理論計算機科学

理論計算機科学者および関連分野の研究者のためのQ&A

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このゲームはEXPSPACE完全ですか？
してみましょう一部のOracleへの質問をすることができます多項式時間決定論マシンである。最初はは空ですが、これは以下で説明するゲームの後で変更できます。ましょういくつかの文字列です。A A xMMMああAああAバツバツx 次のアリスとボブのゲームを考えてみましょう。最初、アリスとボブはそれぞれとドルを持っています。アリスはを望み、ボブはM A（x ）= 0を望んでいます。m B M A（x ）= 1メートルあメートルあm_AメートルBメートルBm_BMあ（x ）= 1Mあ（バツ）=1M^A(x)=1Mあ（x ）= 0Mあ（バツ）=0M^A(x)=0 ゲームのすべてのステップで、プレーヤーは 1つの文字列を追加できます。これには1ドルかかります。また、プレイヤーは自分のステップを逃す可能性があります。ああA プレーが終了するのは、両方のプレーヤーがすべてのお金を費やした場合、または一部のプレーヤーが負けの位置（現在の値で定義される）にあるときにステップを逃した場合です。Mあ（x ）Mあ（バツ）M^A(x) 質問：与えられたこのゲームの勝者を定義する問題は、m BはM、x 、mあ、mBM、バツ、メートルあ、メートルBM, x, m_A, m_B EXPSPACE-完全なタスク？ は（Aに属している場合は）多項式の長さの文字列のみを要求できるため、AliceまたはBobがAにさらに長い文字列を追加しても意味がないことに注意してください。したがって、この問題はEXPSPACEにあります。 MMMああAああA
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あなたの分野外で定期的に論文を読むことは有益ですか？
自分の分野に関係のないものも含めて、自分の分野外の論文を定期的に読むことについてどう思いますか。私の直感は、それが私自身の問題で私を助けるかもしれない全く異なる見方やテクニックを与えることができるということです。しかし同時に、新しい知識が彼自身の仕事で彼を助けなければ時間の無駄になるので、私はそれについて少し懐疑的です。 これについてどう思いますか？自分の仕事に関係のない結果を探す他の方法はありますか？TCS +シリーズについてはどうですか？
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比較の平均によるソート
比較の平均を使用する比較ベースのソートアルゴリズムはありますか？lg(n!)+o(n)lg(n!)+o(n)\mathrm{lg}(n!)+o(n) 最悪の場合の比較アルゴリズムの存在は未解決の問題ですが、予想されるすべての入力の比較。有意、それがあることであるのみの平均を浪費、最適の比較要素ごとの比較。lg(n!)+o(n)lg(n!)+o(n)\mathrm{lg}(n!)+o(n)lg(n!)+o(n)lg(n!)+o(n)\mathrm{lg}(n!)+o(n)lg(n!)+o(n)lg(n!)+o(n)\mathrm{lg}(n!)+o(n)o(n)o(n)o(n)o(1)o(1)o(1) 私はすでにそのようなアルゴリズムを持っているので、（Q / A形式を使用して）回答としてそれを含めていますが、他のアルゴリズムを含めて、そのようなアルゴリズムがすでに知られているかどうか、改善し、最悪のは追加の回答を歓迎しますケース。o(n)o(n)o(n)lg(n!)+o(n)lg(n!)+o(n)\mathrm{lg}(n!)+o(n) 以前の作業： マージソートは比較を使用します（最悪の場合でも）。 マージ挿入ソート（Ford–Johnsonソートとも呼ばれます）も比較を使用しますが、定数ははるかに小さくなります。比較ベースのソートの平均複雑度の向上（岩間和夫と照山純一による）—（1,2）挿入アルゴリズムは、以下の私の回答の一部に似ています。lg(n!)+Θ(n)lg(n!)+Θ(n)\mathrm{lg}(n!)+ Θ(n)lg(n!)+Θ(n)lg(n!)+Θ(n)\mathrm{lg}(n!)+ Θ(n)Θ(n)Θ(n)Θ(n)
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グラフ問題の仮想的な複雑さに対する共通の洞察
