平方根問題の和の上限の証明

[1]では、Gareyら。ユークリッドTSPのNP完全性を計算する過程で、後で平方根問題の和と呼ばれるものを特定します。

整数$a_1, a_2, \ldots, a_n$および$L$与えられると、$\sqrt{a_1} + \sqrt{a_2} + \cdots + \sqrt{a_n} < L$

彼らは、合計を$L$と十分に比較するために平方根の計算に必要な精度の最小桁数が明確でないため、この問題がNPにあることは明らかではないことを認めています。しかし、それらは、アッパーの結合知られている最良の引用ない$O(m2^n)$$m$「オリジナルのシンボリック表現の桁数」です。残念ながら、この上限はAM Odlyzkoからの個人的なコミュニケーションにのみ起因します。

誰かがこの上限を適切に参照していますか？または、公開された参照がない場合は、証明または証明スケッチも役立ちます。

注：この限界は、Bernikelらのより一般的な結果の結果として推測された可能性があると思います。al。[2]算術式のより大きなクラスの分離境界に関する2000年頃。私は、より同時期の参照（つまり、1976年頃に知られているもの）や平方根の合計の場合に特化した証明に主に関心があります。

1. ギャリー、マイケルR.、ロナルドL.グラハム、デビッドS.ジョンソン。「いくつかのNP完全な幾何学的問題。」コンピューティング理論に関する第8回ACMシンポジウムの議事録。ACM、1976。

2. バーニケル、クリストフ、他。" 部首を含む算術式のための強力で簡単に計算可能な分離。" Algorithmica 27.1（2000）：87-99。

$S = \sum_{i=1}^n \delta_i \sqrt{a_i}$$\delta_i \in \{\pm 1\}$$2^n$$H = (max(a_i))^{n}$$S = 0$$TC^0$$S \neq 0$$0$$S$$a_i$$2^n$$S$$\sqrt{a_i}$$2^{10n}$$S$