理論計算機科学

理論計算機科学者および関連分野の研究者のためのQ&A

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短くて太いパスを見つける
動機：標準の拡張パスmaxflowアルゴリズムでは、内側のループは、有向の重み付きグラフでソースからシンクへのパスを見つける必要があります。理論的には、不合理なエッジキャパシティが存在する場合でもアルゴリズムが終了するためには、検出したパスに制限を加える必要があることはよく知られています。たとえば、Edmonds-Karpアルゴリズムは、最短経路を見つけるように指示します。 経験的に、太いパス（これにはもっと良い用語がありますか？）のパスも見つけたいと思うかもしれません。たとえば、容量スケーリングを使用する場合、少なくとものフローに耐えられる最短パスを見つけます。パスの長さに制限はありません。パスが見つからなくなったら、を減らして繰り返します。ϵεϵ\epsilonεϵ\epsilon max-flowの非常に具体的なアプリケーションの拡張パスの選択を最適化することに興味があり、短いパスと太いパスの間のこのトレードオフを調査したいと思います。（注：常に問題を解決する必要はありません。最短のウォールタイムでフローの最大の下限を見つけることに最も興味があります。） 質問：最短経路アプローチと容量スケーリングアプローチの間を補間する標準的な方法はありますか？つまり、理想的には、いくつかのパラメータが、太さとトレードオフするパスの長さを制御する、短くて太いパスを見つけるアルゴリズムがありますか？極端な場合は、一方の端で最短パスを、もう一方の端で容量スケーリングスタイルのパスを回復できるようにしたいと考えています。
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可逆多項式回路多項式可逆回路とは？
私の質問は、効率的に計算可能な全単射関数についてです。非公式に私は興味があります： 全単射が多項式時間で計算できる場合、多項式ゲートの多項式数で計算できますか？ 私は関連する質問のリストをチェックしましたが、これは見つかりませんでした。私の正確な設定は正統派かもしれないし、そうでないかもしれないので、私の定義を含めます。問題は研究レベルだと思いますが、間違っていることが証明されて嬉しいです。 LET。いくつかの有限について、ゲートを要素として定義しましょう。有限、を定義し、を定義します。2つのゲートのは、 for定義される順列、ここで、は単語の連結です。ゲートのセットのための書き込みB={0,1}B={0,1}B = \{0,1\}Alt(Bn)Alt(Bn)\mathrm{Alt}(B^n)nnnNNNGN=⋃n≤NAlt(Bn)GN=⋃n≤NAlt(Bn)G_N = \bigcup_{n \leq N} \mathrm{Alt}(B^n)G∞=⋃nAlt(Bn)G∞=⋃nAlt(Bn)G_\infty = \bigcup_n \mathrm{Alt}(B^n)π1∈Alt(Bm),π2∈Alt(Bn)π1∈Alt(Bm),π2∈Alt(Bn)\pi_1 \in \mathrm{Alt}(B^m), \pi_2 \in \mathrm{Alt}(B^n)π=π1|π2π=π1|π2\pi = \pi_1 | \pi_2Bm+nBm+nB^{m+n}π(u⋅v)=π1(u)⋅π2(v)π(u⋅v)=π1(u)⋅π2(v)\pi(u \cdot v) = \pi_1(u) \cdot \pi_2(v)u∈Bm,v∈Bnu∈Bm,v∈Bnu \in B^m, v \in B^n⋅⋅\cdotGGG⌈G⌉⌈G⌉\lceil G \rceil for the smallest subset of ⋃nAlt(Bn)⋃nAlt(Bn)\bigcup_n \mathrm{Alt}(B^n) containing the identity maps and closed …
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モジュラー分解グラフのソース
グラフのモジュール分解を導入する場合、ほとんどの作成者は11頂点グラフを使用します。これは、私がウィキペディアからコピーしたものです。 問題は、その元の設計者が誰であるかです。（ウィキペディア用にこのグラフを描いたのは誰かではなく、元のソースです。） ウィキペディアのページは2006年12月に作成されました。最初に見つけたソースは、2006年5月17日付のクリストフポールのハビリテーションの論文です（集中的に検索していません）。