グラフの問題の仮説的な難しさの 2つの例を見つけました。仮説的な硬さは、いくつかの予想に反論すると、それぞれのグラフの問題のNP完全性が示唆されることを意味します。たとえば、Barnetteの予想では、3つに接続されたすべての3次平面2部グラフはハミルトニアンであるとされています。フェダーとスービは、予想に反論することは、予想のクラスのグラフ上のハミルトニアンサイクル問題のNP完全性を意味することを証明しました。 Tutteの5フロー予想は、すべてのブリッジレスグラフにはどこにもゼロがない5フローがあると述べています。Kocholは、予想が偽である場合、3次グラフがどこにもゼロでない5フローを認めるかどうかを決定する問題はNP完全であることを示しました。 対応するグラフ問題の仮説NP完全性を説明する上記の推測に対する共通の洞察はありますか？上記の意味での架空の複雑さの他の例はありますか？ PSこれは答えを得ることなくMathoverFlowに投稿されました。
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スパース完全集合とP対L
マハニーの定理は、多項式時間の多元削減のもとでスパース完全集合がある場合、P = N Pであることを示しています。（「NPのスパースコンプリートセット：ベルマンとハートマニスの推測の解決」を参照）NPNPNPP=NPP=NPP = NP 他の複雑度クラスのスパース完全セットの存在の既知の結果はありますか？特に、ログスペース多元削減でスパース完全セットがある場合、それはP = Lを意味しますか？PPPP=LP=LP = L
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高次プログラムのプログラム反転アルゴリズム
プログラム反転という用語に は複数の意味がありますが、おそらく、J。マッカーシーの1956年の著作「 AIのコンテキストでチューリングマシンによって定義された関数の反転」から始まりました。これまでに、プログラムの反転と他のフィールドとの間の多くの関係が発見されました。たとえば、可逆プログラミング（物理的および論理的）、部分評価、検証、双方向プログラミング、論理プログラミング、機械学習などです。 プログラム反転とは何ですか？最初の近似では、のようなもの：プログラムを考えると型の引数を取る し、型の結果を返す、プログラム生成「何とか」の逆である。概念はさまざまな方法で明確にできるため（そして現在もそうです）、ここでは意図的にあいまいにしています。たとえば、は単射である必要がありますか？SHOULD 、すべてを返すか、単にいくつかのように？P：A → BP:A→BP : A \rightarrow BあAABBBP− 1P−1P^{-1}PPPPPPP− 1（b ）P−1(b)P^{-1}(b)aaaP（a ）= bP(a)=bP(a) = b プログラムを逆にする一般的な方法があります。たとえば、すでにマッカーシーによって指摘されている対角化を使用したり、部分評価を使用したりしますが、効率的ではない傾向があります。また、私が精通しているプログラムの反転に関するほとんどの作業は、完全な高次のプログラミング言語（つまり -calculi）を扱っていないようです。λλ\lambda 参照リクエスト。 -calculiのプログラム反転のための明示的なアルゴリズムの最先端技術とは何ですか（高次数に制限はありません）？λλ\lambda
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停止ゲームの均衡
次の2プレーヤーゲームを考えてみましょう。 自然がランダムにプログラムを選ぶ 各プレイヤーは、自然の動きに応じて[0、無限]の数値を再生します プレーヤーの数の最小値を取り、プログラムをその数のステップ（最大）実行します（両方のプレーヤーが無限を選択した場合を除く） プログラムが停止した場合、最小数をプレイしたプレイヤーは1ポイントを獲得します。プログラムが停止しない場合、そのプレイヤーは1ポイントを失います。最小以外の数をプレイしたプレーヤーは0ポイントを獲得し、両方が無限をプレイした場合、両方のプレイヤーは0を獲得します。 （コーナーケースは、問題の精神を最もよく維持する方法で処理できます。たとえば、上部の半連続性が役立つ場合があります。） 質問：このゲームには計算可能なナッシュ均衡がありますか？ 計算可能性の要件がない場合、各プレーヤーは、プログラムが停止する正確なステップ数（またはプログラムが停止しない場合は無限大）を再生するだけです。 停止問題に対して通常の対角化の引数を試すと、混合戦略に均衡が存在することがわかります。そのため、明らかなアプローチはすぐには機能しません。多分それを微調整するいくつかの方法がありますか？ 