理論計算機科学

理論計算機科学者および関連分野の研究者のためのQ&A

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であるDyck言語のリファレンス-complete
Dyck言語は、次の文法によって定義されます シンボルのセット上。直観的にDyck言語は、k種類のバランスの取れた括弧の言語です。たとえば、（\、[\、] \、）\、（\、）は\ mathsf {Dyck}（2）にありますが、（\、[\、）\、]はありません。S → S SDyck(k)Dyck(k)\mathsf{Dyck}(k){ （1、… 、（k、）1、… 、）k } k （S→SS|(1S)1|…|(kS)k|ϵS→SS|(1S)1|…|(kS)k|ϵ S \rightarrow SS \,|\, (_1 S )_1 \,|\, \ldots \,|\, (_k S )_k \,|\, \epsilon { （1、… 、（k、）1,…,)k}{(1,…,(k,)1,…,)k}\{(_1,\ldots,(_k,)_1,\ldots,)_k\}kkkD y c k（2 ）（([])()([])()(\,[\,]\,)\,(\,)Dyck(2)Dyck(2)\mathsf{Dyck}(2)([)]([)](\,[\,)\,] 論文で Frandsen、Husfeldt、Miltersen、Rauhe、SkyumによるDyck言語の動的アルゴリズム、1995年、 次の結果は民間伝承であると主張されています： Dyck(k)Dyck(k)\mathsf{Dyck}(k)は、\ mathsf {AC} _0削減でTC0TC0\mathsf{TC}_0 -complete AC0AC0\mathsf{AC}_0。 上記の主張で知られている参考文献はありますか？特に、次の少なくとも1つを示す結果を探しています。 Dyck(k)Dyck(k)\mathsf{Dyck}(k)は、任意のkに対してTC0TC0\mathsf{TC}_0にあります。kkk Dyck(k)Dyck(k)\mathsf{Dyck}(k)は、任意のkに対してTC0TC0\mathsf{TC}_0 -hard です。kkk …
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SVD上でJohnson-Lindenstrauss補題を使用する場合
Johnson-Lindenstraussの補題により、高次元空間の点を低次元の点に表すことができます。最適な低次元空間を見つけるときの標準的な手法は、特異値分解を見つけてから、最大の特異値によって生成された部分空間を取得することです。SVD上でJohnson-Lindenstraussを使用するのはいつ関心がありますか？
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決定要因を永続的に表現する
TCSの大きな問題の1つは、パーマネントを決定要因として表現する問題です。私はアグラワルの論文「Determinant Versus Permanent」を読んでいたが、ある段落で彼は逆の問題は簡単だと主張した。 マトリックスの行列ことを確認することは容易である関連する行列の永久として表すことができるX そのエントリは0、1、またはxはiは、J sおよびサイズであるO （nは）（エントリを設定しますXのようDET X = DET Xと偶数サイクルを有するすべての順列に対応する商品がゼロです）。XXXXˆXˆXˆxi,jxi,jx_{i,j}O(n)O(n)O(n)XˆXˆXˆXXX まず、0、1、および変数だけでは負の項が欠落するため十分ではないと思います。しかし、我々は許さ-1としても- xは、私は、j個の大きさの成長がリニア行うことができる理由だけでなく、変数を、私は表示されません。誰かが私に構造を説明してもらえますか？xi,jxi,jx_{i,j}−xi,j−xi,j-x_{i,j}
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これは代数的ポセットの等価条件ですか？
