階層定理のない複雑なクラス分離

階層定理は基本的なツールです。それらのかなりの数が以前の質問で収集されました（どのような階層や階層定理を知っていますか？を参照）。いくつかの複雑なクラス分離は、階層定理から直接続きます。そのようなよく知られた分離の例：、、、。 $L\neq PSPACE$ $P\neq EXP$ $NP\neq NEXP$ $PSPACE\neq EXPSPACE$

ただし、すべての分離が階層定理に従うわけではありません。非常に簡単な例は、です。が多項式変換に関して閉じているのに対し、はそうではないため、それらのいずれかに他の要素が含まれているかどうかはわかりませんが、それらは依然として異なります。 $NP\neq E$ $NP$ $E$

階層定理に直接従わない均一なクラスの、より深く、無条件で、相対化されていない複雑さのクラス分離はどれですか？

cc.complexity-theory complexity-classes hierarchy-theorems

— アンドラス・ファラゴ
ソース

を分離と呼ぶのは少し珍しいと思います。また、それらの不平等はささいな理由によるものであり、興味深いことは何も言いません。大規模な複雑度クラスの興味深い複雑度クラスの分離はすべて、ある時点で階層定理（および対角化）に依存しています。

N P \neq E

$NP\neq E$

— カベ14

確かに、を分離と呼ぶのは珍しいことです。これは些細な理由で成り立っています。階層定理が不要な単純な例を示すためだけに取り上げました。

N P \neq E

$NP\neq E$

— アンドラスファラゴ14

errは、NPの証明は！= Eはない階層定理に依存します！動作方法は、最初にNP = Eを想定し、次にNPのクロージャープロパティを使用してそのE = EXPを推定し、それによって時間階層定理に違反することです。

— スコットアーロンソン14

ありがとう、スコット、あなたは完全に正しい。は正しい例ではありませんでした。回答の中でより良いものを投稿しました。

N P \neq E

$NP\neq E$

— アンドラスファラゴ14

E \subseteq N P \subseteq A C^{0} \circ N P \subseteq A C^{0} \circ E \subseteq E X P

$E \subseteq NP \subseteq AC^0\circ NP \subseteq AC^0 \circ E \subseteq EXP$

E ⊊ E X P

$E \subsetneq EXP$

回答:

間違って表示されることを望みますが、現在、階層定理の1つに最終的に基づいていない均一な下限があるとは思いません。均一性をどのように活用するかについての現在の理解は、その意味では本当に非常に限られています。

一方、階層定理から直接は従わないが、他の巧妙なトリック、テクニック、結果と組み合わせて階層定理を使用する多くの統一された下限があります。

$\mathsf{CSL} \not\subseteq \mathsf{DTIME}(n)$ [ Hopcroft-Paul-Valiant ]。それらがあることを証明（それらの証拠の非対角部分）、その後は、実際に使用することとスペース階層の組み合わせ。それらの結果+スペース階層は、も意味します。 $\mathsf{DTIME}(n) \subseteq \mathsf{DSPACE}(n/\log n)$ $\mathsf{CSL} = \mathsf{NSPACE}(n)$ $\mathsf{DSPACE}(n) \nsubseteq \mathsf{DTIME}(n)$
充足可能性の時間と空間のトレードオフ（たとえば、Bus-Williamsの紹介とその中の参考文献を参照）
$\mathsf{DTIME}(n) \neq \mathsf{NTIME}(n)$ [ Paul-Pippinger-Szemeredi-Trotter ]。決定論的な時間階層と組み合わせて、より高速な4代替マシンによる決定論的な超線形時間マシンの自明でないシミュレーションを使用します。
パーマナントの均一な下限[ Allender、Allender-Gore、Koiran-Perifel ]
$\mathsf{NEXP} \not\subseteq \mathsf{ACC}^0$ [ ウィリアムズ ]（技術的にはこれは不均一な下限ですが、非決定的な時間階層と組み合わせて巧妙なアイデアの束を使用します）

— ジョシュア・グロチョウ
ソース

分離であるによってSmolenskyあなたが探している何か？ $\mathsf{AC}^0\subsetneq\mathsf{TC}^0$

— アルネ
ソース

ありがとう、それは素晴らしい結果ですが、回路クラスではなく、

クラスの分離を探しています。

u n i f o r m

$uniform$

— アンドラス・ファラゴ

@AndresFarago：ユニフォームAC ^ 0もユニフォームTC ^ 0に適切に含まれています。

— エミールイェジャベクはモニカをサポートします14

@EmilJeřábek：ユニフォーム

がユニフォーム

適切に含まれているという証拠がありますが、これはまだ非ユニフォームステートメントを証明していませんか？（そうでない場合、あなたの例は不均一な下限が均一な下限よりも強いという一般原則に該当するように思われ、OQはそのような回答を避けようとしていたと思います...）

{A C}^{0}

$\mathsf{AC}^0$

{T C}^{0}

$\mathsf{TC}^0$

— ジョシュアグロチョウ14

証明の不均一性は、これらがかなりの組み合わせ/代数的理解を持っているかなり小さなクラスであるという事実に二次的であると思います。すなわち、私たちはそれらを十分に理解して、それらの中にないオブジェクトを直接構築します。より大きなクラスの場合、そのような理解はありません。したがって、私たちが知っている唯一の方法は、そのようなオブジェクトを構築するためにクラス全体に対して対角化を行うことです。

— カベ14

別の重要な例は、平均的なケースの複雑さの領域から来ています。Rainer Schulerは、彼がと呼ぶクラスの興味深い特性を証明します。 $P_{P-comp}$ 。[1]を参照してください。

は、すべての多項式時間計算可能（P計算可能）分布平均の多項式時間で受け入れられる言語のクラスです。当然のことながら、保持し、決定論polytimeアルゴリズムの存在は、それが平均的に効率的なままであることを意味するので、無入力分布が何であるかを問わ。ただし、すべてのP計算可能な入力分布の平均多項式時間で実行される条件は、を疑うのに十分強いようです $P_{P-comp}$ $\mu$ $\mu$ $P\subseteq P_{P-comp}$ 。 $P_{P-comp}=P$

驚くべきことに、シュラーは、言語があることを証明チューリング完全のためのものである、、であり、 $L\in P_{P-comp}$ $E$ これは、無条件の分離意味します。後者はまた、時間階層定理から得られる事実使用しますが、新規パート（*）はさまざまなツールに基づいて構築されます。

E \subseteq P^{P_{P - c o m p}} （ * ）

$E\subseteq P^{P_{P-comp}}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; (*)$

P_{P - c o m p} \neq P

$P_{P-comp}\neq P$

E \neq P

$E\neq P$

参照：

[1] R. Schuler、「平均多項式時間の真理値表閉包とチューリング閉包は、EXPで異なる尺度を持っています」、CCC 1996、pdf

— アンドラス・ファラゴ
ソース