実際にブートストラップするブートストラップ結果

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TCSには、通常、ブートストラップ結果と呼ばれる種類の結果があります。一般的には、

命題 $A$ が成立する場合、命題 $A'$ が成立します。

ここで、 $A$ と $A'$ は似ている命題であり、 $A$ は $A'$ ように「より弱い」ように見えます。これが、このタイプの結果に名前を付ける理由です。具体的な例をいくつか挙げましょう。

定理。 [陳とSTOC'19、教える]問題の修正 $\Pi \in \{\mathsf{BFE,W_{S_5},W5STCONN}\}$ 。毎仮定する $c>1$ 無限に多く存在 $d\in \mathbb{N}$ ように、 $\mathcal{TC}^0$ 深さの回路 $d$ 超える必要 $n^{1+c^{-d}}$ ワイヤが問題解決する $\Pi$ 。次に、任意の $d_0,k \in \mathbb{N}$ $\Pi$ $\mathcal{TC}^0$ $d_0$ $n^k$ $\mathcal{TC}^0 \subsetneq \mathcal{NC}^1$

定理。 [Gupta et al。、FOCS'13]パーマネントの計算に、特性上で、より大きいサイズの深さ算術回路が必要であるとします。次に、パーマネントを計算するには、超多項式サイズの算術回路が必要です。そのため、Valiantの推測が成立します。 $3$ $n^{\Omega(\sqrt{n})}$ $0$

さて、より有名だがそれほど適切ではない例は、きめ細かい複雑さから来ています：

定理。 [Backurs and Indyk、STOC'15]（RAMモデルで）時間でEDIT DISTANCEを計算できれば、現在存在するSATソルバーよりも速くSATソルバーを取得できます。 $O(n^{2-\epsilon})$

更新。（2019年7月10日）編集距離の例は少しわかりにくいかもしれません。「標準」の例については、ライアンの回答を参照してください。

ご想像のとおり、（私の知る限り）このタイプのすべての結果は、反対色を取ることによって証明されます（編集距離1で反対色を取っています）。したがって、ある意味これらはすべてアルゴリズムによる結果です。

通常、ブートストラップの結果を理解するには2つの方法があります。1.を証明したい場合は、を証明し、その結果を適用するだけです。2.証明あるため難しいかもしれ先験的には、我々が考える証明困難を。 $A$ $A'$ $A$ $A'$

問題は、結局のところ、ブートストラップ結果の積極的な使用が存在しない場合、1つ（正確にはI）はほとんど楽観的ではなく、最初に理解する可能性があるということです。だから私の質問は

が証明されているブートストラップ結果を知っていますか？ $A$

cc.complexity-theory

— ルウィンズ
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2

ブースティング（大まかに言えば、「PACに弱い学習者がいる場合は、PAC学習者がいる」）で十分でしょうか。

— クレメントC.

@ClementC。承知しました。あなたのコメントは、「一方向関数は疑似ランダム関数ファミリーを暗示する」のような暗号のいくつかの基本的な結果を思い出させます

— Lwins '10

10

ブートストラップによって証明できる古典的な結果（および実際の下限の証明に適用可能）は、一定のに対してがある計算モデルでは、実際には、ごと。 $TIME(n) \neq TIME(n^c)$ $c > 1$ $TIME(n) \neq TIME(n^{1+\epsilon})$ $\epsilon > 0$

つまり、場合、パディング引数を繰り返し適用して、すべての定数に対してを取得できます。このような引数を使用して、さまざまなケースで既知の時間階層の定理をわずかに改善することもできます。 $TIME(n) = TIME(n^{1+\epsilon})$ $TIME(n) = TIME(n^c)$ $c$

— ライアン・ウィリアムス
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1

それは素敵な例です！IIRCの非決定的時間階層定理は、このように最初に証明されます（Cook？による）。

— Lwins、

1

それは多かれ少なかれ本当です。上記の議論の典型的なアプリケーションでは、それを「一定の」回数しか適用できません。クックはそれを「無制限」の回数適用する方法を示しています

— ライアンウィリアムズ

5

これがすべて同じ論文からのものであるため、これが重要かどうかはわかりませんが、Craig Gentryが理想的なラティスに基づく完全準同型暗号化の最初のパスで、FHEスキームを構築するために、「やや」を構築することで十分であることを最初に示します特定の特性を持つ準同型」暗号化スキーム（その復号回路は、回路が暗号化できる深さよりも浅い）。その後、彼は多くの作業を行い、そのようなやや準同型の暗号化スキームを構築する方法を示します。

— よなたんN
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4

Huangの最近の証明である感度予測は、それを暗示することを証明することを含みました。Aaronsonのブログを参照してください。 $A'$ $A$

1992年のGotsmanとLinialによる先駆的な研究から、感度予測を証明するには、次のさらに単純な組み合わせ予測を証明するだけで十分であることがわかっています。 $A$

S をサイズ次元ブールハイパーキューブサブセットとする。次に、Sに少なくともnc個の近傍を持つ点がSになければなりません。 $\{0,1\}^n$ $2^{n-1}+1$

— ビョルン・コス・ハンセン
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3

計算学習理論で頭に浮かぶのは、ブースティングです。基本的に：

PAC設定では、クラス学習器が弱い（つまり、ランダムな推測よりも「単に優れている」もの）場合、クラス（強力な）学習者を取得します。 $\mathcal{C}$ $\mathcal{C}$

通常、これは確かに弱学習器を取得することによって使用されます。

— クレメントC.
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