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平方根問題の和の上限の証明
[1]では、Gareyら。ユークリッドTSPのNP完全性を計算する過程で、後で平方根問題の和と呼ばれるものを特定します。 整数a1、 a2、… 、 aんa1,a2,…,ana_1, a_2, \ldots, a_nおよびLLL与えられると、a1−−√+ a2−−√+ ⋯ + aん−−√&lt; La1+a2+⋯+an&lt;L\sqrt{a_1} + \sqrt{a_2} + \cdots + \sqrt{a_n} < L 彼らは、合計をLLLと十分に比較するために平方根の計算に必要な精度の最小桁数が明確でないため、この問題がNPにあることは明らかではないことを認めています。しかし、それらは、アッパーの結合知られている最良の引用ないO （m 2ん）O(m2n)O(m2^n)メートルmm「オリジナルのシンボリック表現の桁数」です。残念ながら、この上限はAM Odlyzkoからの個人的なコミュニケーションにのみ起因します。 誰かがこの上限を適切に参照していますか？または、公開された参照がない場合は、証明または証明スケッチも役立ちます。 注：この限界は、Bernikelらのより一般的な結果の結果として推測された可能性があると思います。al。[2]算術式のより大きなクラスの分離境界に関する2000年頃。私は、より同時期の参照（つまり、1976年頃に知られているもの）や平方根の合計の場合に特化した証明に主に関心があります。 ギャリー、マイケルR.、ロナルドL.グラハム、デビッドS.ジョンソン。「いくつかのNP完全な幾何学的問題。」コンピューティング理論に関する第8回ACMシンポジウムの議事録。ACM、1976。 バーニケル、クリストフ、他。" 部首を含む算術式のための強力で簡単に計算可能な分離。" Algorithmica 27.1（2000）：87-99。
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アルゴリズムの複雑さの隠された定数
多くの問題で、漸近的な複雑性が最も高いアルゴリズムには、大きなO表記法によって隠されている非常に大きな定数係数があります。これは、行列乗算、整数乗算（具体的には、Harveyおよびvan der Hoevenの最近のO（n log n）整数乗算アルゴリズム）、低深度ソートネットワーク、およびグラフマイナーの検出で発生し、いくつかを作成します。このようなアルゴリズムは、銀河アルゴリズムと呼ばれることもあります。 一般的なソートや整数加算などの他のアルゴリズムの場合、アルゴリズムは最適な漸近的な複雑さと小さな定数係数で知られていることに注意してください。 前者のアルゴリズムを後者のアルゴリズムから分離するために、理論的な観点からどのような研究が行われましたか？ 計算の異なるモデル間の違いを隠すために、隠された定数がしばしば省略されることを知っています。ただし、多種多様なモデルの下では、これらの銀河アルゴリズムは、たとえば10億サイズの入力に対して漸近的に悪いアルゴリズムよりも遅くなると確信しています。場合によっては、区別が微妙ではありません。厳密にされていますか？ たとえば、非常に単純なISAを備えたフォンノイマンマシンなどの非常に単純な計算モデルを考案し、アルゴリズムを実装して、実行時間を明示的な定数で制限することができます。これはさまざまなアルゴリズムで行われましたか？
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ランダムグラフで短いサイクルを見つけるにはどのくらい時間がかかりますか？
ましょうG∼G(n,n−1/2)G∼G(n,n−1/2)G \sim G(n, n^{-1/2})上のランダムグラフである≈n3/2≈n3/2\approx n^{3/2}エッジ。非常に高い確率で、GGGは444サイクルが多数あります。私たちの目標は、これらの444サイクルのいずれかをできるだけ早く出力することです。 隣接リスト形式でGGGにアクセスできるとすると、Oで一定の確率で成功できます（√O(n−−√)O(n)O(\sqrt{n})任意のノードの選択以下の通り時間vvvランダム生成を開始222から出発-pathsをvvv。エンドポイントを共有する222つの異なる2つのパスが見つかったら、完了です。可能なエンドポイントはnnnあり、誕生日のパラドックスによって、約 √を発見した後、一定の確率で成功しますn−−√n\sqrt{n}それらの n。 もっと上手くできる？特に、一定の確率で成功する一定時間アルゴリズムは可能ですか？