連続格子とドメイン、定義I-4.2 の「代数ポーズ」の定義は、すべてのに対して、x∈Lx∈Lx \in L セットは有向セットである必要があり、A(x)=↓x∩K(L)A(x)=↓x∩K(L)A(x) = {\downarrow} x \cap K(L) x=⨆(↓x∩K(L)x=⨆(↓x∩K(L)x = \bigsqcup ({\downarrow} x \cap K(L)。 ここで、posetさコンパクトな構成要素の集合であり、、及び手段を。LLLK(L)K(L)K(L)LLL↓x↓x{\downarrow} x{y∣y⊑x}{y∣y⊑x}\{y \mid y \sqsubseteq x\} 最初の条件に少し驚いた。とが場合、もことを示すのは簡単な引数です。そのため、すべての空でない有限サブセットには上限があります。唯一の問題は、空のサブセットに上限があるかどうか、つまりが最初に空でないかどうかです。そう、k1k1k_1k2k2k_2A(x)A(x)A(x)k1⊔k2k1⊔k2k_1 \sqcup k_2A(x)A(x)A(x)A(x)A(x)A(x)A(x)A(x)A(x) 最初の条件を is not empty に置き換えても大丈夫ですか？A(x)A(x)A(x) が空の状況の例は何ですか？A(x)A(x)A(x) 追加された注：A（x）のはどうですか？まず、および、ます。次に、とはコンパクトです。したがって、それらを「超える」指示セットは、それらを「パス」する必要があります。有向集合もを超えている、つまります。とを超えているため、それらを通過している必要があります。つまり、となるような要素があります。k1⊔k2k1⊔k2k_1 \sqcup k_2k1⊑xk1⊑xk_1 \sqsubseteq xk2⊑xk2⊑xk_2 \sqsubseteq xk1⊔k2⊑xk1⊔k2⊑xk_1 \sqcup k_2 \sqsubseteq xk1k1k_1k2k2k_2uuuk1⊔k2k1⊔k2k_1 \sqcup k_2k1⊔k2⊑⨆uk1⊔k2⊑⨆uk_1 \sqcup k_2 \sqsubseteq \bigsqcup uk1k1k_1k2k2k_2y1,y2∈uy1,y2∈uy_1, …
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遺伝的であるが、相加的ではないNP完全グラフ特性？
グラフプロパティは、頂点の削除に関して閉じられている場合、遺伝的と呼ばれます（つまり、すべての誘導されたサブグラフがプロパティを継承します）。グラフのプロパティは、互いに素なユニオンの取得に関して閉じている場合、加算的と呼ばれます。 遺伝性のプロパティを見つけることは難しくありませんが、相加的ではありません。2つの簡単な例： \;\;\; （1）グラフが完成しました。 \;\;\; （2）グラフには2つの頂点独立サイクルが含まれていません。 これらの場合、プロパティが誘導されたサブグラフに継承されることは明らかですが、プロパティを持つ2つの互いに素なグラフを取ると、それらの結合はそれを保持しない場合があります。 上記の例は両方とも、ポリタイムで決定可能なプロパティです（ただし、（2）の場合はやや簡単です）。より難しいプロパティが必要な場合は、（2）のパターンに従って作成することもできますが、サイクルをより複雑なグラフタイプに置き換えます。ただし、N P ≠ c o N Pなどの標準的な複雑さの仮定の下では、問題がさえ残っていない状況に簡単に陥ることがあります。N P内に留まる例を見つけることはささいなことではないように見えますが、それでも困難です。NPNPNPNP≠coNPNP≠coNPNP\neq coNPNPNPNP 質問：遺伝的であるが加算的ではない（できれば自然な）完全なグラフプロパティを知って いますか？NPNPNP
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代数的にコンパクトなカテゴリー
有名なComo90でFreydの論文「代数的に完全なカテゴリー」を読み、彼がその論文で定義した代数的コンパクト性の概念について2つの質問があります。（定義に慣れていない場合、ここにあります：すべてのエンドファンクターが正準同型である初期代数と最終共代数を持つ場合、カテゴリーは代数的にコンパクトと呼ばれます。） 代数的にコンパクトなカテゴリーの例は何ですか？フロイドは例を挙げていますが、厳密に言えば、定義の条件は、特定の内部ファンクターにのみ当てはまります。他の論文（「バナナ、レンズ、エンベロープ、有刺鉄線を使用した関数型プログラミング」など）を読むと、cpo、omega-cpo、または（omega-）cpoを強化したカテゴリーのカテゴリは代数的にコンパクトであると思います。この事実の標準参照は何ですか？ フロイドは、この定義は「バーサリティの原則」によって動機付けられており、英語を母国語としないので混乱していると言います。まず第一に、それは原則ではなく原則であるべきだと思います。また、バーサリティとは何ですか？彼は汎用性を意味しますか？これは（uni）versalityのような言葉のゲームですか？
