最適なアルゴリズムを持っていることがわかっているいくつかの問題は何ですか？

現在のアルゴリズムが漸近的に最適なアルゴリズムであることがわかっている自明でない問題は何ですか？（チューリングマシン用）

そして、これはどのように証明されていますか？

線形の時間がかかり、入力全体を読み取らなければならないアルゴリズムは、漸近的に最適でなければなりません。同様に、Raphaelがコメントしているように、ランタイムが出力サイズと同じオーダーのアルゴリズムが最適です。

考慮している複雑さの尺度がクエリの複雑さ、つまり特定の問題を解決するためにマシンが入力を調べる必要がある回数である場合、最適なアルゴリズムがある多くの問題があります。これは、敵対法などの一般的な手法のおかげで、クエリの複雑さの下限は時間または空間の複雑さの下限よりも達成しやすいためです。

ただし、この複雑さの尺度は、量子情報処理能力と古典的な計算能力の間にギャップを簡単に証明できるため、量子情報処理でほとんど例外的に使用されるという欠点があります。このフレームワークで最も悪名高い量子アルゴリズムは、Groverのアルゴリズムです。バイナリ文字列を考えると単一が存在するために、私、このようなxは、私は = nは、あなたが見つけることが必要とされている私を。古典的に（量子コンピューターなしで）、最も単純なアルゴリズムが最適です：見つけるためにこの文字列を平均でn / 2回照会する必要があります$x_1,\dots ,x_n$$i$$x_i=n$$i$$n/2$。Groverは、 O （$i$文字列へのクエリ。これも最適であることが証明されています。$O(\sqrt n)$

• モデルを変更する場合は、データ構造の下限がかなり厳しくなります。参照データ構造のための下限をデータ構造における下限のために良いの参照へのポインタのために。
• 一部の人々がここで言及した比較モデルでのソートの境界から、入力が平面の第1象限の増加関数。$\Omega(n log n)$

1. 比較（名前を付けてソートをマージ）を使用した比較ソートが最適であり、証明にはnでツリーの高さを計算するだけです。葉。$O (n \log n)$$n!$

2. ユニークなゲーム予想を想定して、Khot、Kindler、Mossel、およびO'donnellは、GoemansおよびWilliamsonのアルゴリズムよりもMax-Cutを近似する方がNP完全であることを示しました。その意味で、G＆Wは最適です（も仮定）。$P\neq NP$

3. 一部の分散アルゴリズムは、いくつかの条件（たとえば、敵対プロセッサの割合）に関して最適であることが示されますが、Turingマシンについて言及したので、それはあなたが探しているタイプの例ではないと思います。

あなたは入力を与えられていると仮定とRAMのマシンかどうかを判断するように要求されているMの入力で終了Xの後$w = \langle M, x, t \rangle$$M$$x$段階。時間階層定理によって、これを決定するための最適なアルゴリズムが実行シミュレートすることである M （X ）のためのt時間で行うことができるステップ、 O （Tの）。$t$$M(x)$$t$$O(t)$

（注：チューリングマシンの場合、の実行のシミュレーションにはO （t log t ）ステップが必要です; Ω （t ）の下限しかわからないため、これはチューリングマシンに最適ではありません）。$M$$O(t \log t)$$\Omega(t)$

サブケースとして停止問題のバージョンを含むいくつかの他の問題があります。例えば、文章かどうかを決定する WS1Sの結果であることは、時間かかる2 ↑ ↑ O （| θを|）、これが最適です。$\theta$$2 \uparrow \uparrow O(|\theta|)$

「自明でない」とはどういう意味かわかりませんが、これはどうですか。。したがって、この言語は規則的ではなく、それを決定するTMはΩ （n log n ）で実行する必要があります。単純なアルゴリズム（1つおきに0を越える）が最適です。$L = \{0^{2^k} | k \geq 0\}$$\Omega(n \log n)$

動的なデータ構造の問題を許可する場合、いくつかの超線形時間最適アルゴリズムを知っています。これは、ワードRAMと同じくらい強力なセルプローブモデルにあります。つまり、代数決定木などの制限されたモデルではありません。

1つの例は、動的更新の下でプレフィックスの合計を保持することです。まず、数字の配列から、目標は次の操作を可能にするデータ構造を保持することです。$A[1], \ldots, A[n]$

• A [ i ]にを追加し$\Delta$$A[i]$とΔが与えられた場合、に$i$$\Delta$
• プレフィックスの合計、与えられた$\sum_{j = 1}^i{A[i]}$$i$

葉にA [ i ]を持つ拡張された二分木に基づくデータ構造を使用して、時間で両方の操作を簡単にサポートできます。PatrascuとDemaineは、任意のデータ構造のためのシーケンスがある：これは最適で示したN取らなければならない追加プレフィックス合計クエリΩを（N ログNは）時間の合計。$O(\log n)$$A[i]$$n$$\Omega(n\log n)$

別の例はunion findです：{ 1のパーティションで開始しますシングルトンに開始し、2つの操作を許可するデータ構造を保持します。$\{1, \ldots n\}$

• Union：とjを指定すると、以下を含む部分を置き換えます$i$$j$および収容部 jは労働組合との$i$$j$
• 検索：$i$含む一部の標準的な要素、出力$i$

$O(\alpha(n))$$\alpha$$n$$\Omega(n\alpha(n))$

多くのストリーミングアルゴリズムには、下限と一致する上限があります。

入力順序/分布に関する特定の制約に基づいて、[私の理解は]最適な2つの類似した検索アルゴリズムが2つあります。ただし、アルゴリズムのプレゼンテーションでは通常、この最適性を強調していません。

• 単峰性関数の最大または最小（極値）を見つけるためのゴールデンセクション検索。入力が単峰性関数であると仮定します。平均して対数時間で見つけます。私が思い出すように、本には最適性の証拠があったかもしれない、abelson＆sussmanによるコンピュータープログラムの構造と解釈のません。

• バイナリ検索では、ソートされたリストで平均して対数時間の点を見つけますが、ソートするには入力が必要です。

^{上記のウィキペディアを引用していますが、それが最適であることの証拠はありません。おそらく、最適性を証明する他の参考文献が聴衆によって見つかるかもしれません。}

多くの準線形時間アルゴリズムには、下限と一致する上限があります。