整数のリストの2つの積を比較しますか？

境界マニチュードの正の整数の2つのリストがあり、各リストのすべての要素の積を取るとします。どの製品が大きいかを判断する最良の方法は何ですか？

もちろん、単純に各積を計算することもできますが、積の桁数は項の数とともに直線的に増加するため、計算全体が二次式になるため、より効率的なアプローチがあることを望んでいます。

乗算する代わりに加算する場合は、最初のリストからエントリをインクリメンタルに追加し、2番目のリストから減算する「ジッパー方式」を使用して、（大規模な）総和を計算する必要を回避できます。製品の類似の手法は、エントリの対数を合計することですが、問題は、ログの計算に不正確な算術を使用する必要があることです。数値誤差が無関係であることを証明する方法がない限り？

（私は問題の説明を理解しているので、入力数は定数によって制限されているので、制限への依存を追跡しません。）

この問題は、対数の合計を使用して線形時間および対数空間で解決できます。より詳細には、アルゴリズムは次のとおりです。

1. バイナリカウンターを使用して、両方のリストで考えられる各入力番号の出現数をカウントします。

これには時間がかかり、各カウンターは値のによって制限されるため、カウンターはスペース使用します。$O(n)$$O(\log n)$$n$

ましょう以下の素数もに結合しました。数の各カウンタを分配することにより、の素因数に（適切な多重度を持つ）、および他のリストから1つのリストのためのカウントを減算し、我々は、時間内に次のように得：$p_1,\dots,p_k$$O(1)$$a$$a$$O(\log n)$

2. 問題がの符号を決定することと同等になるように、ビットで整数を計算します。$\beta_1,\dots,\beta_k$$O(\log n)$$\Lambda:=\sum_{i=1}^k\beta_i\log p_i$

3. もしの製品が同じであること、答え。$\beta_1=\dots=\beta_k=0$

それ以外の場合は。ベイカーの定理により 、特定の定数下限を下限にでき 。したがって、以下は符号を正しく計算します。$\Lambda\ne0$

4. の符号を出力し。ここで、はをビットの精度に近似したものです。$\sum_{i=1}^k\beta_i\pi_i$$\pi_i$$\log p_i$$m:=C\log n+k+1$

してみましょう 2の乗算のコストもビットの整数。現在の最良の境界はですが、ここでは、ささいな乗算アルゴリズム。AGM反復を使用してをビットの精度で時間計算し（たとえば、ここを参照）、次に評価に時間がかかります。全体として、ステップ4には時間がかかります。$M(m)$$m$$M(m)=O(m\,\log m\,2^{O(\log^* m)})$$O(m^2)$$\log p_i$$m$$O(M(m)\log m)$$\sum_i\beta_i\pi_i$$O(M(m))$$O(M(m)\log m)\subseteq O(\log n\,\mathrm{poly}(\log\log n))$

したがって、アルゴリズムの実行時間は、最初のステップのによって支配されます。$O(n)$