自然数以外のセットの計算可能性の概念はありますか？

自然数以外のセットの計算可能性の概念はありますか？議論のために、で全単射する集合について考えてみましょう。$S$$\mathbb{N}$

「はい、これらはという形式の関数ですここで、は全単射あり、は計算可能な関数 "。この定義には2つの理由で注意が必要です。 gのN → S F N → $g \circ f \circ g^{-1}$$g$$\mathbb{N} \to S$$f$$\mathbb{N} \to \mathbb{N}$

1. 他の可算セットに対してを特権します。計算可能性の定義に関して、なぜ特別なのですか？特権ベースを参照せずに線形代数の概念の「座標フリー」定義を希望するのと同じように、特権セットを参照しないで計算可能性の「座標フリー」定義を希望します。$\mathbb{N}$$\mathbb{N}$

2. それはの選択についての疑問を投げかけます。特にと病理学的選択によって、矛盾を見つけることができるのではないかと思います。私が選択した場合、例えばし、いくつかの非計算全単射は、それが本当にそうである、すべての計算のために計算可能であり、？S G S = N G G ∘ F ∘ G - 1$g$$S$$g$$S = \mathbb{N}$$g$$g \circ f \circ g^{-1}$$f$

   定義でが計算可能であることを要求するのは魅力的ですが、残念ながらそれは問題を引き起こしています。$g$

以外の可算集合の計算可能性を説明する一般的な方法はありますか？$\mathbb{N}$

この質問は研究レベルではありませんが、回答をいただいているので、少しわかりやすい回答を出して参考にさせていただきたいと思います。

分析、代数、トポロジーの計算可能性を研究する理論的なコンピューターサイエンスの領域全体があります。最も重要なのは、実数の計算可能性の概念です。実際、チューリングマシンに関するチューリングの最初の論文は、次の文で始まります。

「計算可能な」数は、10進数としての表現が有限の手段で計算可能な実数として簡単に説明できます。

時々それはソースに戻るために支払う。

一般的な集合に計算可能性を設定する方法はいくつかありますが、最も一般的なものの1つが実現可能性理論です。実現可能性理論の考え方は、1945年の直観主義的数論の解釈に関するKleeneの論文にさかのぼりますが、それから一般化され、カテゴリー理論の適切な混合により、計算可能性のミニブランチに発展しました。たとえば、Jaap van Oostenの本を参照してください。 「実現可能性：その分類的側面の紹介」（Studies in Logic and the Foundations of Mathematics、vol。152、Elsevier、2008）。

実現可能性の考え方をごく簡単に説明し、後で「座標なし」の要件について説明します。チューリングマシン、 -calculus、プログラミング言語、その他の部分的な結合代数などの計算モデルから始めます（特定のトポロジー空間を「計算のモデル」にすることもできますが、これは一般的です）。具体的には、チューリングマシンを考えてみましょう。チューリングマシンは自然数でコーディングしますが、他の計算モデルを使用することもできるので、使用を前提としないでください$\lambda$N λ$\mathbb{N}$とにかくここでは不可欠です。（その他の可能性には、自然数のパワーセット、自然数の無限シーケンス、型なしの -calculusの構文、ゲームの特定のカテゴリなどが含まれます。）$\lambda$

セットで計算可能構造関係によって与えられる間とと呼ばれる、実現可能性の関係、その結果ごとにがように。このような構造をアセンブリと呼びます。この定義は、一部のデータ要素表す、または実現するという直感的な考えに直接対応しています。（たとえば、ビットの特定のシーケンスは、文字列のペアの有限リストを表します。）$X$$\Vdash_X$$\mathbb{N}$$X$$x \in X$$n \in \mathbb{N}$$n \Vdash_X x$$n$$x \in X$

与えられた2つのアセンブリおよび、マップはさ実現（または"計算"）チューリングマシンがある場合は、そのようなときはいつでも、その次に終了し、ます。繰り返しますが、これは、抽象的な関数を「プログラム」することの非公式な意味を直接音訳したものです。対応するTuringマシンは、対応する要素が行うことは何でも、データを表すために行います。$(X, {\Vdash_X})$$(Y, {\Vdash_Y})$$f : X \to Y$$T$$n \Vdash_X x$$T(n)$$T(n) \Vdash_Y f(x)$$f$$f$

アセンブリは実現可能性toposまで拡張できます。トポスは、高次の直観的な数学のモデルです。これは、すべての実現可能性のtopos（計算のモデルごとに1つある）には多くの興味深いオブジェクトが含まれていることを示しています。たとえば、実数のオブジェクトが含まれているため、実数で計算可能です。しかし、ヒルベルト空間、バナッハ空間、滑らかなマップの空間など、他の多くのオブジェクトも含まれます。あなたは他の計算可能な構造を求めましたが、はるかに優れたもの、つまり計算可能性の数学の世界全体が得られました。

カテゴリー理論とtoposeは恐ろしく、計算可能性理論、カテゴリー理論、およびロジックにある程度の技術的熟練を必要とする可能性があるため、1つの具体的なtoposで作業することもできますが、すべてを具体的で非抽象的な方法で表現します。特に優れた計算の世界は、Kleeneの関数実現可能性から生まれ、計算可能分析の名の下にあります。

「座標フリー」の要件についてコメントさせてください。

• 計算モデルを切り替えると、さまざまな種類の計算可能な世界が得られます。これは、さまざまな種類の線形代数を与えるさまざまなフィールド間の切り替えに少し似ています。

• ベクトルのセットに多くの基底があるように、セットは多くの計算可能構造が装備されている場合があります。ただし、すべての基底は同等ですが、すべての計算可能構造が計算可能に同等であるとは限りません。$X$$\Vdash_X$$X$

