漸近的成長の決定可能な理論

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からの関数の成長率の比較の決定可能性の既知の限界は何ですか？私はここのような質問の決定可能性を考えています"です？" または"です？"。 $\mathbb{N} \to \mathbb{N}$ $x^x \sim 2^{\lfloor x \lg (x+2) \rfloor}$ $2^{\lg^* x} \in O(\lg \lg x)$

関数を多項式（通常の方法で表現）に制限する場合、これは難しくありません。Cantor normal formも参照してください。

比較が決定不能になる前に、関数のクラスをどれだけ大きくできますか？典型的な学部のアルゴリズムクラスで使用される関数に拡張できますか？

Joshua Grochowがコメントで説明しているように、関数自体ではなく式のセットに本当に興味があります。したがって、たとえば、「」と「」を比較できない場合でも、「」と「」を比較できる決定手順に興味があります。 $1$ $2$ $\ln e$ $n^{(\ln n)^{-1}}$

おそらく関連する質問：「漸近境界の理論は有限公理可能か？」

decidability asymptotics

— jbapple
ソース

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興味深い質問です！ただし、一部を少し変更する必要があると思います。問題は、関数のクラスがどれだけ大きいかではなく、関数がどのように表現されるかであるとは思わない。つまり、入力として2つの多項式時間チューリングマシンが与えられた場合、どちらが長い実行時間を持っているかを判断することは決定できません（両方とも多項式実行時間を持っているという事実にもかかわらず）... 、明示的な多項式（係数を含むポリゴン全体を書き出す）を比較するのは簡単です。

— ジョシュアグロチョウ14年

いい視点ね。その言葉の言い方について何か提案はありますか？

— jbapple 14年

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さまざまな操作を含む式として表現された関数を求めるのは自然なことかもしれませんが、問題はどのセットの操作で決定可能/決定不能になるかです。（あなたが^ *ログを残す場合は、前述のリストはあなたにすべての基本的な機能を提供します。）、n番目の根、EXP、ログ、構図、ログイン^ *など-例えばOPSは+、回、除算を含むであろう

— ジョシュアGrochow

回答:

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$\mathbb{R}$ $x$ $\exp$ $\log|\cdot|$ $f(x)^5 + f(x) = x$ 家族の中にあります）。Hardyは、このような2つの関数を漸近的に比較できることを示しました。証明がアルゴリズムであるかどうかはわかりませんが、確認する価値があります。

ボシェルニツァンはこのクラスをさらに拡張し、疑いもなくこのテーマに関する他の研究があります。

— ユヴァル・フィルマス
ソース

John R. Shackellの本「Symbolic Asymptotics」は、この問題の最初のアルゴリズムはDahn and Goringの1986年の論文「Notes on exponential-logarithmic terms」に由来すると主張しています（91ページのセクション5.1）。Dominik Gruntzの1996年の論文「シンボリックマニピュレーションシステムの計算限界について」にも、この問題のアルゴリズムが含まれており、さまざまな方法を比較しています。

— jbapple 14年

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ただし、これらはすべて、一般に決定できないゼロ等価問題を解決するためにオラクルに依存しています。

— jbapple 14年

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