時間構成可能性と空間構成可能性の明確な分離？

空間構成可能であるが時間構成可能ではない関数を表示します。 $f(n)$

この問題は、複雑度クラスDTIME（f（n））とSPACE（f（n））の可能な分離に関連していますか？

cc.complexity-theory space-bounded separation

— 天劉
ソース

en.wikipedia.org/wiki/Constructible_function私の知る限り、この質問はTIME（f（n））とSPACE（f（n））には関係ありませんが、これらの2つのクラスは異なることがわかっています。「オンタイムvsスペースII」、「オンタイムvsスペースII」、「オンタイムvsスペースIII」の記事を

— ライアンウィリアムズ

簡単な観察：問題は、DTIME（f（n））∩TALLYとSPACE（f（n））∩TALLYが、いくつかの空間構成可能な関数f（n）で異なる可能性があるかどうかを尋ねることと同等であると思います。 1 ^ *のサブセットである言語のクラス。

— 伊藤剛

おっと、それらは同等ではないかもしれません。これが一方向の証明です。言語L = {1 ^ n |が存在する場合 n∈S}∈TALLY∩（SPACE（f（n））∖DTIME（f（n）））は、スペース構築可能な関数f（n）の場合、f（n）とf（n）+χ_S（n ）（ここでχ_S（n）はSの特性関数です）は空間構成可能ですが、両方が時間構成可能ではないため、少なくとも1つは空間構成可能ですが時間構成可能ではありません。

— 伊藤剛

ライアンのおかげで、あなたのコメントによって、私はTIME（f（n））がHopcroftらによるSPACE（f（n）/ log f（n））に含まれ、後者がSPACE（f（n）に適切に含まれていることを知っています））空間階層定理による。

— Tian Liu

剛のおかげで、f（n）とf（n）+χ_S（n）の両方が時間で構成可能である場合、n∈Sが最大でf（n）+1時間であるかどうか、つまりL ∈TALLY∩DTIME（f（n））、矛盾。しかし、あなたの構造は「明示的」と呼ぶことができますか？時間構成可能ではないもの、f（n）またはf（n）+χ_S（n）？すべてのnに対して値f（n）を決定できることを意味する場合、「明示的」とすると、構成は明示的です。

— Tian Liu

回答:

機能チューリングマシンがある場合、時間構成可能である入力に、関数を計算し、時間で。 $T \colon \mathbb{N} \to \mathbb{N}$ $M$ $1^n$ $x \mapsto T(|x|)$ $O(T(n))$

関数は、入力で空間の関数を計算するチューリングマシンが存在する場合、空間構築可能です。。 $S \colon \mathbb{N} \to \mathbb{N}$ $M$ $1^n$ $x \mapsto S(|x|)$ $O(S(n))$

一部のテキストでは、時間/空間構成可能な関数が減少しないことが必要です。一部のテキストでは、時間構成可能関数は満たす必要があり、スペース構成可能関数はます。一部のテキストでは、定義で表記を使用していません。 $T(n)\ge n$ $S(n)\ge \log n$ $O(\cdot)$

とにかく、およびを満たすすべての「通常の」関数は空間構成可能であるが、時間構成可能ではないことを示すのは簡単です。 $f$ $f(n)\ge \log n$ $f(n) = o(n)$

構成可能性の問題は、複雑度クラスDTIME（f（n））とSPACE（f（n））の間の可能な分離に直接関連していません。ただし、時間と空間の階層定理の記述には構成可能性が組み込まれています。例えば：

時間階層定理 場合、満たす時構成可能関数である、その後ある適切なサブセット。 $f$ $g$ $f(n)\log f(n) = o(g(n))$ $\mathbf{DTIME}(f(n))$ $\mathbf{DTIME}(g(n))$

詳細については、Arora＆Barakの本またはPapadimitriouの本を参照してください。（後者は、「適切な複雑度関数」という用語を使用して、時間と空間の両方で構成可能な関数を指します。）

— MSドゥスティ
ソース

ありがとう。ステップ/テープの二乗を正確に実行するチューリングマシンがある場合、関数は時間/空間構成可能であるという定義を好みます。もちろん、線形の時間/空間高速化定理により、これは/ textbookの定義と同等です。

— Tian Liu

Sadeq、「時間構成可能」と「空間構成可能」の定義は単語ごとに同一です。これらは、まったく同じ概念の2つの異なる名前にすぎませんか？そうでない場合は、おそらく定義を修正する必要があります。

— Yitz

それは単なるタイプミスです。

— 伊藤剛

イッツごめん。タイプミスを修正しました。

— MS Dousti 2010

$f(n)=\log n$ はスペース構成可能ですが、時間構成可能ではありません。その理由は、空間ではをバイナリ表現にマップできますが、時間マップできないためです。 $1^n$ $O(\log n)$ $O(\log n)$

— ムハンマドアルトルキスタニー
ソース

コメントと回答に感謝します。しかし、分離のために少なくとも線形である関数f（n）、つまりf（n）> = nを示すことができますか？時間構成可能な関数は、明らかな理由でn未満にはならないようです。すべての入力ビットを読み取る必要があります。そうでない場合、敵対的な引数が、関数が正しく計算されていないことを示す可能性があります。

— Tian Liu

@Tian、

は空間構成可能ですが、時間構成可能ではありません。

f (n) = n

$f(n)= n$

— Mohammad Al-Turkistany

改めて感謝しますが、入力テープの読み取りヘッドが最初は入力の最初のビットの左側にあると思いますか？その場合、入力の最後のビットを検出するには、入力後の最初のブランクに到達するまで、ヘッドがn + 1回右に移動する必要があります。次に、

は時間構成可能です。それで、関数f（n）> = n + 1によって「非トライバル」分離を与えてください？

f (n) = n + 1

$f(n)=n+1$

— Tian Liu

すべての空間構成可能関数が時間構成可能である場合、です。それを証明するために（そして、自明ではない空間構築可能であるがおそらく時間構築可能ではない関数の例を示すため）、任意の（おそらく）問題の $EXP-TIME=EXP-SPACE$ $EXP-SPACE-COMPLETE$ 、。次いで、存在する、ST DTMによって解決することができるに空間。今関数定義 $L\in EXP-SPACE$ $L\subseteq\{0,1\}^*$ $k\in\mathbb{N}$ $L$ $M$ $2^{n^k}$

f （ ん ） = {\begin{cases} 8 ん + 2 & もし （ 最初 ⌊ \sqrt[k]{⌊ ログ ん ⌋ + 1} ⌋ のビット b 私 ん （ ん ） ） \in L \\ 8 ん + 1 & そうしないと \end{cases}

$f(n)=\left\{\begin{array}{ll} 8n+2 & \mbox{if }\left(\mbox{first } \lfloor\sqrt[k]{\lfloor\log n\rfloor+1}\rfloor\mbox{ bits of } bin(n)\right)\in L\\ 8n+1 & \mbox{else} \end{array} \right.$

条件は空間で決定できるため、は空間構築可能です。が時間構成可能である場合、指数時間でを解くことができることは簡単にわかります。 $2n$ $f$ $f$ $L$

この答えは同じ考えを使用しています。

— デビッドG
ソース