一方、実際の閉じたフィールドの同等性は、計算可能なペイオフの有限ゲームが計算可能な均衡を持っていることを意味します。このゲームは有限ではありませんが、戦略スペースは閉じていて、ペイオフは計算可能であるため、同じトリックをグリックスバーグの定理などで適用できますか？問題は、計算可能性の要件がない場合、平衡は純粋な戦略にあるため、計算可能平衡の存在を使用して計算可能な平衡の存在を証明しようとする試みは、平衡が純粋から混合にダウングレードされる理由を説明する必要があります。 これは、人々が以前にこの正確な質問に対処したことがないかもしれないが、同じようなものを見たことがあるような問題のようです。あまりめくることができませんでしたが、精神的に何か知っている人がいたら教えてください！ 動機：自己参照が計算可能性の主要なブロックであるという一般的な直感があります。つまり、計算できない問題が何らかの形で自己参照を埋め込むということです。このようなゲームが計算可能なナッシュ均衡を持っている場合、それはその直感の証拠を提供します。 更新：明確にするために、平衡は、計算可能な実数の意味で「計算可能」である必要があります。混合戦略分布を記述する確率は、任意の精度で計算可能でなければなりません。（特定の精度のカットオフを超える確率は有限であることに注意してください。）これは、均衡戦略の任意の近似近似からサンプリングできることも意味します。
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自然数以外のセットの計算可能性の概念はありますか？
自然数以外のセットの計算可能性の概念はありますか？議論のために、で全単射する集合について考えてみましょう。NSSSNN\mathbb{N} 「はい、これらはという形式の関数ですここで、は全単射あり、は計算可能な関数 "。この定義には2つの理由で注意が必要です。 gのN → S F N → Ng∘f∘g−1g∘f∘g−1g \circ f \circ g^{-1}gggN→SN→S\mathbb{N} \to SfffN→NN→N\mathbb{N} \to \mathbb{N} 他の可算セットに対してを特権します。計算可能性の定義に関して、なぜ特別なのですか？特権ベースを参照せずに線形代数の概念の「座標フリー」定義を希望するのと同じように、特権セットを参照しないで計算可能性の「座標フリー」定義を希望します。NNN\mathbb{N}NN\mathbb{N} それはの選択についての疑問を投げかけます。特にと病理学的選択によって、矛盾を見つけることができるのではないかと思います。私が選択した場合、例えばし、いくつかの非計算全単射は、それが本当にそうである、すべての計算のために計算可能であり、？S G S = N G G ∘ F ∘ G - 1 FgggSSSgggS=NS=NS = \mathbb{N}gggg∘f∘g−1g∘f∘g−1g \circ f \circ g^{-1}fff 定義でが計算可能であることを要求するのは魅力的ですが、残念ながらそれは問題を引き起こしています。ggg 以外の可算集合の計算可能性を説明する一般的な方法はありますか？NN\mathbb{N}
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近似最大クエリのみを使用して近似argmaxを見つける
次の問題を考えてください。 んんnv1、⋯ 、vん∈ Rv1、⋯、vん∈Rv_1, \cdots, v_n \in \mathbb{R}S⊆{1,⋯,n}S⊆{1、⋯、ん}S \subseteq \{1,\cdots,n\}maxi∈Svi最高私∈Sv私\max_{i \in S} v_i この問題は簡単です。バイナリ検索を使用して、O （ログn ）O（ログ⁡ん）O(\log n)クエリでargmaxを見つけることができます。つまり、インデックスに対応するんnn葉を持つ完全なバイナリツリーを構築します。次のように、根から始めて葉まで歩きます。各ノードで、右サブツリーと左サブツリーの最大値をクエリしてから、答えが大きい側の子に移動します。葉に到達したら、そのインデックスを出力します。 この問題の次の騒々しいバージョンは私の研究で出てきました。 あり未知の値は。これらは、セットが指定され、からのサンプルが返されるクエリでアクセスできます。目標は、\ mathbb {E} [v_ {i_ *}] \ geq \ max_i v_i-1ができるだけ少ないクエリを使用して、を識別することです。（予想は、アルゴリズムのコインとノイズの多いクエリの回答の両方に依存するi_ *の選択を超えています。）V 1、⋯ 、V N S ⊆ { 1 、⋯ 、N } N（最大I ∈ S V I、1 ）I * ∈ { 1 …
