Pの凸最適化はありますか？

フォームの凸最適化問題を考えます

\begin{aligned} f_{0} (x_{1}, \dots, x_{n}) & \to min \\ f_{i} (x_{1}, \dots, x_{n}) & \leq 0, i = 1, \dots, m \end{aligned}

$\begin{align} f_0(x_1, \ldots, x_n) &\to \min \\ f_i(x_1, \ldots, x_n) & \leq 0, \quad i = 1, \ldots, m \end{align}$

ここで、 $f_0, f_1, \dots, f_m$ は凸関数です。一般性を失うことなく、 $f_0$ は線形であると仮定できます。

NesterovとNemirovskiiは、彼らの著書「凸型プログラミングの内点多項式アルゴリズム」で、次の意味で多項式時間の凸型プログラムを解くことができるアルゴリズムがあると述べています。我々は、相対精度内で溶液を持ちたい $\varepsilon$ のコストで $O(p(n,m) \ln (n/\varepsilon))$ の値の計算と $O(q(n,m) \ln(n/\varepsilon))$ 部分勾配の計算。次に、楕円体法では、

p (n, m) = n^{3} (m + n), q (n, m) = n^{2}

$p(n,m) = n^3 (m+ n), \qquad q(n,m) = n^2$

一見すると、これは、楕円体法を使用して多項式時間で凸最適化問題を解くことができることを意味しているように見えます（簡単にするために、値と部分勾配を計算するためのオラクルは、考慮されるクラスの $O(1)$ 時間を必要とすると仮定します凸最適化問題）。

ただし、 $O(\cdot)$ 式が何らかの方法で関数 $f_i$ 依存しているかどうか、たとえば依存しているかどうかは、まったくわかりません。この場合、関数の曲率特性により、複雑さは指数関数的に増大する可能性があります。さらに、「楕円体法は実際にはうまく機能しない」と不思議に主張されています。私の質問への回答が肯定的であるか否定的であるかは、インターネットでコンセンサスがないようです。たとえば、MathOverflow に関するこの議論を参照してください。

私は見つけることができる凸最適化に関するすべての本を検索しましたが、この確かに問題に依存しているという印象を受けましたが、この推測の明確な確認は見つかりませんでした。だから私の唯一の希望は、この分野で研究をしている人々に直接尋ねることです。 $O(\cdot)$

後で開発された内点法は、自己整合バリアの概念を使用して曲率を明示的に説明しているようです。しかし、人々がこれらの方法が実際には効率的であると言うとき、彼らは通常、複雑さのレベルでこれを指定しません。

convex-optimization complexity

— セルゲイ・ドブガル
ソース

これらの問題（微妙な場合もあります）については、Groetschel、Lovasz、Schrijverによる「幾何学的アルゴリズムと組み合わせ最適化」の本で詳しく説明されています。大まかな答えは、楕円体の方法では1）ほぼ実現可能でほぼ最適な解を得るだけであり、2）実行可能領域を含む半径ボールを知る必要があり、実行時間も依存するということです。グラデーションを取得する複雑さを無視して、他の隠された依存関係があってはなりません。

R

$R$

\log R

$\log R$

— Sasho Nikolov

私の場合には、、私の直感は、バリア法は場合でも、いくつかのケースで働くことができるということであるので、。しかし、これはに関係なく多項式アルゴリズムがあるという一般的な定理がないことを意味しますか？

R = \infty

$R = \infty$

R = \infty

$R = \infty$

R

$R$

— Sergey Dovgal

「バリア法」とは、ネステロフ、ネミロフスキーらによって楕円体法の後に開発された内点型法を意味します。al。

— セルゲイドブガル

私はそれが本当だと思いますにいくらかの制限がないと、一般的な多項式時間の保証はありません。実行可能領域が無制限であるとき、多くの場合、あなたはまだ実現可能な解決策が存在する場合、最大でユークリッドノルムの1が存在することをアプリオリ表示することができます、入力のビット複雑さに依存してもよいが。その場合、原点を中心とした半径のボールと実行可能領域を単に交差させることができます。

R

$R$

R

$R$

R

$R$

R

$R$

— Sasho Nikolov

1998年、Michel X. GoemansがICMの講演を行い、この問題について次のように述べています。「半定型プログラムは、楕円アルゴリズムまたはより効率的な方法で、特定の精度内で多項式時間で解くことができます内点アルゴリズム...上記のアルゴリズムは、厳密に実行可能な解決策（または楕円アルゴリズムの一部のバージョンではわずかに実行不可能）を生成し、実際には、半定値プログラムが実行可能かどうか（正確に）を決定する問題はまだオープンです。半確定プログラミングの実現可能性の特別なケースは、平方根和問題です。この問題の複雑さは未解決のままです。」 http://garden.irmacs.sfu.ca/op/complexity_of_square_root_sum

1976年に、Ron Graham、Michael Garey、David Johnsonは、ユークリッド巡回セールスマン問題がNP完全であるかどうか（問題はNP難しいことのみを示すことができる）など、いくつかの幾何学的最適化問題を示すことができませんでした。平方根和問題が多項式時間解けるかどうかを示します。 https://rjlipton.wordpress.com/2009/03/04/ron-graham-gives-a-talk/

平方根の問題は長く開いた問題であり、学者を計算幾何学、最適化、計算の複雑さ、ゲーム理論、およびその他のいくつかの領域から困惑させます。問題の主な障害は、処理することです。平方根和問題。

この問題に対する最も顕著な進展は、エリックアレンダーと彼の共著者によるもので、2003年に、この問題がカウント階層の4番目のレベルにあることを示しました。 http://ftp.cs.rutgers.edu/pub/allender/slp.pdf

したがって、上記の事実に基づくと、楕円法と内点法では（真の）多項式時間の凸最適化問題を解くことができません。

ビッグO表記は、最悪の場合のアルゴリズムの実行時間を測定することです。ただし、実際には、最悪のケースは非常にまれなイベントである可能性があるため、実際のパフォーマンスの測定には使用できません。

— 徐英平
ソース

私の質問は再定式化する必要があると思います。SDPは明らかに凸最適化問題（凸集合に対する凸関数の最適化）ですが、私の質問は特に凸最適化の標準形を指しています。凸集合は不等式のセットによって定義されます。その特定の形式（標準形式の凸最適化はPである）に対する答えが不明であると思いますか？

— Sergey Dovgal

@SergeyDovgal私の知る限り、線形計画法は多項式時間で解けるとしか主張できません。他の凸最適化問題の場合、それらが平方根和に依存する場合、それらが真に多項式時間解けると主張することはできません。

— Rupei Xu