整数のミンコフスキー和で証人を見つける

LET及びの部分集合である。ミンコフスキー和を見つけることに興味があります。 $A$ $B$ $\{0,\ldots,n\}$ $A+B=\{a+b~|~a\in A,b\in B\}$

$\chi_X:\{0,\ldots,2n\}\to \{0,1\}$ は、場合、特性関数 $X$

χ_{X} (x) = {\begin{cases} 1 if x \in X \\ 0 otherwise \end{cases}

$\chi_X(x) = \begin{cases} 1 \text{ if } x\in X\\ 0 \text{ otherwise}\end{cases}$

ましょう離散畳み込みことと、次いで場合に限り、。したがって、は、FFTを介した離散畳み込みによって時間で計算できます。 $f$ $\chi_A$ $\chi_B$ $x\in A+B$ $f(x)> 0$ $A+B$ $O(n\log n)$

時には実際のペアを見つけることが重要ですとに合計その。呼び出される証人のが存在する場合、よう。関数呼び出され証人関数場合の証人である。 $a\in A$ $b\in B$ $x$ $a\in A$ $x$ $b\in B$ $a+b=x$ $w:A+B\to A$ $w(x)$ $x$

$O(n\log n)$ 時間で監視関数を計算することは可能ですか？

convolution fft

— チャオ・シュ
ソース

O (n p o l y l o g n)

$O( n polylog n )$ は特に難しくありません。

— サリエルハーペレド

バイナリ検索を使用できます。例えば、パーティション

A

$A$ 2には、大きく分けて、同じサイズのセット

A_{L}, A_{R}

$A_L,A_R$ 、及び計算

A_{L} + B

$A_L+B$ 及び

A_{R} + B

$A_R+B$ 。それらの

どれをチェック

x

$x$ します; そして再帰。これにより、

ようなものが得られます

O (n \lg^{2} n)

$O(n \lg^2 n)$ 。

— DW

@DWこれは単一の

目撃者のみを見つけることができます

x

$x$ が、

各要素の目撃者が必要です

A + B

$A+B$ 。（私の言葉遣いは不明のようですので、私はちょうど質問を更新）

— チャオ徐

しかし、O（n polylog n）ソリューションに興味がありますか？

— サリエルハーペレ

@ SarielHar-Peledはい、決定論的な

O (n p o l y l o g n)

$O(n polylog n)$ アルゴリズムにも興味があります。

— チャオ徐

回答:

ここでは、ランダム化実行時間を取得する方法を説明しています。一連の観測が必要です。 $O(n *\mathrm{polylog} n)$

証人値の数の組であるよう。LET 及び同様に定義されます。観察その係数における $v$ $(a,b) \in A \times B$ $a+b=v$ $P_A(x) = \sum_{i \in A} x^i$ $P_B(x)$ $x^v$ は、値の目撃者の数です。 $P_A(x) * P_B(x)$ $v$
仮定単一証人有する、多項式考える。明らかに、係数におけるであり、そのようなものとして、我々は今対知っている $v$ $(a,b) \in A \times B$ $Q_A(x) = \sum_{i \in A} i*x^i$ $x^v$ $Q_A(x)*P_B(x)$ $a$ $(a,v-a)$ これで完了です。
それで、私たちは単一の証人がいるというケースで終わりました。が目撃者持っている場合を考えてください。してみましょう $v$ $k$ $(a_1, b_1),\ldots, (a_k,b_k)$ 。ことを観察する $i(k) = \lceil{\lg \sqrt{k}}\rceil$ 。次に、、、場合、各要素が確率選択されるように、ランダムサンプルとします。。確率は $2^{i(k)-1} \leq \sqrt{k} \leq 2^{i(k)}$ $R_j = (A_j, B_j)$ $j=1,\ldots, m$ $m=O(\log n)$ $A$ $A_i$ $p = 1/2^{i(k)}$ $v$ 単一の証人は $R_j$ 、証人は、数字の互いに素な対が（あるので、各対の和であるので、）。それことを確認することは容易である一定であるの値とは無関係。そのため、高い確率で、サンプルつにが1つの証人を持っている必要があります。したがって、上記のように、そのようなサンプルに関連付けられた2つの多項式を計算することにより、 $\alpha = \binom{k}{1}p^2 (1-p^2)^{k-1}$ $v$ $\alpha$ $(0,1)$ $k$ $v$ $R_1, \ldots, R_{m}$ 時間（サンプルごと）、FFTを使用して、これを一定時間で決定できます。 $O(n \log n)$
ほぼ完了です。解像度のためのランダムサンプル上に計算。そのような解像度ごとに、ランダムサンプルと関連する多項式を計算します。また、および関連多項式を計算します。この前処理は単純に取りが、ファクターをもう少し慎重にすると除去できるはずです。 $i=1,\ldots, \lceil\lg n\rceil$ $A$ $B$ $O(n \log^3 n)$ $\log n$
アルゴリズム：すべての値について、多項式して、一定時間内にいくつの証人、たとえばkが存在するかを計算します。次に、の関連データ構造に移動します。次に、それを単一の証人として持つランダムサンプルを見つけ、一定の時間でこの証人であるペアを抽出します。 $v$ $Q_A(x)*P_B(x)$ $i(k)$
奇妙なことに、前処理時間はですが、目撃者が見つかるとすぐに検索を停止できるため、目撃者自身を見つけるのに予想される時間はだけです。これは、このアルゴリズムが改善可能であることを示唆しています。特に、場合、生成される多項式は非常にまばらであり、FFTをはるかに高速に実行できるはずです。 $O(n \log^3 n)$ $O(n)$ $i(k) \ll \lg n$

