理論計算機科学

理論計算機科学者および関連分野の研究者のためのQ&A

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ストリーミング形式での順列のパリティの計算
順列のパリティを計算するワンパスアルゴリズムを探しています。入力順列がストリームによって与えられると仮定します。出力は、順列のパリティでなければなりません。決定論的アルゴリズムが使用するメモリ量に興味があります。問題のランダム化アルゴリズムはありますか？π[ 1 ] 、π[ 2 ] 、⋯ 、π[ n ]π[1],π[2],⋯,π[n]\pi[1], \pi[2], \cdots, \pi[n] 1回のパスで反転数を計算する際にメモリを使用することを知っています。上限は、任意のBSTで簡単に取得できます。下限は次のとおりです。http：//citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/versions？doi = 10.1.1.112.5622Θ （n ）Θ(n)\Theta(n) 残念ながら、論文の下限の証明をパリティの場合に拡張することはできません（または、私にはそれほど明白ではありません）。 また、順列へのランダムアクセスを使用した小さなスペースでのパリティの計算は、決定論的アルゴリズムによって時間とO （log 2 n ）メモリで、またはO （n log n ）時間とO （log n ）ランダム化されたメモリ。http://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/summary?doi=10.1.1.29.2256を参照してくださいO （n ログn ）O(nlog⁡n)O(n \log n)O （ログ2n ）O(log2⁡n)O(\log^2 n)O （n ログn ）O(nlog⁡n)O(n \log n)O （ログn ）O(log⁡n)O(\log n) 主な考え方は、順列のパリティが式で計算できることです。ここで、cはサイクル数、nはサイズです。著者は、順列のサイクル分解を行います。したがって、サイクル数を簡単に計算できます。s gn （π）= …
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ソートネットワークの多項式で多数の0-1シーケンスをソートするのに十分ですか？
0-1の原則では、ソートネットワークがすべての0-1シーケンスで機能する場合、任意の数値セットで機能するということです。ある、ネットワークがSからのすべての0-1シーケンスを並べ替えた場合、それはすべての0-1配列とのサイズソートするような多項式である？ S NS⊂{0,1}nS⊂{0,1}nS\subset \{0,1\}^nSSSnnn たとえば、最大であるすべてのシーケンスで構成さの1の実行（間隔）、その後、ソーティングネットワークNとのすべてのメンバーならばNによって順序付けされていないシーケンスがあり N順に並んでいますか？2 SSSS222SSS 回答：回答とそのコメントからわかるように、答えは、ソートされていないすべての文字列に対して、他のすべてのストリングをソートするソートネットワークがあるということです。これの簡単な証明は次のとおりです。文字列、が常におよびます。以来ソートされていないで、ソート後する必要があります。をすべてのと比較します。次に、とようにすべてのペア比較しますs i = 0 i &lt; k s k = 1 s s k 0 k i s i = 1 （i 、j ）i ≠ k j ≠ ks=s1…sns=s1…sns=s_1\ldots s_nsi=0si=0s_i=0i&lt;ki&lt;ki<ksk=1sk=1s_k=1ssssksks_k000kkkiiisi=1si=1s_i=1(i,j)(i,j)(i,j)i≠ki≠ki\ne kj≠kj≠kj\ne k何度も。この葉全体の文字列は、のために、おそらく除いて、ソートための未ソートである、、そしてより多くの持っているその他の特定の文字列を以上の。今すぐ比較するためにとdownto位以外に行くべき。これはを除くすべてをソートします。 s 1 s s k i = n 1 s k …
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整数のミンコフスキー和で証人を見つける
LET及びの部分集合である。ミンコフスキー和を見つけることに興味があります。AAABBB{0,…,n}{0,…,n}\{0,\ldots,n\}A+B={a+b | a∈A,b∈B}A+B={a+b | a∈A,b∈B}A+B=\{a+b~|~a\in A,b\in B\} X χ X（X ）= { 1 であれば 、X ∈ X 0 、さもなければχX:{0,…,2n}→{0,1}χX:{0,…,2n}→{0,1}\chi_X:\{0,\ldots,2n\}\to \{0,1\}は、場合、特性関数XXXχX(x)={1 if x∈X0 otherwiseχX(x)={1 if x∈X0 otherwise\chi_X(x) = \begin{cases} 1 \text{ if } x\in X\\ 0 \text{ otherwise}\end{cases} ましょう離散畳み込みことと、次いで場合に限り、F （X ）&gt; 0。したがって、A + Bは、FFTを介した離散畳み込みによってO （n log n ）時間で計算できます。fffχAχA\chi_AχBχB\chi_Bx∈A+Bx∈A+Bx\in A+Bf(x)&gt;0f(x)&gt;0f(x)> 0A+BA+BA+BO(nlogn)O(nlog⁡n)O(n\log n) …
