残差有限状態オートマトンの最小化

残留有限状態オートマトン（RFSA、[DLT02]で定義）は、DFAと共通の優れた機能を備えたNFAです。特に、すべての標準言語には標準的な最小サイズのRFSAが常に存在し、RFSAの各状態で認識される言語は、DFAの場合と同様に残余です。ただし、最小DFA状態はすべての残差を持つ全単射を形成しますが、標準RFSA状態は全残差を持つ全単射になります。これらは指数関数的に少ないため、RFSAはDFAよりもはるかにコンパクトになり、通常の言語を表現できます。

ただし、RFSAを最小化するための効率的なアルゴリズムがあるかどうか、または硬さの結果があるかどうかはわかりません。RFSAを最小化することの複雑さは何ですか？

ブラウジング[BBCF10]から、これが常識であるとは思えません。一方では、RFSAに関する「このNFAはRFSAですか？」この場合、PSPACE完全な非常に困難です。一方、[BHKL09]は、標準RFSAがAngluinの最小限の適切な教師モデル[A87]で効率的に学習可能であり、最小RFSAを効率的に学習し、RFSAを最小化することは同等の難しさのようです。ただし、[BHKL09]のアルゴリズムは最小化アルゴリズムを意味するわけではありません。反例のサイズに制限はなく、RFSAを効率的にテストして反例のオラクルをシミュレートする方法が明確ではないためです。 。たとえば、2つのNFAの同等性をテストすることはPSPACE-completeです。

参照資料

[A87] Angluin、D.（1987）。クエリと反例から通常のセットを学習します。情報と計算、75：87-106

[BBCF10] Berstel、J.、Boasson、L.、Carton、O.、＆Fagnot、I.（2010）。オートマトンの最小化。arXiv：1010.5318。

[BHKL09] Bollig、B.、Habermehl、P.、Kern、C.、およびLeucker、M.（2009）。NFAのアングルインスタイル学習。ではIJCAI、9：1004年から1009年。

[DLT02] Denis、F.、Lemay、A.＆Terlutte、A.（2002）。残差有限状態オートマトン。Fundemnta Informaticae、51（4）：339-368。

「DFAしてみましょう以下の意味NFA」の問題を：DFA考えるとAと整数K、NFAはせいぜいであり、Kに相当述べ$\to$$A$$k$$k$$A$？同様に、「NFA」を「残差有限オートマトン」に置き換えた場合、「DFA RFSA」は上記から得られた問題を示します。$\to$

JiangとRavikumarは、「DFA NFA」問題は「DFAユニオンの普遍性」問題からの削減によりPSPACE完全であることを示しました。後者の問題は、のDFAのリストを与えたA 1、A 2、... 、A Nを、そして場合尋ねる⋃ N iは= 1 L （A I）= Σ *。$\to$$A_1,A_2,\ldots,A_n$$\bigcup_{i=1}^nL(A_i) = \Sigma^*$

その還元は、言語定義で行くこれらのDFAからおよび適切な整数K DFA受け入れるように、LがのDFAの大きさの時間多項式で構成することができるA のI。それらはすべてのNFA（従ってことを示しなおさら毎RFSA）を受け入れるLの少なくともニーズをk個の場合の状態⋃ N iが= 1 L （A iが）普遍的であり、少なくともK + 1つの、さもなければ状態。その後、彼らは構築$L$$k$$L$$A_i$$L$$k$$\bigcup_{i=1}^nL(A_i)$$k+1$$k$ NFA ます。$N$ IFF ⋃ N iは= 1 L （I）= Σを*。$L$$\bigcup_{i=1}^nL(A_i) = \Sigma^*$

この証明は、後にグルーバーとホルツァー（言語理論'06の開発）によって再考されました。それらはのNFAの下限技術の計算の複雑性に関するわずかに異なる結果を表示するために、同じ還元を使用：正規言語のためのアン（拡張）だますセットセットであるS単語対（X I、Y Iは）、毎ようiが成り立つX I 、Y I ∈ Lを除いてすべてのためのI ≠ jは：保持X I 、Y jの ∉ R又はX $R$$S$$(x_i,y_i)$$i$$x_iy_i\in L$$i\neq j$$x_iy_j \notin R$。$x_jy_i\notin R$

$S$$k$$\bigcup_{i=1}^nL(A_i)$$x_i$$S$$N$$q_i$$x_i$$q$$x_i^{-1}L$$N$

$\to$$\to$$\to$$\to$

$N$

T.ジャンとB.ラビクマール。最小限のNFA問題は困難です。SIAM Journal on Computing、22（6）：1117–1141、1993年12月。

ヘルマン・グルーバーとマルクス・ホルツァー。非決定的な状態の複雑さの下限を見つけるのは難しいです。オスカー・H・イバラとraダン、編集者、第10回言語理論の発展に関する国際会議（DLT 2006）、サンタバーバラ（CA）、米国、コンピューターサイエンスの講義ノートの4036巻、363-374ページ スプリンガー、2006年6月。

ヘルマン・グルーバーとマルクス・ホルツァー。非決定的な状態の複雑さの下限を見つけるのは困難です。テクニカルレポートECCC TR06-027、計算の複雑さに関する電子コロキウム、2006年。