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並べ替えられた配列の和集合で選択：既知ですか？
次のアルゴリズム/問題の参考文献を探しています。「BiSelect」、「t-ary Select」、または「Select in Union of Sorted Arrays」という名前を付けましたが、別の名前で以前に導入されたと思いますか？ 問題 次の問題を考慮してください。 与えられたkkkの互いに素なソートされたアレイA1,…,AkA1,…,AkA_1,\ldots, A_k、各サイズのn1,…,nkn1,…,nkn_1,\ldots,n_k、及び整数t∈[1..∑ni]t∈[1..∑ni]t\in[1..\sum n_i]であるもの、tttそのソート組合番目の値 ∪iAi∪iAi\cup_i A_i？ 解決策 k = 2 k = 2 A 1 [ t / 2 ] A 2 [ t / 2 ] A 1 [ t / 2 .. t ] A 2 [ 1 .. t …
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漸近的成長の決定可能な理論
からの関数の成長率の比較の決定可能性の既知の限界は何ですか？私はここのような質問の決定可能性を考えています"ですX X〜2 ⌊ X LG （X + 2 ）⌋？" または"です2 LG *のx ∈ O （LG LG X ）？"。N→NN→N\mathbb{N} \to \mathbb{N}xx∼2⌊xlg(x+2)⌋xx∼2⌊xlg⁡(x+2)⌋x^x \sim 2^{\lfloor x \lg (x+2) \rfloor}2lg∗x∈O(lglgx)2lg∗⁡x∈O(lg⁡lg⁡x）2^{\lg^* x} \in O(\lg \lg x) 関数を多項式（通常の方法で表現）に制限する場合、これは難しくありません。Cantor normal formも参照してください。 比較が決定不能になる前に、関数のクラスをどれだけ大きくできますか？典型的な学部のアルゴリズムクラスで使用される関数に拡張できますか？ Joshua Grochowがコメントで説明しているように、関数自体ではなく式のセットに本当に興味があります。したがって、たとえば、「ln e」と「n （ln n ）− 1」を比較できない場合でも、「」と「2」を比較できる決定手順に興味があります。111222lneln⁡e\ln en（lnn ）− 1n（ln⁡n）−1n^{(\ln n)^{-1}} おそらく関連する質問：「漸近境界の理論は有限公理可能か？」
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この問題の複雑性クラス？
次の問題がどの複雑度クラスに属するかを理解しようとしています。 指数ルート問題（EPRP）の累乗 ましょう多項式であり有限体から引き出された係数のと素数、およびそのフィールドの原始根を。 （または同等に、のゼロの解を決定します 。ここで、は累乗を意味します。度（P ）≥ 0 G F （Q ）Q R P （X ）= R X P （X ）- 、R X 、R X、Rp(x)p(x)p(x)deg(p)≥0deg⁡(p)≥0\deg(p) \geq 0GF(q)GF(q)GF(q)qqqrrrp(x)=rxp(x)=rxp(x) = r^x p(x)−rxp(x)−rxp(x) - r^xrxrxr^xrrr とき、という注意（多項式が一定である）、この問題はNP-中間であると考えられている離散対数問題、に戻し、すなわち、それはNPではなく、PでもNP完全でもありません。deg(p)=0deg⁡(p)=0\deg(p)=0 私の知る限り、この問題を解決する効率的な（多項式）アルゴリズムは存在しません（BerlekampおよびCantor–Zassenhausのアルゴリズムには指数時間が必要です）。このような方程式の根を見つけるには、次の2つの方法があります。 フィールド内のすべての可能なアイテム試して、それらが方程式を満たすかどうかを確認します。明らかに、これにはフィールドモジュラスのビットサイズに指数関数的な時間が必要です。