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例完全問題？
完全な言語のリストが必要です。Complexity Zooには、次の2つの問題がリストされています。Σp2Σ2p\Sigma_2^p 最小等価DNF。DNF式Fと整数kが与えられた場合、リテラルのk回以下の出現でFと同等のDNF式はありますか？ 最短の暗黙的。式Fと整数kが与えられた場合、Fを意味するリテラルのk以下の連結詞はありますか？ 別の基本的な完全な問題：Σp2Σ2p\Sigma_2^p ΣiSATΣiSAT\Sigma_i \text{SAT}。という形式の数量化されたブール式が与えられた場合は有効ですか？φφ\varphiφ=∃u⃗ ∀v⃗ ϕ(u⃗ ,v⃗ )φ=∃u→∀v→ϕ(u→,v→)\varphi = \exists \vec{u} \forall \vec{v}\, \phi(\vec{u}, \vec{v})φφ\varphi ただし、グラフを使用する問題（クリーク関連の問題など）を探しています。
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Realsの数学をComputable Realsにどの程度まで適用できますか？
適切なサニタイズにより、計算可能な実数のみを考慮する場合、実数の使用に関する最も知られている結果を実際に使用できると述べる一般的な定理はありますか？または、計算可能な実数のみを考慮する場合に有効な結果の適切な特性評価がありますか？副次的な問題は、計算可能な実数に関する結果を、すべての実数、または計算できないものを考慮することなく証明できるかどうかです。私は特に微積分と数学的分析を考えていますが、私の質問は決してそれに限定されません。 実際、チューリング階層に対応する計算可能な実数の階層があると思います（正しいですか？）。次に、より抽象的には、実際の抽象的な理論があります（用語がどうあるべきかはわかりません）。これについては、従来の実数だけでなく計算可能な実数にも適用される多くの結果を証明できます。計算可能な実数のチューリング階層の任意のレベル（存在する場合）。 それから私の質問は次のように述べることができます：伝統的実在について証明されたときに実在の抽象理論に適用される結果の特徴づけはありますか？そして、これらの結果は、従来の現実を考慮せずに、抽象理論で直接証明できますか。 また、これらの実数の理論がどのように、いつ分岐するかを理解することに興味があります。 PS私は私の質問でこれをどこに当てはめるかわかりません。実数に関する多くの数学がトポロジーで一般化されていることに気付きました。だから、私の質問への答え、またはその一部がそこにあるかもしれません。しかし、それだけではありません。
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有向グラフで単純なパスをカウントする複雑さ
レッツGGG有向グラフ（必ずしもDAG）こととしましょうS 、T ∈ V（G ）s、t∈V（G）s,t \in V(G)。Gの単純な s − ts−ts-tパスの数をカウントする複雑さは何ですか。 GGG 問題は＃PP{\mathsf P} -completeになりますが、正確な参照を見つけることができませんでした。 また、通知が同様の質問の数が正しくここに、他の場所ではなく、この正確な質問回答されていることを-私はカウントに興味がありません強調してバリアントがである最初のケースで（および/または無向グラフ歩くPP{\mathsf P}と他の＃PP{\mathsf P} -hard）。
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型付きラムダ計算とLispの歴史的な関係？
私は最近（強く型付けされた言語の擁護者である）友人と議論をしていました。彼はコメントした。 ラムダ計算の発明者は、常に入力することを意図していました。 今、私たちは教会 が単に型付きラムダ計算たます。確かに、ラムダ計算についての誤解を減らすために、単純型付きラムダ計算を説明したようです。 ジョン・マッカーシーがLispを作成したとき、彼はそれをラムダ計算に基づいていました。これは彼が出版したときの彼自身の承認によるものです「シンボリック式の再帰関数とその機械による計算、パートI」によるものです。ここで読むことができます。 マッカーシーは、単純型付きラムダ計算に取り組んでいないようです。これが支配しているようですロビン・ミルナーとML。 LispとLambda Calculusの関係についての議論はここにありますが、McCarthyがLispとLambda Calculusを型付けせずにおくことを選んだ理由の底には本当に達していません。 私の質問は- マッカーシーがラムダ計算について知っていたと認めたら-なぜ彼は型付きラムダ計算を無視したのですか？（つまり-Lambda Calculusが入力されることを意図していたことは本当に明らかですか？そのようには見えません）
