複雑さのクラス演算子の良いリファレンス？

複雑なクラス演算子について記述するときに参照できる良い説明的な記事や調査があるかどうかに興味があります。

演算子の例

以下は、回答で説明できる最低限の演算子のリストとして解釈できます。ここで、 $\mathbf C$ は任意の有限アルファベット上の任意の言語セットです。 $\Sigma$

$\exists \mathbf C := \left\{ L \subseteq \Sigma^\ast \,\left|\, \begin{array}{l} \exists A \in \mathbf C \;\exists f \in O(\mathrm{poly}(n))\;\forall x \in \Sigma^\ast: \\\quad \bigl[x \in L \iff \exists c \in \Sigma^{f(|x|)}: (x,c) \in A \bigr] \end{array} \right\}\right.$

オペレータが明らかに記法とはいえ、ワーグナー[1]によって導入されましたではなく。この方法で構築されたクラスの最も有名な例は、です。この演算子は、Aの相補的数量詞が付属していた、定義には、により置換されて、例えば：一つは簡単に全体の多項式階層を定義することができ、。これはおそらく定義された最初の演算子かもしれません。 $\exists$ $\bigvee\! \mathbf C$ $\exists \mathbf C$ $\mathsf{NP} = \exists \mathsf P$ $\forall$ $\exists c$ $\forall c$ $\mathsf{\Sigma_2^P P = \exists \forall P}$

$\oplus \mathbf C := \left\{ L \subseteq \Sigma^\ast \,\left|\, \begin{array}{l} \exists A \in \mathbf C \;\exists f \in O(\mathrm{poly}(n)) \;\forall x \in \Sigma^\ast: \\ \quad\bigl[x \in L \iff \#\{ c \in \Sigma^{f(|x|)}: (x,c) \in A \} \not\equiv 0 \pmod{2}\bigr]\end{array} \right\}\right.$

$\oplus$ オペレータが同様である $\exists$ という点でオペレータを $\oplus\mathbf C$ クラスに検証可能であるが存在証明書の数に関する $\mathbf C$ 、その代わりにcertficiates数はモジュロカウント $2$ 。これを使用して、クラス $\mathsf{\oplus P}$ およびを定義できます $\mathsf{\oplus L}$ 。同様の演算子「 $\mathsf{Mod_k \cdot}$ 」が他のモジュライ存在し $k$ ます。

$\mathsf{co}\mathbf C := \Bigl\{ L \subseteq \Sigma^\ast \,\Big|\, \exists A \in \mathbf C \;\forall x \in \Sigma^\ast: \bigl[x \in L \iff x \notin A \bigr] \Bigr\}$

これは補完演算子であり、暗黙的に、、、および補数の下で閉じられることが知られていないクラスのその他のクラスの定義に使用されます。 $\mathsf{ coNP}$ $\mathsf{coC_=P}$ $\mathsf{coMod_kL}$

$\mathsf{BP}\cdot\mathbf C := \left\{ (\Pi_0, \Pi_1) \,\left|\, \begin{array}{l} \Pi_0, \Pi_1 \subseteq \Sigma^\ast \;\mathbin\&\; \exists A \in \mathbf C \; \exists f \in O(\mathrm{poly}(n))\;\forall x \in \Sigma^\ast: \\ \quad\left[\begin{array}{l} \bigl(x \in \Pi_0 \Leftrightarrow \#\{c \in \Sigma^{f(|x|)}: (x,c) \in A \} \leqslant \tfrac{1}{3} {|\Sigma^{f(|x|)}|} \bigr) \mathbin\& \\ \bigl(x \in \Pi_1 \Leftrightarrow \#\{c \in \Sigma^{f(|x|)}: (x,c) \in A \} \geqslant \tfrac{2}{3} {|\Sigma^{f(|x|)}|} \bigr) \end{array}\right]\end{array}\right\}\right.$