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型理論/プログラミング言語理論における代数幾何学の応用
最近、代数幾何学に興味を持ち、読み始めました。私はまだこの分野についてほとんど知りませんが、それが私の主な分野、型理論、プログラミング言語と何らかの関係があるかどうか知りたいです。 代数トポロジーは型理論（ホモトピー型理論など）で多くの用途があることを知っていますが、型理論/ PL理論とAGの両方がカテゴリー理論の良い動機であることに加えて、代数幾何学についてはどうですか？
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実際にブートストラップするブートストラップ結果
TCSには、通常、ブートストラップ結果と呼ばれる種類の結果があります。一般的には、 命題あAAが成立する場合、命題あ』A′A'が成立します。 ここで、あAAとあ』A′A'は似ている命題であり、あAAはあ』A′A'ように「より弱い」ように見えます。これが、このタイプの結果に名前を付ける理由です。具体的な例をいくつか挙げましょう。 定理。 [陳とSTOC'19、教える]問題の修正Π∈{BFE,WS5,W5STCONN}Π∈{BFE,WS5,W5STCONN}\Pi \in \{\mathsf{BFE,W_{S_5},W5STCONN}\} 。毎仮定するc&gt;1c&gt;1c>1無限に多く存在d∈Nd∈Nd\in \mathbb{N}ように、TC0TC0\mathcal{TC}^0深さの回路ddd超える必要n1+c−dn1+c−dn^{1+c^{-d}}ワイヤが問題解決するΠΠ\Pi。次に、任意のd0,k∈Nd0,k∈Nd_0,k \in \mathbb{N}ΠΠ\PiTC0TC0\mathcal{TC}^0d0d0d_0nknkn^kTC0⊊NC1TC0⊊NC1\mathcal{TC}^0 \subsetneq \mathcal{NC}^1 定理。 [Gupta et al。、FOCS'13]パーマネントの計算に、特性上で、より大きいサイズの深さ算術回路が必要であるとします。次に、パーマネントを計算するには、超多項式サイズの算術回路が必要です。そのため、Valiantの推測が成立します。333nΩ(n√)nΩ(n)n^{\Omega(\sqrt{n})}000 さて、より有名だがそれほど適切ではない例は、きめ細かい複雑さから来ています： 定理。 [Backurs and Indyk、STOC'15]（RAMモデルで）時間でEDIT DISTANCEを計算できれば、現在存在するSATソルバーよりも速くSATソルバーを取得できます。O(n2−ϵ)O(n2−ϵ)O(n^{2-\epsilon}) 更新。（2019年7月10日）編集距離の例は少しわかりにくいかもしれません。「標準」の例については、ライアンの回答を参照してください。 ご想像のとおり、（私の知る限り）このタイプのすべての結果は、反対色を取ることによって証明されます（編集距離1で反対色を取っています）。したがって、ある意味これらはすべてアルゴリズムによる結果です。 通常、ブートストラップの結果を理解するには2つの方法があります。1.を証明したい場合は、を証明し、その結果を適用するだけです。2.証明あるため難しいかもしれ先験的には、我々が考える証明困難を。AAAA′A′A'AAAA 'A′A′A' 問題は、結局のところ、ブートストラップ結果の積極的な使用が存在しない場合、1つ（正確にはI）はほとんど楽観的ではなく、最初に理解する可能性があるということです。だから私の質問は が証明されているブートストラップ結果を知っていますか？AAA
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停止問題の決定不能性に基づくゲーデルの最初の不完全性定理の証明のリファレンスは何ですか？
