近似最大クエリのみを使用して近似argmaxを見つける

次の問題を考えてください。

$n$ $v_1, \cdots, v_n \in \mathbb{R}$ $S \subseteq \{1,\cdots,n\}$ $\max_{i \in S} v_i$

この問題は簡単です。バイナリ検索を使用して、 $O(\log n)$ クエリでargmaxを見つけることができます。つまり、インデックスに対応する $n$ 葉を持つ完全なバイナリツリーを構築します。次のように、根から始めて葉まで歩きます。各ノードで、右サブツリーと左サブツリーの最大値をクエリしてから、答えが大きい側の子に移動します。葉に到達したら、そのインデックスを出力します。

この問題の次の騒々しいバージョンは私の研究で出てきました。

あり未知の値は。これらは、セットが指定され、からのサンプルが返されるクエリでアクセスできます。目標は、ができるだけ少ないクエリを使用して、を識別することです。（予想は、アルゴリズムのコインとノイズの多いクエリの回答の両方に依存するの選択を超えています。） $n$ $v_1, \cdots, v_n$ $S \subseteq \{1, \cdots, n\}$ $\mathcal{N}(\max_{i \in S} v_i,1)$ $i_* \in \{1, \cdots, n\}$ $\mathbb{E}[v_{i_*}] \geq \max_i v_i - 1$ $i_*$

以前と同じバイナリ検索戦略を使用してこれを解決しようとしていると仮定します（ただし、ノイズの多い回答を伴います）。これがを達成し、これが最悪の場合はタイトであることを示すのはかなり簡単です。各クエリを回繰り返し、平均を使用することで、誤差を望ましい減らすことができます分散を駆動します）。これは、クエリを使用するアルゴリズムを提供します。 $\mathbb{E}[v_{i_*}] \geq \max_i v_i - O(\log n)$ $1$ $O(\log^2 n)$ $O(\log^3 n)$

より良いアルゴリズムはありますか？クエリで十分だと思い。そして、私は下限を証明できると信じてい。また、最大値と2番目に大きい値の間にギャップがあるという約束の下で、問題は簡単になりつまり、バイナリ検索によるクエリ。それが役立つ場合は、すべての値がから間であると想定でき。 $O(\log^2 n)$ $\Omega(\log^2 n)$ $\tilde{O}(\log n)$ $\Omega(1)$ $0$ $O(\log n)$

— トーマス
ソース

すべてのレベルでO（log n）クエリペア（1つは左側の最大、もう1つは右側の最大）を作成し、勝者を記録するバイナリ検索についてはどうでしょうか。次に、O（log n）が丸められた後、アルゴリズムは最も多く「勝った」側を再帰的に処理します。私の頭の中での簡単な計算は、これが1つの入力がで他のすべてがである設定で確率で機能したことを示しているようです...

1 - 1 / n^{c}

$1-1/n^c$

2

$2$

0

$0$

— daniello 2017年

@danielloこれは、最大値と2番目に大きい値の間にギャップがある場合に機能します。しかし、一般的なケースはもっと難しいようです。

— トーマス

自己

— 紹介

1つまたは2つのアイデアを下限に向けて拡張したコメント。レッツ（最良の選択が異なるかもしれないが）、と言う、とlet。これらの値の順列をランダムに均一に選択して、入力を描画することを検討してください。 $B = \Theta(\log n)$ $\{v_1,\dots,v_n\} = \{\frac{1}{n}B, \dots, \frac{n-1}{n}B, B\}$

考えは、値とを除くすべての値のインデックスを修正すると、アルゴリズムが一方を選択する確率と他方を選択する確率の違いを示すことができるはずです。非常に小さい：使用可能な2つのインデックスへのこれらの値の割り当てとクエリシーケンスの結果の50-50分布を考えると、アルゴリズムのクエリの結果間の変動距離は非常に小さい $B$ $\frac{n-1}{n}B$

この引数は、隣接する値のペアごとに保持されるため、アルゴリズムが最高、2番目に高い、...の値を選択する確率に一連の制約が適用されます。これにより、アルゴリズムの期待値の上限が得られるため、その上限を設定し、クエリの数を確認します。 $B-1$

上記の方法ではを改善できませんでしたが、クエリが一度に複数のステップを支援できないという事実を活用できれば、が得られると思います。つまり、最も高い値を別のインデックスに移動したときにクエリが変更された場合、他の値を別のインデックスに移動してもクエリは変更されません。 $\log n$ $(\log n)^2$

差分プライバシーは、これらの手順の1つに役立つ場合があります。たとえば、2つの最高値の場所を入れ替える場合のみを考えた場合、このクエリの「機密性」はあり、その後高度になります構図が役立つかもしれません。 $\frac{B}{n}$

申し訳ありませんが、これは中途半端ですが、役に立つことを願っています！

— usul
ソース

私は上限を望んでいるので、実際には下限についてはあまり考えていません。:)は、ノイズのない場合でも保持されます。下限を証明できるはずです。

Ω (\log n)

$\Omega(\log n)$

Ω (\log^{2} n)

$\Omega(\log^2 n)$

— トーマス

OK。下限のスケッチがありが、少し複雑です。

Ω (\log^{2} n)

$\Omega(\log^2 n)$

— トーマス