—間隔についておologiesび申し上げます

演算子は、明らかに言語を定義するためにもかかわらず、Schöning[2]によって導入された（彼は確率ギャップを許可しなかったIE）と明示的定数を使用せずたまたは。ここでの定義では、代わりにpromise-problemsが生成され、YES-instancesおよびNO-instancesがます。および注意してください。この演算子は、戸田と [3]がを示すために使用されました。 $\mathsf{BP}$ $\tfrac{1}{3}$ $\frac{2}{3}$ $\Pi_1$ $\Pi_0$ $\mathsf{BPP = BP\cdot P}$ $\mathsf{AM = BP\cdot NP}$ $\mathsf{P^{\#P} \subseteq BP\cdot\oplus P}$

備考

標準クラスの定義から抽象化できるその他の重要な演算子は、（クラスおよび）および（クラスおよび）。ほとんどの文献では、（決定クラスから関数の問題を生成する）および（決定クラスからカウントクラスを生成する）も複雑な演算子であることが暗示されています。 $\mathsf{C_= \cdot\mathbf C}$ $\mathsf{C_= P}$ $\mathsf{C_= L}$ $\mathsf C\cdot\mathbf C$ $\mathsf{PP}$ $\mathsf{PL}$ $\mathsf{F\cdot}$ $\#\cdot$

BorchertとSilvestri [4]による記事があり、各クラスの演算子を定義することを提案していますが、文献ではあまり言及されていないようです。また、そのような一般的なアプローチには微妙な定義上の問題があるかもしれないと心配しています。彼らは順番に、ケブラー、シェーニング、およびトーラン[5]による優れたプレゼンテーションに言及していますが、現在は20歳以上であり、も見逃しているようです。 $\oplus$

質問

複雑度クラスの演算子の参考になるのはどの本または記事ですか？

参照資料

[1]：K.ワーグナー、簡潔な入力表現の組み合わせ問題の複雑性、Acta Inform。23（1986）325–356。

[2]：U.Schöning、確率的複雑度クラスおよび低さ、Proc。複雑性理論の構造に関する第2回IEEE会議、1987年、2-8ページ。J. Computでも。System Sci。、39（1989）、pp。84-100。

[3]：S. TodaおよびM. Ogiwara 、カウントクラスは、少なくとも多項式時間階層と同じくらい難しい、SIAM J. Comput。21（1992）316–328。

[4]：B.およびBorchert 、R。Silvestri 、ドット演算子、Theoretical Computer Science Volume 262（2001）、501–523。

[5]：J.Köbler、U。Schöning、およびJ.Torán、The Graph Isomorphism Problem：its Structural Complexity、Birkhäuser、Basel（1993）。

reference-request complexity-classes

— ニール・ド・ボードラップ
ソース

複雑さ演算子の概念の注目に値する前身は、[6]の取り扱いです。S。ザチョス、確率的数量化子、敵対者、および複雑さクラス：概要、 Proc。1986年、カリフォルニア州バークレーの複雑性理論の構造に関する会議（pp.383--400）で、上記のシェーニング[2]がに関連して引用しています。

B P \cdot N P

$\mathsf{BP\cdot NP}$

— ニールドボードラップ14年

再びザチョスによって、これも役立つかもしれません：組み合わせの複雑さ：複雑さのクラスの演算子

— アレッサンドロコセンティーノ14年

@NieldeBeaudrap Zachosは、複雑度クラス演算子の概念を最初に思いついたものです。彼の講義から、彼がこれを明示的に述べたことを思い出します。また、圧倒的多数のためのます。

\exists^{+}

${\exists^+}$

— Tayfunペイ

@TayfunPay：実際、数量化子は、シェーニングが説明した方法ではなく[上記]の[6]で説明した両側形式を使用しているにもかかわらず、を説明するのに役立ちます。

\exists^{+}

$\exists^+$

B P \cdot

$\mathsf{BP\cdot}$

— ニールドボードラップ14年

@NieldeBeaudrapまた、境界のない両側エラーを定義するために使用できるものもあります。

\exists_{1 / 2}

${\exists _{1/2}}$

— Tayfunペイ

回答:

以下に、演算子の多くの定義を含むリファレンスを示します（ただし、詳細はそれほど多くありません）。

S.ザチョスとA.パゴルツィス、組み合わせの複雑さ：複雑さのクラスの演算子、第4回パンヘレニックロジックシンポジウムの議事録（PLS 2003）、テッサロニキ、2003年7月7〜10日。

アイデンティティ演算子、および演算子 -、（上記の対応）、、（有界の両面エラー）、、（一意の受け入れ遷移を伴う対応）、（非両面エラーに対応）、および（クラスは形成します））。 $\mathcal E$ $\mathsf{co}$ $\mathsf{N}$ $\exists$ $\mathsf{BP}$ $\mathsf{R}$ $\oplus$ $\mathsf U$ $\mathsf P$ $\Delta$ $\mathbf C$ $\mathbf C \cap \mathsf{co}\mathbf C$
次のことを示しています。
1. $\mathcal E$ は、構成[定義1]に関するアイデンティティ要素です。
2. $\mathsf{co}$ -自己逆です[定義2]。
3. $\mathsf{N}$ は等です[定義3] —暗黙的に、、、、、およびも等です。 $\mathsf{BP}$ $\mathsf{R}$ $\oplus$ $\mathsf U$ $\mathsf{P}$
4. $\mathsf{BP}$ およびは -[定義4および8]と通勤しますが、は -[定義6] との右構成では不変です。 $\mathsf{P}$ $\mathsf{co}$ $\oplus$ $\mathsf{co}$
5. 上記の演算子はすべて単調です（つまり、上記のすべての演算子）： ${\mathbf C_1 \subseteq \mathbf C_2} \implies {\mathcal O\cdot\mathbf C_1 \subseteq \mathcal O\cdot\mathbf C_2}$ $\mathcal O$

全体を通して、これらの演算子が、、、などの従来の複雑度クラスに関連するいくつかの方法についても説明しています。 $\mathsf{\Sigma^p_2 P}$ $\mathsf{ZPP}$ $\mathsf{AM}$ $\mathsf{MA}$

— アレッサンドロ・コセンティーノ
ソース

複雑さの演算子の概念への入門的な参照として（およびアイデアのいくつかのアプリケーションを示す）、私がこれまでに見つけた最高のものは

D.コーゼン、計算理論（Springer 2006）

これは、計算の複雑さと関連トピックに関する講義ノートから派生しています。187ページ（「補足講義G：戸田の定理」）、彼は演算子を定義します。

（クラスように、限定された片側エラーがあるランダムな証明書の場合） $\mathsf R$ $\mathsf{RP}$
（境界エラーのあるランダムな証明書については、上記を参照） $\mathsf{BP}$
（無制限のエラーを含むランダムな証明書の場合、上記の備考のを参照） $\mathsf P$ $\mathsf C$
（奇数の証明書については、上記を参照） $\oplus$
（多項式長証明書、CFの存在を上記） $\Sigma^{\mathrm{p}}$ $\exists$
（が存在する -length証明書、CF上記） $\Sigma^{\mathrm{log}}$ $O(\log n)$ $\exists$
と（に対して相補演算子及び：で発言参照上記） $\Pi^{\mathrm{p}}$ $\Pi^{\mathrm{log}}$ $\Sigma^{\mathrm{p}}$ $\Sigma^{\mathrm{log}}$ $\forall$
（カウントクラスの定義、上記の備考を参照） $\#$

そして、暗に定義、通常の方法で12ページ。 $\mathsf{co\text-}$

これらの演算子のKozenの扱いは、「通常の」複雑度クラスとの関係を示し、戸田の定理を説明するのに十分ですが、それらの関係についてはあまり説明せず、合計で6ページしか言及していません（結局のところ）より広いトピックをカバーする本）。誰かがこれよりも良いリファレンスを提供できることを願っています。

— ニール・ド・ボードラップ
ソース