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文字列の均質化の複雑さ
動機：データのバージョン管理用のツールを開発しているときに、2つの整数のセットを "比較"するアルゴリズムを検討しました。この問題を、距離の編集、スワッピングによるグループ化、最小の共通文字列パーティションへの接続があると思われる次の非常に自然な問題に減らすことができました。 問題：文字列、つまり一連の文字が与えられ、最小のコストでそれを均質化することが目標です 。つまり、類似するすべての文字が互いに隣り合うように並べ替えられたシーケンスが必要です。 許可される唯一の操作は、類似した文字のサブシーケンスを取得し、そのサブシーケンスをどこにでも移動することです。これには1ユニットかかります。 この問題の複雑さを特徴付ける助けがあれば大歓迎です！ 例： aabcdab：入力 bcd aa ab：最初のaaを「d」の直後の位置に移動した後 b bcdaaa：末尾のbを最初の位置に移動した後 結果の文字列は均一であるため、コストは2になります。 出力に関しては何の制約も受けないことに注意してください。均質である限り、特定の順序を保証する必要はありません。
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この「サブグループパッキング」ポリトープは不可欠ですか。
ましょう有限アーベル群であること、およびletでポリトープこと点であると定義さ、以下の不等式を満たします：P R Γ XΓΓ\GammaPPPRΓRΓ\mathbb{R}^\Gammaxバツx ∑g∈Gxg≤|G|xg≥0∀G≤Γ∀g∈ΓΣg∈Gバツg≤|G|∀G≤Γバツg≥0∀g∈Γ\begin{array}{cl} \sum_{g\in G} x_g \le |G| & \forall G \le \Gamma \\ x_g \ge 0 & \forall g \in \Gamma \end{array} ここで、はがサブグループであることを意味します。ある積分は？もしそうなら、その頂点を特徴付けることができますか？G Γ PG≤ΓG≤ΓG \le \GammaGGGΓΓ\GammaPPP 私の質問は元々で発生しました。いくつかの小さな例（）は、答えが「はい」と「たぶん、しかし単純ではない」ことを示唆しています。また、9要素と10要素の循環グループ、およびも試してみました。ここでもポリトープは積分です。が、、およびいずれかである場合、ポリトープは積分ではないため、アービアン性が明らかに不可欠です。、N = 2 、3 F 2 3Γ=Fn2Γ=F2ん\Gamma = \mathbb{F}_2^nn=2,3ん=2、３n = 2,3F23F３2\mathbb{F}_3^2S 3 D 4 D 5ΓΓ\GammaS3S３S_3D4D4D_4D5D5D_5 方程式の最初のセットをと書く場合、は必ずしも完全に単一モジュラーではない（これは、ポリトープが積分であることを意味します）ことに注意してください。、次の3つの線形独立な選択することができ三取る選択素子の各対が及ぶの。結果のサブマトリックスは までの順列なので、行列式ます。Ax≥bあバツ≥bAx \ge bAあAΓ=F32Γ=F2３\Gamma …
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XPの「一様多項式」サブクラスの名前は？
仮定いくつかのアルファベットに関してパラメータ化言語です。のスライスはであり、パラメーターを持つのインスタンスのセットです。複雑性クラス、パラメータ化言語含まようそれぞれについておそらく異なるアルゴリズム及び各行き多項式実行時間と、。各固定パラメータ扱いやすい言語である、及び言語であるLLLk個のL LのK = L ∩ { （X 、K ）| X ∈ Σ * } LのK X P L L K ∈ Pのk個のK X P X PΣΣ\SigmakkkLLLLk= L ∩ { （X 、K ）| X ∈ Σ∗}Lk=L∩{(x,k)∣x∈Σ∗}L_k = L \cap \{(x,k) \mid x \in \Sigma^{*}\}LLLkkkX PXP\mathsf{XP}LLLLk∈ PLk∈PL_k \in PkkkkkkX PXP\mathsf{XP}X PXP\mathsf{XP}ていないこと。これは、Downey＆Fellows 2013テキストブックの命題27.1.1です。F …
