最もよく知られている漸近的PCPサイズ/ 3-SAT

確率的にチェック可能な証明のサイズの最もよく知られている漸近上限は何ですか？理想的には、この幅広い質問に対する現代的な調査を探していますが、ない場合は、3-SATの近似性に特に興味があります。

7/8 +ε-3-SATを3-SATとすると、句の7/8 +εの割合が満たされる場合、インスタンスは満たされることが保証されます。 $n$ 句を含む3-SATの7/8 +ε-3-SATへの最もよく知られている削減は何ですか？たとえば、 $O(n \log n)$ 句を使用した削減はありか？（ $O(n)$ 句は未解決の問題です。）均一な準線形サイズNCの削減？依存は何である $ε$ ときを含め、 $ε→0$ ？既知の線形サイズはありますか（依存） $ε$ ）（1-ε）-3-SATから7/8 +ε-3-SATへの削減。そうでない場合、（1-ε）-3-SATのより良い境界はありますか？部分的な答えでも面白いでしょう。

また、質問が広すぎるかもしれませんが、ここでのもう1つの重要な問題は、長いコードなどの手法のために一般に実行不可能なほど大きい、一定の要因であることを述べておかなければなりません。

— ドミトロタラノフスキー
ソース

への削減をもたらすPCPの最先端 $(\frac{7}{8}+\varepsilon)$ $\varepsilon$ $n^{1 + o(1)}$ $\varepsilon$

$n\cdot \mathrm{poly}\log n$

— またはメイア
ソース

ありがとうございました; どちらも役に立ちました。O（1）クエリと定数エラーを含む準線形サイズのPCPが未解決の問題であることに気づきました。

— Dmytro Taranovsky

いいえ、それはベンサッソンとスーダンの仕事から実際に続きます。このようなPCPを一定以下のエラーで取得することは未解決の問題です。

— またはMeir

S A T \in P C P_{\frac{1}{2}, 1} [\log_{2} n + O (\log \log n), O (1)]

$SAT ∈ PCP_{\frac{1}{2},1}[\log_2 n + O(\log \log n), O(1)]$

1 - ε

$1-ε$

7 / 8 + ε

$7/8+ε$

それは正解です。Dinurの結果について言及するのを忘れていたので、答えに追加します。

— または、Meir