NPハード問題の実際の難易度のランキング

この質問は別の投稿と密接に関連しています：NPハード問題のフェーズ遷移ですが、多少異なります。その問題は、NPハード問題の特定のインスタンスの難易度に関するものですが、これは同じインスタンスの難易度のランク付けに関するものです。

Phase Transitionとして知られる効果についての参考文献がたくさんあります。特に、連言標準形（CNF）のランダム3-SAT式の場合、すべてのr <Rに対して式が高い確率で満たされるように、節と変数の比の値Rがあることが知られています。また、r> Rの場合、式は高い確率で満たされません。相転移効果はRの近くで発生し、これらの公式の充足可能性の問題を解決することは実際には非常に難しいという顕著な効果があります。

与えられた問題のNP硬さを証明するためには、NP完全問題の多項式時間チューリング還元があり、NP完全な問題はそれらの間で多項式時間で変換できることを示す必要があります。次の質問が自然に発生します。

3-SAT CNFの相転移を指標として使用して、実際にNPの困難な問題の難易度をランク付けすることは可能ですか？直観は、3-SATエンコーディングがRに近い場合（4.2に近いことが知られている）、P1の問題はP2よりも難しいと予想されるということです。この考えは、特定のインスタンスを特定の難易度に必ずしも限定するものではなく、単にランク付けするだけであることに注意してください。

それらの中には、いくつかのカウンター引数があります：

1. 3-SAT CNF式の相転移は、ランダム式に適用されます。ただし、別の問題の特定のインスタンスには、その問題のソルバーによって悪用される可能性のある構造があります。これは、前述の質問でPeter Shorによって既に指摘されています。
2. 問題の特定のインスタンスを3-SATに変換するために使用される特定のエンコードが、誤解を招く値につながる変数と句の比率で重要な役割を果たすため、誤分類---この懸念はKavehこの質問へのコメント。
3. Serge（この質問に対する彼のコメントからの私の理解によれば）は、元のNPの困難な問題を人為的に複雑にする可能性があるという問題を提起するため、充足可能性を維持しながら、変数に対する句の比率を変更する3CNF式をもたらします。

1に関しては、すべての問題は同じクラスの規則性を共有しているため、（難易度を特徴付けるのではなく）ランキングの問題が適用される可能性があります。2に関しては、ユニット伝播ルールに関して非冗長であることが知られている特定の問題のエンコーディングがあり、それらが優先されるべきであり、それらはそれらの誤分類を避けるかもしれません。例は、提案計画の場合のSideris et al。、2010です。3、についてはチーズマンら、1991年、すでに問題間のマッピングは、相転移効果を維持するかどうかの問題であると考えられ、その予備実験は、1つのオリジナルのNPの問題を低減し、「でも、ということを提供し、彼らの推測をサポートするように見えることができます条項に解決策を適用することでさらに削減されます。

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あなたが言及する技術的障害が何らかの形で克服されることは考えられないことではありませんが、NPハードの難しさ（少なくとも私が知っている限りでは）という単純な理由で、そうする動機は現時点ではほとんどないと思います実際の問題は、経験的に、3-SAT相転移に近いこととはほとんど関係がないようです。

これを、難易度の観点からNP困難問題をランク付けする他の方法と比較してください：実際に簡単なNP困難問題と、近似しやすい、または固定パラメータで扱いやすい NP困難問題の間には、経験的な相関関係があります（パラメータ化された複雑さの意味で）。これらのケースでは、経験的観察を部分的に説明する適切な削減の概念が開発されました。ただし、現在のところ、実際に難しいNP困難な問題のほとんどは、相転移の近くの3-SATインスタンスとの密接な関係のために困難であるという経験的な兆候はないようです。したがって、実際には真実ではないように見える何かを「説明」する理論を開発することはあまり意味がありません。