型理論/プログラミング言語理論における代数幾何学の応用

最近、代数幾何学に興味を持ち、読み始めました。私はまだこの分野についてほとんど知りませんが、それが私の主な分野、型理論、プログラミング言語と何らかの関係があるかどうか知りたいです。

代数トポロジーは型理論（ホモトピー型理論など）で多くの用途があることを知っていますが、型理論/ PL理論とAGの両方がカテゴリー理論の良い動機であることに加えて、代数幾何学についてはどうですか？

私の知る限り（これは間違いなく不完全です）、これについてはほとんど作業が行われていません。これはおそらく、比較的複雑な2つの知識体系を同化する必要があるためです。ただし、ほとんど存在しないという意味ではありません。ティエリーコカンドと彼の共同研究者は、可換代数と構成的論理の間の関係についてかなりの数の論文を書きました。

• ティエリーコカン、アンリロンバルディ。抽象代数への論理的アプローチ。

  この論文は、大学院生として私に大きな印象を与えました-証明理論とモデル理論からのアイデアを使用して、自明ではない適切な数学を実行する自信と自由な方法は、私が非常に高く評価し、今も熱望しています。

• Henri LombardiとClaudeQuittéには（無料で入手可能な）教科書、Commutative algebra：Constructive methodsがあります。

  タイトルが示すように、これは代数幾何学ではなく可換代数ですが、可換代数は代数幾何学のインフラストラクチャの多くを提供するため、これは依然として重要です。

この地域には、非常に興味深い博士論文がいくつかあります。

• AndresMörtbergの博士論文では、型理論における洗練と構成代数を形式化

  建設的な証明があれば、アルゴリズムを入手できます。この論文では、これらのアルゴリズムを効率的にすることを検討します。

• バッセル・マンナーの博士論文、構成代数と型理論における束の意味論

  この論文では、彼は建設的ニュートン・Puiseux定理の正確性、証明だけでなく、マルコフの原則の独立を。これは、階層セマンティックメソッドがジオメトリとロジックの両方にどのように適用されるかを示す良い例です。

• Ingo Blechschmidtの博士論文、代数幾何学におけるポーズの内部言語の使用、

  この論文では、スキームに関連付けられた小さなザリスキトポスの内部言語で代数幾何学の通常の証明の多くを再実行し、一種の「合成代数幾何学」を生成する方法を検討します。（彼はまた、大きなザリスキトポスを使用して「合成スキーム理論」を行います）。ご想像のとおり、topoiは一般にブール値ではないため、証明は直感的なスタイルで行う必要があります。

また、次の参照を指摘する価値があります。

• Saunders Mac Lane、Ieke Moerdijk。幾何学と論理のシーブ幾何学と論理のシーブ：topos理論の最初の紹介。

  この作業で使用される技術の多くは、トポス理論、論理、幾何学の間の接続を介して行われます。これは標準的なリファレンスですが、代わりにSteve Vickersのペーパーを通じてほとんど学びました。

これは正確にあなたが探しているものではないかもしれませんが、プログラミング言語における代数幾何学の1つのアプリケーションは線形ループの分析です：

線形ループは、次の形式の非常に単純なプログラムです。

$x=s$

$x\notin F$

$x\leftarrow Ax$

$s,x\in \mathbb Q^d$$A\in \mathbb Q^{d\times d}$$F$

$A$$\{A^ns: n\in \mathbb N\}$$A$

出発点として、軌道問題の複雑さに関する論文をご覧ください。