ソートネットワークの多項式で多数の0-1シーケンスをソートするのに十分ですか？

0-1の原則では、ソートネットワークがすべての0-1シーケンスで機能する場合、任意の数値セットで機能するということです。ある、ネットワークがSからのすべての0-1シーケンスを並べ替えた場合、それはすべての0-1配列とのサイズソートするような多項式である？ S $S\subset \{0,1\}^n$$S$$n$

たとえば、最大であるすべてのシーケンスで構成さの1の実行（間隔）、その後、ソーティングネットワークNとのすべてのメンバーならばNによって順序付けされていないシーケンスがあり N順に並んでいますか？2 $S$$2$$S$

回答：回答とそのコメントからわかるように、答えは、ソートされていないすべての文字列に対して、他のすべてのストリングをソートするソートネットワークがあるということです。これの簡単な証明は次のとおりです。文字列、が常におよびます。以来ソートされていないで、ソート後する必要があります。をすべてのと比較します。次に、とようにすべてのペア比較しますs i = 0 i < k s k = 1 s s k 0 k i s i = 1 （i 、j ）i ≠ k j ≠ $s=s_1\ldots s_n$$s_i=0$$i<k$$s_k=1$$s$$s_k$$0$$k$$i$$s_i=1$$(i,j)$$i\ne k$$j\ne k$何度も。この葉全体の文字列は、のために、おそらく除いて、ソートための未ソートである、、そしてより多くの持っているその他の特定の文字列を以上の。今すぐ比較するためにとdownto位以外に行くべき。これはを除くすべてをソートします。 s 1 s s k i = n 1 s k s $s_k$$s$$1$$s$$s_k$$i=n$$1$$s_k$$s$$s$

更新：ネットワークの深さをに制限するとどうなりますか。$O(\log n)$

そうではないようです。 イアンParberryは、参照することにより、彼らはおそらくビット列が、1つ、およびソーティングネットワークの検証の問題であることをさらにを推論ごとにソートし、ソートネットワークの再帰的な構築与えるチョンとRavikumarの論文に - N Pが完全に。元の論文はすぐには見つかりませんが、確かに（私の）直感と一致します。$co$$NP$

編集して追加：実際には、1つの文字列だけが欠落しているネットワークを見つけるのは非常に簡単です。見逃すことの文字列になります。これで、最後のn − 1ビットをソートしてから、最初のn − 1ビットをソートする回路が必要になります。この回路は、少なくとも2つの1ですべてをソートし、明らかにすべてゼロのストリングをソートし、0で始まるストリングをソートします。$(1,0,\ldots,0)$$n-1$$n-1$$1$$0$