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一定のあいまいさにより、通常の言語の状態の複雑さを軽減できますか？
が存在し、任意の単語がまたは（正確に）パスで受け入れられる場合、NFAは常にあいまいであると言います。MMMのw ∈ Σ * 0 Kk∈Nk∈Nk\in \mathbb{N}w∈Σ∗w∈Σ∗w\in \Sigma^*000kkk オートマトンがに対して常にあいまいである場合、はUnambiguous FA（UFA）と呼ばれます。k = 1 MMMMk=1k=1k=1MMM してみましょう正規言語であること。LLL いくつか常にあいまいなオートマトンができのための受け付け最小UFAより小さくても？どれくらい小さくできますか？ L LMcMcM_cLLLLLL 有限のあいまいなオートマトンは、同じ言語の最小のCFAよりも指数関数的に小さくできますか？ 同じ言語の最小UFAよりも指数関数的に小さい有限あいまいなオートマトン（が存在し、すべての単語が最大パスで受け入れられる）があることが知られていますが、私は一定のあいまいさについて何かを見ていません。kkk kkk また、ここ数ヶ月前に私がここに投稿した関連する質問があります。 編集： Domotorpの答えは、がに対して多項式的に簡約可能であることを示していますが、によってその多項式空間の削減を実現できるかどうかの問題には対処していません。U F A C F ACFACFACFAUFAUFAUFACFACFACFA 新しい質問は次のようになります：は最小と比較して（線形/二次/等）どれくらい小さいですか？同じ言語ですか？U F ACFACFACFAUFAUFAUFA
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スプレイツリーの潜在的な機能：サイズのログを合計する理由
私はデータ構造に関するコースを教えており、来週初めにスプレーツリーを取り上げます。スプレーツリーに関する論文を何度も読んでおり、データ構造の背後にある分析と直感に精通しています。ただし、SleatorとTarjanが分析で使用する可能性のある機能について、確かな直観を見つけることはできません。 分析は、ツリー内の各要素に任意の重み割り当て、ノードのサイズs （x ）をxをルートとするサブツリー内のノードの重みの合計に設定することにより機能します。次に、この値のログを取得してノードのランクr （x ）を取得します。したがって、r （x ）= log s （x ）です。最後に、ツリーの潜在的な関数は、すべてのノードのランクの合計として定義されます。w私wiw_is （x ）s(x)s(x)バツxxr （x ）r(x)r(x)r （x ）= ログs （x ）r(x)=log⁡s(x)r(x) = \log s(x) この潜在的な機能が正しく機能し、分析を追跡できることは理解していますが、なぜこの潜在的な機能を選択するのかわかりません。サイズを合計すると、ツリーの重み付きパス長が得られるため、各ノードにサイズを割り当てるという考えは理にかなっています。しかし、なぜ彼らが重みのログを取得し、代わりにそれらを合計することにしたのかを理解することはできません-これに対応するツリーの自然なプロパティは表示されません。 スプレーツリーの潜在的な機能は、ツリーの自然な特性に対応していますか？「うまくいく」以外に、彼らがこの可能性を選択する特別な理由はありますか？（この一連のコースノートでは、「分析は黒魔術です。[N] oがどのように発見されたか」ということに言及しているため、特に興味があります。） ありがとう！
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どの単調なブール関数が合計のしきい値として表現可能ですか？
例で問題を紹介します。独立した質問の特定のセットで構成される試験を設計しているとしましょう（受験者は正しいか間違っているかを判断できます）。各質問に与えるスコアを決定します。ルールでは、合計スコアが特定のしきい値を超える候補者は合格し、他の候補者は失敗します。nnn 実際、あなたはこれについて非常に徹底しており、すべての可能な結果を想定し、このパフォーマンスの候補者が合格するか失敗するかをそれぞれについて決定しました。したがって、ブール関数があり、候補者が正確な答えに応じて合格するか失敗するかを示します。もちろん、この関数は単調である必要があります。一連の質問を正しく取得すると合格になり、スーパーセットを適切に取得すると合格する必要があります。 F ：{ 0 、1 } のn → { 0 、1 }2n2n2^nf：{ 0 、1 }n→ { 0 、1 }f：{0、1}n→{0、1}f : \{0, 1\}^n \to \{0, 1\} 質問に与えるスコア（正の実数）としきい値を決定して、関数がルールによって正確にキャプチャされるようにすることができます。「正しい質問のスコアの合計がしきい値を超える場合、候補は合格します」 ？（もちろん、スコアを定数で乗算するまで、一般性を損なうことなくしきい値を1にすることができます。）fff 正式：単調なブール関数ありますかすべての、場合、ます。W 1、... 、W N ∈ R + V ∈ { 0 、1 } nは F （V ）= 1 ΣをIをwはiがV I ≥ 1f:{0,1}n→{0,1}f:{0,1}n→{0,1}f: …