— サリエル・ハー・ペレド
ソース

OK、私は本当にサリエルが答えを得るべきだから待っていましたが、私は待つのにうんざりしているので、ここでほぼ線形のランダム化アルゴリズムでの私のカットです。

サンプルを選択して点、、元の問題からの各和が部分問題の一つ（に一意に表されている一定の確率を有するような部分問題の対数を取得することができサンプリングにより、予想される表現の数が1近くに削減されます。 $n(1-\epsilon)^i$ $i=0,1,\dots$
サンプリングプロセスを対数回数繰り返すことにより、すべての合計に高い確率で一意の表現を持たせることができます。
あなたのパーティションがある場合はと 2つのサブセットに、4で数を乗算における部分集合の一つの番号に2を加算することにより、次にとにおけるサブセットのいずれかの番号に1を加え、次のことができ加数の2つのサブセットのどちらが得られるかを達成可能な合計のmod-4値から読み取ります。 $A$ $B$ $A$ $B$
パーティションプロセスを対数で繰り返すことにより、サブ問題の値またはインデックスのバイナリ表現の各ビット位置を使用して各ステップでパーティションを選択することにより、一意に表現される合計の合計を一意に識別できます。

これにより、実行時間は3つの対数要因によって増大します。おそらくそれは減らすことができます。

— デビッド・エップスタイン
ソース

ハハ;）。私は...それを書くの真ん中にあった、その後、昼食に行ってきました

— サリエルのHar-Peledは、

この答えは、決定的アルゴリズムを提供します。 $O(n~\mathrm{polylog} n)$

SarielとDavidのアルゴリズムは、この論文と同様のアプローチでランダム化を解除できるようです。[2]プロセスを進めながら、この結果を暗示するより一般的な問題があることを発見しました。

$k$

$S_1,\ldots,S_n \subset \{1,\ldots,m\}$ $Size$ $Sum$ $Q$

$Size(Q)$ $(|S_1\cap Q|,|S_2\cap Q|,\ldots,|S_n\cap Q|)$

$Sum(Q)$ $(\sum_{s\in S_1\cap Q} s,\sum_{s\in S_2\cap Q} s,\ldots,\sum_{s\in S_n\cap Q} s)$

$k$ $n$ $S_1',\ldots,S_n'$ $S_i'\subset S_i$ $|S_i'|=\min(k,|S_i|)$ $i$

$f$ $f=\Omega(m+n)$ $O(f k \log n~\mathrm{polylog}(m))$

$1$ $S_1,\ldots,S_{2n}\subset \{1,\ldots,2n\}$ $S_i = \{a|a+b = i, a\in A, b\in B\}$

$\chi_Q(x) = \sum_{i \in Q} x^i$ $I_Q(x) = \sum_{i \in Q} i x^i$

$x^i$ $\chi_Q\chi_B(x)$ $|S_i\cap Q|$ $I_Q\chi_B(x)$ $\sum_{s\in S_i\cap Q} s$ $O(n\log n)$

$O(n~\mathrm{polylog}(n))$

[1] Yonatan Aumann、Moshe Lewenstein、Noa Lewenstein、Dekel Tsur：ピーリングによる証人の発見。アルゴリズム7（2）のACMトランザクション：24（2011）

[2] Noga Alon、Moni Naor：ランダム化解除、ブール行列乗算の証人、および完全なハッシュ関数の構築。Algorithmica 16（4-5）（1996）

— チャオ・シュ
ソース