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整数のリストの2つの積を比較しますか？
境界マニチュードの正の整数の2つのリストがあり、各リストのすべての要素の積を取るとします。どの製品が大きいかを判断する最良の方法は何ですか？ もちろん、単純に各積を計算することもできますが、積の桁数は項の数とともに直線的に増加するため、計算全体が二次式になるため、より効率的なアプローチがあることを望んでいます。 乗算する代わりに加算する場合は、最初のリストからエントリをインクリメンタルに追加し、2番目のリストから減算する「ジッパー方式」を使用して、（大規模な）総和を計算する必要を回避できます。製品の類似の手法は、エントリの対数を合計することですが、問題は、ログの計算に不正確な算術を使用する必要があることです。数値誤差が無関係であることを証明する方法がない限り？
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有限幅のSATはログスペースで決定可能ですか？
Elberfeld、Jakoby、およびTantau 2010（ECCC TR10-062）は、Bodlaenderの定理のスペース効率の良いバージョンを証明しました。彼らは、ツリー幅が最大でグラフでは、幅ツリー分解が対数空間を使用して見つかることを示しました。空間境界の定数係数は依存します。（Bodlaenderの定理は、定数係数のに指数関数的に依存する線形時間制限を示します。）kkkkkkkkkkkk 句のセットの幅が狭いと、SATが簡単になります。具体的には、Fischer、Makowsky、およびRavve 2008は、区切られた発生率グラフのツリー幅のCNF式の充足可能性は、ツリー分解が与えられた場合、最大算術演算で決定できることを示しました。Bodlaenderの定理により、固定発生グラフのツリー分解の計算は線形時間で行うことができるため、変数低次多項式である時間内の有界ツリー幅の式に対してSATを決定できます。kkk2O （k ）ん2O（k）ん2^{O(k)} nkkkんんn その場合、SATは、発生率グラフのツリー幅が制限されている式の場合、対数空間を使用して実際に決定可能であると期待できます。フィッシャーらを変更する方法は明らかではありません。SATをスペース効率の良いものに決定するためのアプローチ。アルゴリズムは、包含/除外を介して解の数の式を計算し、小さい式の解の数を再帰的に評価することによって機能します。制限付きツリー幅は役立ちますが、部分式は対数空間で計算するには大きすぎるようです。 これは私に尋ねるように導きます： 境界付きツリー幅式のSATはまたはにあることがわかっていますか？LL\mathsf{L}N LNL\mathsf{NL}
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ランダム性と小さな回路の複雑さのクラス
LET 複雑性クラスであるとBP- Cは、の無作為相手であるCとして定義BPPに対してP。より正式には、多項式で多くのランダムビットを提供し、受け入れる確率が2を超える場合に入力を受け入れます。CC\mathcal{C}BP- CBP-C\textrm{BP-}\mathcal{C}CC\mathcal{C}BPPBPP\textrm{BPP}PP\textrm{P}。2３23\frac{2}{3} 非均一回路クラスの場合、ことがわかっています。BPAC0= AC0BPAC0=AC0\textrm{BPAC}^0=\textrm{AC}^0 ミクロス・アジュタイ、マイケル・ベン・オル：確率的一定深度計算の定理STOC 1984：471-474 この定理の一般化は知られていますか？たとえば、（まだ不均一な設定になっている）かどうかはわかりますか？例えばというもっともらしいと思われるので、この最後の質問は、私に何とか非自明なようで、S 、T -ConnectivityであるBPNC 1。B P N C1= N C1BPNC1=NC1\mathrm{BPNC}^1=\mathrm{NC}^1s,t-Connectivitys,t-Connectivitys,t\textrm{-Connectivity}BPNC1BPNC1\textrm{BPNC}^1 この件に関する関連投稿：https : //mathoverflow.net/questions/35184/use-of-randomness-in-constant-parallel-time
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