• 計算可能性構造具体的に扱う場合、これは線形代数で行列を扱うのと少し似ています。これは非常に便利ですが、抽象的ではありません。$(X, {\Vdash_X})$

• 「座標のない」方法で作業するために、私たちは実現可能性のあるtoposで作業し、カテゴリー理論の力を利用します（そう、それは決まり文句ですが、機能します）。

• 「世界にとらわれない」方法で作業することもできます。直観主義ロジックで数学を開発し、その結果を実現可能性で解釈します。

以下の2つの論文は、任意のセットの計算可能性の概念を発展させます。興味深いことに、この計算モデルでは、複雑性理論の概念さえも定義できます。

コブハム再帰集合関数と弱集合理論アーノルドベックマン、サムバス、Sy-David Friedman、MoritzMüller、Neil Thapen。

コブハム再帰集合関数のサブセット限定再帰と回路モデルアーノルドベックマン、サムバス、Sy-Davidフリードマン、モリッツミュラー、ニールターペン。

実際には、複雑さと計算の概念があります。私があなたに指示する教科書は次のとおりです：https：//www.amazon.com/Complexity-Real-Computation-Lenore-Blum/dp/0387982817

これを具体的に研究する1つのラボを知っています：https : //complexity.kaist.ac.kr/

これは、チューリングマシンの観点から計算可能性を定義し、すぐにチューリングマシンを忘れる方法に似ています。チューリングマシンは他のどのマシンよりも優れた定義であることがわかっているので、モデルの等価クラス全体のアンカーとして使用し、どの要素から生成しても同じクラスになります。基本的にこれはChurch-Turingの論文であり、計算可能なビット文字列のセットを定義します。

同様に、別のセットで計算可能性を定義するには、ビット文字列からへの特定の部分関数でそれを固定します。実際には、この関数がバイジェクションであるか、インジェクションであるか、その他のタイプの関数であるかは問題ではありません（実際にインジェクションにしたくない場合は、そのプレゼンテーションで定義されていないグループを考えてください。その要素の一意の表現）。シングルトンセットが計算不可能になることを許可する場合、それは全射である必要さえありません。この関数をビット文字列からビット文字列への計算可能な全単射（概念はすでに定義済み）で構成することにより、の計算可能性の定義を取得します。S S $S$$S$$S$これは、最初に選択した関数に関して不変です（妥当なものを選択した場合）。つまり、セット CT論文です。しかし、妥当な関数を選択しないと、計算可能性の定義が異なります。$S$

この関数は、ドメインまたは範囲が等しい他の関数の計算可能性を定義するのにも役立ちます。範囲変更することによって、ドメインを保ち、、我々はまた、取得のためのコルモゴロフ複雑性の-invariant定義。そして、ついに、選択した関数自体が計算可能であると言えます。S { 0 、1 } * O （1 ）$S$$S$$\{0,1\}^*$$O(1)$$S$

だからあなたの質問への答えはノーだと思います。同等ではない定義があるため、話したいセットごとに計算可能性を定義する必要があります。合理的な人は合理的な定義を独立して想像できるため、非常に技術的または教育的な議論は別として、それは必要ではありません。

しかし、待ってください数え切れないほどの無限集合にしましょう。の計算可能性の合理的な定義は何ですか？と間の全単射のセットが空でないことを知っていても、どちらが妥当かはわかりません。詳細がわからないので運が悪い。S S { 0 、1 } $S$$S$$S$$\{0,1\}^*$

また、同等ではないが同等に合理的な複数の代替案が見つかることもあります。すべてのツリーにいくつかの赤い葉といくつかの緑の葉があり、すべてのに赤い葉があるツリーが1つだけ存在し、すべてのツリーがあると仮定します一本の木を正確に存在する緑色の葉が。両方の全単射は、葉を数え、色を区別できるという意味で合理的であり、正確に枚の緑の葉、または R G ∈ N G 23 23 N 2 N N 2 $r \in \mathbb{N}$$r$$g \in \mathbb{N}$$g$$23$$23$赤い葉。赤い葉の数と緑の葉の数のどちらを使用してツリーを識別するかは明確ではありません。これを選択すると、ツリーのセットの計算可能性の定義が等しくならないためです。我々は代わりから計算対関数の全単射でカウントを組み合わせることにより、我々の定義を行った場合に（上の適切に定義計算可能有するも一意に識別すること）ツリーですが、これはツリーと間の全単射ではないため、状況はさらに悪化します。計算可能なツリーのすべてのセットが有限である可能性があります。$\mathbb{N}^2$$\mathbb{N}$$\mathbb{N}^2$$\mathbb{N}$

したがって、全体の議論を避けるために、問題の集合に計算可能性の合理的な定義が存在するだけでなく、合理的な定義のクラスが1つだけあることも理解されるべきです。

時間の複雑さを画像に取り入れれば、状況はさらに興味深いものになると思います。整数を検討するだけでも、私たちの選択はより重要です。たとえば、各数値を4つの四角形の合計として表す場合はどうでしょうか。このような表現は、基本表現から始まり、ランダム性へのアクセスがある予想二次時間で見つけることができます。または代わりに、多項式時間で計算できる場合とそうでない場合があるその素因数のリストとして。ハード表現を許可する限り、時間の複雑さの精度は失われます。たとえば、の表現がある場合、一部の関数が2次時間で計算可能であるとは意味がありませんN F ：N → $F:\mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}$$\mathbb{N}$基本表現との間で変換を行うには、2次以上の時間が必要になる場合があります。この見方は、ベース表現がいくぶん恣意的な標準であることを明らかにしていると思います。（基本表現が「は2次時間で計算可能」と言ったときに基本表現が誰でも心に留めているという意味での標準です。ビット文字列からの文字列であり、意味を推測することになっています。）$F:\mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}$