xxx ラグランジュ補間を使用して点を補間することにより、指数関数を多項式形式で書き換えることができます。 、多項式決定します。この多項式は、と同一です正確には有限体で作業しているからです。次に、与えられた方程式の根を見つけるために（BerlekampまたはCantor–Zassenhausアルゴリズムを使用して差因数分解し、根から因子を読み取ります。ただし、このアプローチは徹底的な検索よりもさらに劣ります。平均して、与えられた点を通る多項式はrxrxr^x{(0,r0),(1,r1),…,(q−1,rq−1)}{(0,r0),(1,r1),…,(q−1,rq−1)}\{(0,r^0),(1,r^1),\ldots,({q-1},r^{q-1})\}f(x)f(x)f(x) p （x ）− f （x ）n nrxrxr^{x}p(x)−f(x)p(x)−f(x)p(x) - f(x)nnnnnn 非ヌル係数、ラグランジュ補間への入力のみでも、フィールドビットサイズの指数空間が必要になります。 この問題がNP中級であると考えられているか、他の複雑性クラスに属していると考えられているかどうか誰もが知っていますか？参照は大歓迎です。ありがとう。
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証明の複雑さの学習を開始
最近、証明の複雑さについて多くのことを読み始め、私が読んでいるものを本当に楽しんでいます。私はこれについてもっと学びたいと思っていますが、最初から良い初心者向けの資料を見つけるのに苦労しています。誰かがいくつかの基本をお勧めできますか？
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の崩壊は、
インとの間の多項式階層の各レベルに含まれる含む様々な複雑性クラスであるΔPiΔiP\Delta_i^{\text{P}}、DPDP\text{DP}、BHkBHk\text{BH}_k、およびΣPi∩ΠPiΣiP∩ΠiP\Sigma_i^\text{P} \cap \Pi_i^\text{P}。より良い用語がないため、これらおよびその他を、多項式階層のレベルiとi + 1の間の中間クラスと呼びます。この質問の目的のために、彼らは中に含まれるクラスであると仮定Σ P I + 1 ∩ Π P I + 1iiii+1i+1i+1ΣPi+1∩ΠPi+1Σi+1P∩Πi+1P\Sigma_{i+1}^\text{P} \cap \Pi_{i+1}^\text{P}しかし含まおよび/またはΠ P Iを。我々を含む避けたいΣ P I + 1 ∩ Π P I + 1、可能ならば、それは自明と同等であるとしてPHそれが崩壊した場合、私+ 1 のt 時間レベル。ΣPiΣiP\Sigma_i^\text{P}ΠPiΠiP\Pi_i^\text{P}ΣPi+1∩ΠPi+1Σi+1P∩Πi+1P\Sigma_{i+1}^\text{P} \cap \Pi_{i+1}^\text{P}PHPH\text{PH}i+1thi+1th{i+1}^{th} また、次のように定義する： DPi={L∩L′:L∈ΣPi and L′∈ΠPi}DPi={L∩L′:L∈ΣiP and L′∈ΠiP}\text{DP}_i = \left \{ L \cap L' : L \in \Sigma_i^\text{P} …
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無向グラフの長さ制限のある単純なstパスの一部であるすべてのノードとエッジを含むサブグラフ
以前に投稿した質問とかなり似ています。ただし、今回はグラフは無向です。 与えられた 無向グラフない複数のエッジまたはループを有します、GGG ソース頂点、sss ターゲット頂点ttt、 最大の光路長lll、 私が探していG′G′G'のサブグラフ-GGG任意の頂点と任意のエッジ含まGGGから少なくとも一つの単純なパスの一部である（とのみ）を、sssをttt長さ≤l≤l\leq l。 ノート： パスを列挙する必要はありません。 非常に大きなグラフ（10 ^ 8頂点、10 ^ 9エッジ）で実行する必要があるため、効率的なアルゴリズム（時間とメモリの両方）を探しています。
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残差有限状態オートマトンの最小化
