 出力：X ∈ Z N = argを分D （X、H ）x∈Zn=argmind(x,H)\mathbf{x} \in \mathbb{Z}^n = \arg \min d( \mathbf{x}, H) 上記の表記では、およびはとして定義されます、つまり、点の集合と単一の点の間の自然なユークリッド距離。D （X、S ）d(x,S)d(\mathbf{x}, S)のx …
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行列乗算指数
口語、マトリックス乗算指数の定義ωω\omega既知が存在するために最小値であるnωnωn^{\omega}行列乗算アルゴリズムは。これは正式な数学的定義としては受け入れられないので、技術的な定義は、n tに行列乗算アルゴリズムが存在するような全体にわたる無限大のようなものだと思います。tttntntn^t この場合、我々は、中のマトリックス乗算のためのアルゴリズムが存在すると言うことはできませんnωnωn^{\omega}あるいはnω+o(1)nω+o(1)n^{\omega + o(1)}全てに対して単にこと、ϵ>0ϵ>0\epsilon > 0アルゴリズムがに存在するnω+ϵnω+ϵn^{\omega + \epsilon}。マトリックス乗算は単に彼らのコストを報告します使用多くの場合、しかし、論文や結果O(nω)O(nω)O(n^{\omega})。 この使用を許可する代替定義はありωω\omegaますか？時間またはアルゴリズムが存在することを保証する結果はありますか？または、使用法単にずさんですか？nωnωn^{\omega}nω+o(1)nω+o(1)n^{\omega + o(1)}O(nω)O(nω)O(n^{\omega})
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NPハード問題の実際の難易度のランキング
この質問は別の投稿と密接に関連しています：NPハード問題のフェーズ遷移ですが、多少異なります。その問題は、NPハード問題の特定のインスタンスの難易度に関するものですが、これは同じインスタンスの難易度のランク付けに関するものです。 Phase Transitionとして知られる効果についての参考文献がたくさんあります。特に、連言標準形（CNF）のランダム3-SAT式の場合、すべてのr <Rに対して式が高い確率で満たされるように、節と変数の比の値Rがあることが知られています。また、r> Rの場合、式は高い確率で満たされません。相転移効果はRの近くで発生し、これらの公式の充足可能性の問題を解決することは実際には非常に難しいという顕著な効果があります。 与えられた問題のNP硬さを証明するためには、NP完全問題の多項式時間チューリング還元があり、NP完全な問題はそれらの間で多項式時間で変換できることを示す必要があります。次の質問が自然に発生します。 3-SAT CNFの相転移を指標として使用して、実際にNPの困難な問題の難易度をランク付けすることは可能ですか？直観は、3-SATエンコーディングがRに近い場合（4.2に近いことが知られている）、P1の問題はP2よりも難しいと予想されるということです。この考えは、特定のインスタンスを特定の難易度に必ずしも限定するものではなく、単にランク付けするだけであることに注意してください。 それらの中には、いくつかのカウンター引数があります： 3-SAT CNF式の相転移は、ランダム式に適用されます。ただし、別の問題の特定のインスタンスには、その問題のソルバーによって悪用される可能性のある構造があります。これは、前述の質問でPeter Shorによって既に指摘されています。 問題の特定のインスタンスを3-SATに変換するために使用される特定のエンコードが、誤解を招く値につながる変数と句の比率で重要な役割を果たすため、誤分類---この懸念はKavehこの質問へのコメント。 Serge（この質問に対する彼のコメントからの私の理解によれば）は、元のNPの困難な問題を人為的に複雑にする可能性があるという問題を提起するため、充足可能性を維持しながら、変数に対する句の比率を変更する3CNF式をもたらします。 1に関しては、すべての問題は同じクラスの規則性を共有しているため、（難易度を特徴付けるのではなく）ランキングの問題が適用される可能性があります。2に関しては、ユニット伝播ルールに関して非冗長であることが知られている特定の問題のエンコーディングがあり、それらが優先されるべきであり、それらはそれらの誤分類を避けるかもしれません。例は、提案計画の場合のSideris et al。、2010です。3、についてはチーズマンら、1991年、すでに問題間のマッピングは、相転移効果を維持するかどうかの問題であると考えられ、その予備実験は、1つのオリジナルのNPの問題を低減し、「でも、ということを提供し、彼らの推測をサポートするように見えることができます条項に解決策を適用することでさらに削減されます。 これはすべてあなたにとって理にかなっていますか？これに関する書誌的参照を知っていますか？どんなガイダンスも大いに認められます！
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