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内の学習可能性のステータス
私は、しきい値ゲートを介して表現可能な関数の複雑さを理解しようとしていますが、これがつながりました。特に、私はこの分野の専門家ではないので、内部での学習について現在知られていることに興味があります。TC0TC0\mathsf{TC}^0TC0TC0\mathsf{TC}^0 私がこれまでに発見したことは： すべての は、Linial-Mansour-Nisanを介した一様分布下の準多項式時間で学習できます。AC0AC0\mathsf{AC}^0 彼らの論文はまた、擬似ランダム関数発生防止の存在を学習することを指摘し、この、それ以降の結果と結合Naor-Reingoldこと是認のPRFGsが、ことを示唆している限界を表します学習可能性の（少なくともPACの意味で）TC0TC0\mathsf{TC}^0TC0TC0\mathsf{TC}^0 Jackson / Klivans / Servedioによる2002年の論文には、フラグメントを学習できる（せいぜい多対数の多数決ゲートがある）。TC0TC0\mathsf{TC}^0 私は通常のグーグルの学問をしましたが、cstheoryの集合的な知恵がより速い答えを持っているかもしれないことを望んでいます： 学習の複雑さを理解するために、どのクラスが効率的な学習者を挟んでいるかという点で、私が最新技術について説明したことはありますか？そして、風景の現在の状態をマップする良い調査/参照がありますか？
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複雑さのクラス演算子の良いリファレンス？
複雑なクラス演算子について記述するときに参照できる良い説明的な記事や調査があるかどうかに興味があります。 演算子の例 以下は、回答で説明できる最低限の演算子のリストとして解釈できます。ここで、CC\mathbf Cは任意の有限アルファベット上の任意の言語セットです。ΣΣ\Sigma ∃C:={L⊆Σ∗∣∣∣∃A∈C∃f∈O(poly(n))∀x∈Σ∗:[x∈L⟺∃c∈Σf(|x|):(x,c)∈A]}∃C:={L⊆Σ∗|∃A∈C∃f∈O(poly(n))∀x∈Σ∗:[x∈L⟺∃c∈Σf(|x|):(x,c)∈A]}\exists \mathbf C := \left\{ L \subseteq \Sigma^\ast \,\left|\, \begin{array}{l} \exists A \in \mathbf C \;\exists f \in O(\mathrm{poly}(n))\;\forall x \in \Sigma^\ast: \\\quad \bigl[x \in L \iff \exists c \in \Sigma^{f(|x|)}: (x,c) \in A \bigr] \end{array} \right\}\right. オペレータが明らかに記法とはいえ、ワーグナー[1]によって導入されました ではなく。この方法で構築されたクラスの最も有名な例は、です。この演算子は、Aの相補的数量詞が付属していた、定義には、により置換されて\ FORALL C、例えば：一つは簡単に全体の多項式階層を定義することができ、\ = mathsf {\ Sigma_2 ^ …
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階層定理のない複雑なクラス分離
階層定理は基本的なツールです。それらのかなりの数が以前の質問で収集されました（どのような階層や階層定理を知っていますか？を参照）。いくつかの複雑なクラス分離は、階層定理から直接続きます。そのようなよく知られた分離の例：、、、。P ≠ E X P N P ≠ N E X P P S PL ≠ PSPA CEL≠PSPACEL\neq PSPACEP≠ EバツPP≠EバツPP\neq EXPNP≠ NEバツPNP≠NEバツPNP\neq NEXPPSPA CE≠ EバツPSPA CEPSPACE≠EバツPSPACEPSPACE\neq EXPSPACE ただし、すべての分離が階層定理に従うわけではありません。非常に簡単な例は、です。が多項式変換に関して閉じているのに対し、はそうではないため、それらのいずれかに他の要素が含まれているかどうかはわかりませんが、それらは依然として異なります。N P ENP≠ ENP≠ENP\neq ENPNPNPEEE 階層定理に直接従わない均一なクラスの、より深く、無条件で、相対化されていない複雑さのクラス分離はどれですか？
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