残留有限状態オートマトン（RFSA、[DLT02]で定義）は、DFAと共通の優れた機能を備えたNFAです。特に、すべての標準言語には標準的な最小サイズのRFSAが常に存在し、RFSAの各状態で認識される言語は、DFAの場合と同様に残余です。ただし、最小DFA状態はすべての残差を持つ全単射を形成しますが、標準RFSA状態は全残差を持つ全単射になります。これらは指数関数的に少ないため、RFSAはDFAよりもはるかにコンパクトになり、通常の言語を表現できます。 ただし、RFSAを最小化するための効率的なアルゴリズムがあるかどうか、または硬さの結果があるかどうかはわかりません。RFSAを最小化することの複雑さは何ですか？ ブラウジング[BBCF10]から、これが常識であるとは思えません。一方では、RFSAに関する「このNFAはRFSAですか？」この場合、PSPACE完全な非常に困難です。一方、[BHKL09]は、標準RFSAがAngluinの最小限の適切な教師モデル[A87]で効率的に学習可能であり、最小RFSAを効率的に学習し、RFSAを最小化することは同等の難しさのようです。ただし、[BHKL09]のアルゴリズムは最小化アルゴリズムを意味するわけではありません。反例のサイズに制限はなく、RFSAを効率的にテストして反例のオラクルをシミュレートする方法が明確ではないためです。 。たとえば、2つのNFAの同等性をテストすることはPSPACE-completeです。 参照資料 [A87] Angluin、D.（1987）。クエリと反例から通常のセットを学習します。情報と計算、75：87-106 [BBCF10] Berstel、J.、Boasson、L.、Carton、O.、＆Fagnot、I.（2010）。オートマトンの最小化。arXiv：1010.5318。 [BHKL09] Bollig、B.、Habermehl、P.、Kern、C.、およびLeucker、M.（2009）。NFAのアングルインスタイル学習。ではIJCAI、9：1004年から1009年。 [DLT02] Denis、F.、Lemay、A.＆Terlutte、A.（2002）。残差有限状態オートマトン。Fundemnta Informaticae、51（4）：339-368。
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分布に依存するdeleteMinを使用した整数の優先度キュー
次の操作でワードのスペースを使用する整数優先度キューにあります。すべてのワーストケースタイムで、ランダム性にアクセスできません。O(n)O(n)O(n) createEmptyQueuein いくつかの定数cに対して。O(lgcU)O(lgcU)O(lg^c U)ccc insertで。O(1)O(1)O(1) deleteMinO(δmin)O(δmin)O(\delta_{\min})δminδmin\delta_{\min} さらに、キーがaの対象になると、それ以降の挿入はすべてます。kkkdeleteMin>k>k> k 関連作業： ボーズらの「バウンドユニバースでの高速ローカル検索と更新」は、必要以上に高速ですdeleteMinが、必要以上に遅くなりますinsert。 Brodnikらの「ワーストケースコンスタントタイムプライオリティキュー」では、エキゾチックな「Yggdrasilメモリ」を使用しています。この質問の目的のために、私はより標準的な整数RAMモデルに興味があります。 Brodnikとカールソンの「マルチプロセス時間キュー」のキーを持つ要素を挿入を制限し、、ここで、k個のminは最小値キーの値です。（k分、k分+ δ分]（k分、k分+δ分](k_{\min}, k_{\min} + \delta_{\min}]k分k分k_{\min} これはハッシュテーブルでは非常に簡単ですが、償却とランダム性を使用することに注意してください。 キューは、キーのハッシュテーブルと最小キーのコピーのペアです。 insert キーをハッシュテーブルに追加し、必要に応じて最小キーコピーを更新します。 deleteMinハッシュテーブルで最小キーを検索し、次にを順に検索して、次の最小キーを検索します。k分+ 1 、k分+ 2 、k分+ 3 、…k分+1、k分+2、k分+3、…k_{\min} + 1, k_{\min} +2, k_{\min} + 3, \dots
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