ゲーデルの最初の不完全性定理の弱い形式、ゲーデルの方法では長く、複雑で、どこか直感に反する直接証明は、停止問題の決定不能性に基づく単純で直感的な証明を持っています -たとえば、https：/を参照してください/en.wikipedia.org/wiki/Halting_problem#Sketch_of_proof この証明を最初に提案したのは誰で、どの記事または本で最初に公開されたのですか？
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O（1）プッシュ/ポップ時間を使用して、3つのスタックを1つのアレイに実装できますか？
2つのスタックは、1つの固定サイズの配列を使用して効率的に実装できます。スタック＃1は左端から始まり、右に向かって成長し、スタック＃2は右端から始まり、左に向かって成長します。3つのスタックで同じことは可能ですか？ より具体的には、次の条件を前提として、3つのスタックを実装することは可能ですか？ N個のオブジェクトを保持できる固定サイズの配列があります。 3つのスタックサイズの合計が&lt;Nである限り、push（）は失敗しません。 push（）とpop（）の両方の操作にO（1）時間かかるはずです。 配列に加えて、O（1）の追加スペースのみを使用できます。 これらの要件を満たさないソリューションの例を次に示します。 配列を3つの固定部分に分割し、各部分をスタックに使用する（違反2）。 上記と同様ですが、スタック間の境界が移動可能です（違反3）。 単純なリンクリストベースの実装（違反4）。 それらがすべての条件（1）〜（4）を正確に満たしていない場合でも、自明ではないアルゴリズムまたは不可能性の証明を受け入れます。たとえば、プッシュ/ポップがO（1）の償却時間をとるアルゴリズム、または追加メモリはO（N）よりも小さい（例：O（log N））。または、たとえば、プッシュ/ポップごとに配列の5未満の要素にアクセスすることは不可能であることを示す不可能性の証明。
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文字列変換の非規則性を証明する方法はありますか？
言語間の変換を定義するためのいくつかの異なるモデルがあります。有限状態トランスデューサーと文字列グラフ上のMSOで定義可能なグラフ変換は、私が最もよく知っている2つです。2ウェイ有限状態トランスデューサー（1ウェイの対応物より表現力が高い）とMSOで定義可能な文字列変換は、コンビネーターを使用する他のあまり知られていないモデルとともに、同じ変換セットをキャプチャすることを知っています。このクラスの変換は規則的であると見なされるため、これらのモデルのいずれかで説明を提供できれば、変換が規則的であることを簡単に示すことができます。 変換がこのクラスの外にあると言う簡単な方法はありますか？通常の言語またはMyhill-Nerodeの定理のポンピングレンマに似ているが、文字列変換のようなものが私が探しているものです。
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最もよく知られている漸近的PCPサイズ/ 3-SAT
確率的にチェック可能な証明のサイズの最もよく知られている漸近上限は何ですか？理想的には、この幅広い質問に対する現代的な調査を探していますが、ない場合は、3-SATの近似性に特に興味があります。 7/8 +ε-3-SATを3-SATとすると、句の7/8 +εの割合が満たされる場合、インスタンスは満たされることが保証されます。nnn句を含む3-SATの7/8 +ε-3-SATへの最もよく知られている削減は何ですか？たとえば、O(nlogn)O(nlog⁡n)O(n \log n)句を使用した削減はありますか？（O(n)O(n)O(n)句は未解決の問題です。）均一な準線形サイズNCの削減？依存は何であるεεεときを含め、ε→0ε→0ε→0？既知の線形サイズはありますか（εに依存）εεε）（1-ε）-3-SATから7/8 +ε-3-SATへの削減。そうでない場合、（1-ε）-3-SATのより良い境界はありますか？部分的な答えでも面白いでしょう。 また、質問が広すぎるかもしれませんが、ここでのもう1つの重要な問題は、長いコードなどの手法のために一般に実行不可能なほど大きい、一定の要因であることを述べておかなければなりません。
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